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2020版高考数学(理)刷题小卷练： 29 Word版含解析

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Earlybird 刷题增分练 29 空间向量与立体几何 刷题增分练○29 小题基础练提分快 一、选择题 1．[2019·台州模拟]在空间直角坐标系O－xyz中，z轴上到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)距离相等的点C的坐标为( ) A．(0,0，－1) B．(0,0,1) C．(0,0，－2) D．(0,0,2) 答案：C 解析：设C(0,0，z)，由点C到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)的距离相等，得12＋02＋(z－2)2＝(2－0)2＋(－2－0)2＋(z－1)2，解得z＝－2，故C(0,0，－2)．

2．设三棱锥OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点G是△ABC的重心，则OG→等于( ) A．a＋b－c B．a＋b＋c

C.12(a＋b＋c) D.13(a＋b＋c)

答案：D 解析：如图所示，OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13(AB→＋AC→)＝OA→＋13(OB→－

OA→＋OC→－OA→)＝13(a＋b＋c)． 3．已知A∈α，P∉α，PA→＝－32，12，2，平面α的一个法向量n＝0，－12，－2，则直线PA与平面α所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．150° 答案：C

解析：设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝cos〈PA→·n〉＝

|PA→·n||PA→||n|＝14＋21＋2·14＋2＝32.∵θ∈[0°，90°]，∴θ＝60°，故选C. Earlybird 4．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如图所示，则异面直线D1C与AC1所成的角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：D 解析：由三视图可知几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两底边长分别为1,2，高为1，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.连接DC1，易得AD⊥D1C，DC1⊥D1C，AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1，所以D1C⊥AC1，所以异面直线D1C与AC1所成的角为90°. 5.

[2019·衡阳模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为( )

A.33 B.32

C.22 D.12 答案：D 解析：连接AC，B1C，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴∠B1AC为异面直线EF与AB1所成的角．在△AB1C中，∵AB1，

AC，B1C为面对角线，∴AB1＝AC＝B1C，∴∠B1AC＝π3，∴cos∠B1AC

＝12. 6．[2019·陕西质检]已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝( ) Earlybird A．－154 B.154 C．－14 D.14 答案：D

解析：解法一 取BC的中点O，连接OA，OD，所以OA⊥OC，OD⊥OC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以OA⊥平面BCD，所以OA，OD，OC两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，因为AB＝4，所以B(0，－2,0)，D(23，

0,0)，C(0,2，0)，A(0,0,23)，所以AB→＝(0，－2，－23)，CD→＝(23，

－2,0)，则cosθ＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|＝

0×23＋－2×－2＋－23×0

02＋－22＋－232×232＋－22＋02＝416＝14.

解法二 如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或

其补角为异面直线AB与CD所成的角，依题得OE＝12CD＝2，OF＝12AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝

12OA＝3，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，

所以由余弦定理得EG＝ OG2＋OE2－2OG·OEcos∠EOG＝ 12＋22－2×1×2×cos120°＝7， 由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝(3)2＋(3)2＝10，在△OEF中，Earlybird 由余弦定理得cos∠EOF＝OE2＋OF2－EF22OE·OF＝22＋22－102×2×2＝－14，因为θ＝

0，

π

2，所以cosθ＝14.

7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：A 解析：

由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，

C(3，0,0)，D32，12，a，E(0,0，a)，所以ED→＝32，12，0，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，

cos〈ED→，n〉＝ED→·n|ED→||n|＝12322＋122＋02×1＝12，

〈ED→，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A. 8．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( ) A．150° B．45° C．120° D．60° 答案：D

解析：如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，Earlybird 过D作DE∥AB，连接CE，所以DE∥AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在直角三角形DEC中，CE＝213，在三角形

ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝CA2＋AE2－CE22CA×AE＝12，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小为60°. 二、非选择题 9．向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝________. 答案：(28，－26，－7) 解析：a＋6b－8c＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0)＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0)＝(28，－26，－7)． 10．[2019·南宁二中、柳州高中两校联考]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．

答案：210 解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，B1D1(图略)，易知∠B1AD1就是异面直线AB1与BC1所成的角．因为AB＝3，BC＝2，AA1＝1，所以AB1＝32＋12＝10，AD1＝22＋12＝5，B1D1＝22＋32＝13.在△AB1D1中，由余弦定理，得cos∠B1AD1＝102＋52－132

2×10×5＝210.

11.

正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

答案：π6

解析：以C为原点建立坐标系C－xyz，得下列坐标：A(2,0,0)，Earlybird C1(0,0,22)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C232，32，22.所以AC1→＝(－2,0,22)，AC2→＝－12，32，22，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝AC1→·AC2→|AC1→||AC2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈

0，

π

2，所以θ＝π6.

12.

如图，已知AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________． 答案：6 解析：取AC的中点D，连接OD，PD，则OD⊥AC，PD⊥AC，∴∠PDO是二面角P－AC－B的平面角．∵PA＝AB＝2，AC＝BC，

∴PO＝3，OD＝22，∴二面角P－AC－B的正切值tan∠PDO＝POOD＝6. Earlybird 刷题课时增分练○29 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题 1．[2019·泸州模拟]在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为30，则m的值为( ) A．－9或1 B．9或－1 C．5或－5 D．2或3 答案：B 解析：由题意|PP1|＝30， 即m－42＋－12＋－22＝30，∴(m－4)2＝25， 解得m＝9或m＝－1.故选B.

2．在空间四边形ABCD中，若AB→＝(－3,5,2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为( ) A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1) 答案：