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极限教案教学目标1．深化数学思想方法在解题实践中的指导作用．2．准确理解数列极限的定义，熟练应用数列极限的运算法则求极限并能解决有关问题．3．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点培养学生整体把握问题的能力，透过给定信息的表象，揭示问题的本质，明确解题方向，化难为易，化繁为简，有针对性地解除学生解综合题的思想障碍．教学过程一、数列的极限数列的极限完美地统一了数列形式上的有限性和实质上的无限性的矛盾．数列的极限是极其重要的数学概念．因此必须正确理解数列极限的定义，准确地把握数列极限的四则运算法则应用的条件，以及C=C(其中C是常数)．q n=0(|q|＜1)与求无穷等比数列各项的和公式，并能熟练准确地运用它们求数列的极限．S n等于[ ]C．2D．-2解法二由等比数列的性质知，S5，S10-S5，S15-S10组成公比为项a1的取值范围是[ ]故选择D．注意积累“利用逆向排除”的方法解选择题的经验．)例3 在数列{a n}中，若(2n-1)a n=1，则(na n)的值等于[ ]A．0C．1D．2分析逆用数列极限的运算法则时．要保证各局部的数列极限必须例4设正数数列{a n}为一等比数列，且a2=4，a4=16．评述这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．a n)，…是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，…，2a n+1-a n，…(1)求数列{a n}的通项公式；(2)计算(a1+a2+…+a n)．分析由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{a n}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a n的方程组．解(1)设b n=log2(3a n+1-a n)，因为{b n}是等差数列，d=-1．b1=log23a n+1-a n＝2-n①设c n=2a n+1-a n，{c n}是等比数列，公比为q，|q|＜1，c1=2a2-a1=例6 已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为A n，数列{b n}是首项为1，公比为q(|q|＜1)的等比数列，其前n项S n=B1+B2+…+B n(正确的分离常量和变量，根据待定系数法构造关于d和q的方程组．)评述本题形式新颖，解法典型，三基检查全面，强调字母运算能力；指导学生解题后的反思，回味化归思想，待定系数法所起的作用．例7 数列{a n}满足条件，a1=1，a2=r，(r＞0)且{a n·a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，设b n=a2n-1+a2n(n∈N)．(1)求使不等式a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3(n∈N)成立的q的取值范围；分析揭示{b n}与{a n·a n+1}的内在联系，探寻{b n}的属性；注意求极限时由q的取值范围所带来的影响．=q，代入a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3，得a n·a n+1+q·(a n·a n+1)＞q2(a n·a n+1)．因为a1=1，a2=r(r＞0)，q＞0，得a n·a n+1＞0，所以1+q＞q2，即q2-q-1＜0，(考查{b n}的属性，由以往的经验，首先考查是否为等比数列，若不是再另行判定．)比为q的等比数列．所以小结 1．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．2．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．设计说明1．本节课的例题和能力训练题选自近年来的高考试题和模拟试题，以数列极限为主线融汇函数、方程、不等式和三角函数而成，力求方法典型，重要数学思想方法贯穿其中，有利于提高学生解综合题的能力．2．综合题并非无本之木，无源之水，追根寻源，即解决好整体与局部的关系、综合与基础的关系是本节课复习的主旨．3．教师要自始至终引导学生积极主动地参与到解决问题的过程中来，以提高阅读理解能力为突破口，有意识地用数学思想方法分析问题，探索解决问题的途径，达到用活用好通性通法，触类旁通的目的．4．培养学生良好的解题习惯，力求做到步骤完整，推导论证言必有据，计算准确迅速，格式规范，书写清晰，避免无谓失分．。
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量高中数学教案：极限的运算法则与无穷小量一、引言数学中的极限是一种重要的概念，在高中数学中也是一个重要的内容。
本教案将重点介绍极限的运算法则与无穷小量的相关知识。
通过深入了解这些内容，学生将能够更好地理解和应用极限的概念。
二、极限的运算法则与无穷小量的定义1. 无穷小量的定义及性质无穷小量是指当自变量趋于某一确定值时，函数值也趋于零的量。
常见的无穷小量有极限为零的数列和极限为零的函数。
2. 极限的四则运算法则在计算极限时，可以利用四则运算法则简化计算过程。
四则运算法则包括：- 两个极限的和等于极限的和；- 两个极限的差等于极限的差；- 两个极限的积等于极限的积；- 两个极限的商等于极限的商（其中除数极限不为零）。
三、极限的运算法则的应用1. 极限的运算示例通过具体的例子来演示极限的运算法则的应用，例如计算以下极限：- lim(x→2) [3x^2 + 2x - 1]- lim(x→1) [√(2x+1) + 4]2. 极限的运算法则的推理在应用极限的运算法则时，有时需要进行推理和证明。
通过给出一些列的推理步骤和相应的证明过程，学生可以更好地理解极限的运算法则的原理。
四、极限的运算法则与函数的性质1. 连续函数的性质连续函数在定义域内具有连续性的特点，具体包括：- 在定义域内无间断点；- 函数值与自变量在定义域内的微小变化成正比。
2. 极限的运算法则与连续函数的关系利用极限的运算法则，可以更好地理解和证明连续函数的性质。
通过给出一些典型的连续函数和相应的极限运算，学生可以加深对连续函数性质的理解。
五、总结通过学习本教案，我们对极限的运算法则与无穷小量有了更深入的了解。
极限的四则运算法则为我们计算极限提供了方便，而无穷小量的概念则帮助我们更好地理解函数的趋势。
希望同学们通过本教案的学习，能够在高中数学中更加熟练地运用极限的运算法则与无穷小量的概念。
高中数学函数极限应用教案
一、教学目标：
1. 理解函数极限的定义和概念；
2. 掌握利用极限求解函数的极限值；
3. 能够应用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学建模能力和分析问题的能力。
二、教学重点：
1. 函数极限的概念和定义；
2. 函数极限的性质及计算方法；
3. 应用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义和概念：
a. 函数极限的定义；
b. 函数极限存在的条件；
c. 函数极限不存在的情况。
2. 函数极限的性质及计算方法：
a. 两个函数的极限；
b. 函数与常数的极限；
c. 函数的和、差、积、商的极限；
d. 复合函数的极限。
3. 应用函数极限解决实际问题：
a. 利用函数极限求解函数的极限值；
b. 利用函数极限解决实际问题。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入一个实际问题，引发学生对函数极限的思考。
2. 学习函数极限的定义和概念，让学生理解极限的概念及计算方法。
3. 练习函数极限的性质及计算方法，让学生熟悉函数的各种性质及运用方法。
4. 考察学生对函数极限概念的理解，进行课堂小测验。
5. 应用函数极限解决实际问题，让学生将函数极限应用到实际生活中去解决问题。
6. 总结：回顾本节课的重点内容，强化学生对函数极限的理解。
五、作业布置：
1. 完成课堂练习题；
2. 完成一道函数极限应用题。
六、课后反思：
本节课教学内容设计是否合理？学生对函数极限的掌握情况如何？如有不足，如何改进？注：本教案仅为范本，实际教学内容可根据实际情况进行调整。
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大的大小。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，无穷小，无穷大。
2. 极限的表示方法：极限符号“\(\lim\)”，极限表达式。
3. 求函数在某一点的极限：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
4. 无穷小和无穷大的比较：无穷小比较，无穷大比较。
5. 极限在数学分析中的应用：导数，积分。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限。
2. 难点：无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体的例子学会求函数在某一点的极限。
3. 采用比较法，让学生理解无穷小和无穷大的概念，并能比较它们的大小。
4. 采用联系实际法，让学生了解极限在数学分析中的应用。
五、教学准备1. 教学课件：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限，无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
2. 例题：求函数在某一点的极限的例题。
3. 练习题：巩固极限的概念和求函数在某一点的极限的方法。
教案一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的极限是什么。
2. 介绍极限的表示方法，让学生熟悉极限符号“\(\lim\)”和极限表达式。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解极限的概念，解释无穷小和无穷大的概念。
2. 讲解求函数在某一点的极限的方法：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
三、案例分析（15分钟）1. 通过具体的例子，让学生学会求函数在某一点的极限。
2.让学生尝试解决一些求极限的问题，并及时给予指导和解答。
四、无穷小和无穷大的比较（10分钟）1. 讲解无穷小比较和无穷大比较的方法。
城东蜊市阳光实验学校乐安一中高三数学教案07极限【同步教育信息】 一.教学内容： 极限 【例题分析】例1.如图，圆O 1是边长为a 的正∆ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、AC 相切，圆O 3与圆O 2外切，且与AB 、AC 相切，如此无限继续，求所有圆面积之和S 。
解：设∆AB C i i 的边长为a i ，那么a a a a a a n n 1211313===+，，设⊙O i 的半径为r i 例2.设f x x x x x n ()()-=+++≠1012……，，设f x ()中x 的系数为S n ，x 3的系数为T n ，求limn T S n n n →∞-24。
解：设x t -=1，那么x t =+1即f x x x x n ()()()()=++++++1112……x 的系数S C nn =+12x 3的系数T C n n =+14例3.{}a n 为等差数列，a S n 11=，是它的前n 项之和；{}b n 是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n 是它的前n 项之和，假设a b S T n T n 3252269==-→∞=，，lim ，求数列{}a n 和{}b n 的通项公式。
解：设{}a n 的公差为d ， a S n n n d n 1112=∴=+-，()设{}b n 的首项为b 1，公比为q ，那么q <1，T b q qn n =--111()lim n T bqn →∞=∴-=9191，，即b q 1911=-<>()又 S T d b q q52122651021163=-∴+=⋅---<>，()把<1>代入<2>整理得：299142dq q =--<> 把<1>代入<3>整理得：1071852d q =-<>把<4>代入<5>整理得：91540432qq q -+=⇒=例4.在直角三角形ABC 中，AB a =，∠=∠=︒A C θ，90，排列着无限多个正方形〔如图〕，其面积依次为S S S 123，，，……试将这些正方形的面积之和S 用a 和θ表示，假设S 为直角三角形ABC 面积的12，试确定θ的值。
2024全新教学设计教案标准完整版一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第二章“函数、导数与极限”的第3节“函数的极限”。
具体内容包括：1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 函数极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
二、教学目标1. 理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质；2. 学会运用极限的运算法则，解决实际问题；3. 能够判断函数极限的存在性，了解无穷小与无穷大的概念。
三、教学难点与重点难点：函数极限的存在性判断，无穷小与无穷大的概念。
重点：函数极限的定义，极限的性质，极限的运算法则。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：教材，笔记本，练习本。
五、教学过程1. 引入：通过展示函数图像，让学生观察函数值的变化趋势，引出函数极限的概念；2. 新课导入：讲解函数极限的定义，阐述函数极限的基本性质；3. 例题讲解：讲解极限的运算法则，结合实际例子，让学生掌握极限的运算方法；4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识；5. 知识拓展：介绍无穷小与无穷大的概念，讲解极限存在的条件；7. 课堂小结：让学生回顾本节课所学内容，检查学习效果。
六、板书设计1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
七、作业设计1. 作业题目：① lim(x→0) (sinx)/x；② lim(x→1) (x^2 1)/(x 1)；① y = 1/x；② y = x + 1/x；（3）已知函数f(x) = x^3 3x，求x→3时f(x)的极限。
2. 答案：（1）① 1；② 2；（2）① 0；② ∞；（3）f(x)在x→3时的极限为18。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对函数极限的定义和性质掌握较好，但在判断极限存在性方面存在困难，需要在课后加强练习；2. 拓展延伸：引导学生了解其他数学分支中的极限概念，如微积分中的定积分、级数等，提高学生的数学素养。
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限值。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大数据。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，极限的表示方法。
2. 极限的性质：极限的保号性、极限的传递性、极限的唯一性。
3. 无穷小和无穷大：无穷小的概念，无穷大的概念，比较无穷小和无穷大数据。
4. 极限的运算法则：极限的四则运算法则，极限的复合函数运算法则。
5. 极限在数学分析中的应用：极限在求解函数极值、导数、积分等方面的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，无穷小和无穷大的概念。
2. 难点：极限的运算法则，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考问题来理解极限的概念和性质。
2. 通过实例讲解，让学生掌握求函数在某一点的极限值的方法。
3. 利用数学软件或图形计算器，动态展示极限过程，帮助学生直观理解极限概念。
4. 开展小组讨论，让学生在合作中探讨极限的运算法则和应用。
五、教学安排1课时：介绍极限的概念和表示方法；1课时：讲解无穷小和无穷大的概念；1课时：讲解极限的性质；1课时：讲解极限的运算法则；1课时：讲解极限在数学分析中的应用。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的极限题目，检测学生对极限概念和性质的理解。
2. 课后作业：布置求函数在某一点的极限值和应用极限解决实际问题的题目。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和教学内容。
2. 针对学生的疑难问题，进行解答和讲解。
3. 探索更多有效的教学资源，如数学软件、图形计算器等，以提高教学效果。
八、拓展与提高1. 极限在数学分析中的其他应用：如微分、积分等。
2. 极限在实际问题中的应用：如物理学、工程学等领域的应用。
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的定义及极限的基本性质。
2. 学会求解函数在某一点的极限，理解极限在数学分析中的重要性。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 极限的概念：引入极限的概念，解释极限的含义，举例说明极限在数学分析中的应用。
2. 极限的定义：讲解极限的定义，分析极限的性质，如保号性、单调性等。
3. 求解极限：教授求解极限的方法，如直接求解、因式分解、有理化等。
4. 极限在实际问题中的应用：通过实例讲解极限在实际问题中的应用，如物理中的速度与加速度、化学中的浓度等。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念、极限的定义及求解方法。
2. 难点：理解极限的保号性、单调性等性质，以及极限在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解极限的概念、定义及求解方法。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图形等形式直观地展示极限的过程。
3. 结合实际问题，引导学生运用极限解决实际问题。
4. 开展课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与度。
五、教学过程1. 导入：通过实例引入极限的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解极限的概念：解释极限的含义，强调极限在数学分析中的重要性。
3. 讲解极限的定义：详细讲解极限的定义，分析极限的性质。
4. 求解极限：教授求解极限的方法，并进行示例讲解。
5. 应用极限解决实际问题：通过实例讲解极限在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
10. 学生反馈：收集学生对课堂教学的反馈，了解学生的学习情况，调整教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：对学生在本节课中所学的极限概念、极限的定义及求解方法进行评价。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂表现等。
3. 评价标准：能准确理解极限的概念，熟练掌握极限的定义及求解方法，能够运用极限解决实际问题。
课 题：2.2数列的极限教学目的：1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝12n(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-12n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n 101二、讲解新课：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn三、讲解范例：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…； 解：（1）1，21，31，…，n1，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n1＝0. （2）21，32，43，…，1+n n，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1+n n ＝1.（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即lim n →∞(-2)＝-2.（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n)1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(-｝的极限是0，即limn →∞n)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(-｝无极限四、课堂练习：1．下列命题正确的是（ ）①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④答案：D2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91，…，21n，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n,…，答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3 答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n21可以任意小.故选B.4.下列数列，不存在极限的是…( )A.ΛΛ,)1(,,271,81,131n n ---B.ΛΛ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n n C.－1，1，－1，1，…，(－1)n，… D.ΛΛ,1,,34,23,2nn + 答案：C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1. 五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设等比数列{q n －1}(|q |＞1)的前n 项和为S n ，则∞→n lim nn S S 2+的值是A.21q B.41qC.q 2D.q 42.已知a ＞b ＞1，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是A. －abB.a1C.－bD.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n ，f (x )中x 2的系数为T n ，则∞→n limnn T n23+等于 A.31 B.61C.1D.25.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞→n limnnS S 2}，则N 等于 A.{0，1}B.{1，21 } C.{0，21} D.{0，1，21} 6. ∞→n lim )11(--+n n n 等于A.1B.0C.21 D.不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.无穷数列{2312++k k }（k =1,2,3,……）的各项和是___________. 8.在数列{a n }中，若∞→n lim (3n －1)a n =1,则∞→n lim na n =___________.9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.10.已知∞→n lim （112++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (x )=422+x (x ＞0),设a 1=1,且a n +12·f (a n )=2(n ∈N *)，求(1)数列{a n }的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--13.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；（Ⅱ）求∞→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.14.设数列{a n }满足a 1+3232a a ++…+na n =a 2n－1,{a n }的前n 项和为S n (a ＞0,a ≠1,n ∈N *).(1)求a n ; (2)求∞→n limna S n n)1(2-；（3）求证：(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2参考答案：一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a 1≤23,且a 1≠1. 三、12.解：（1）由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或13.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.14.解（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2)a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a2n －2(2a 2+1)＞0∴原不等式成立.。
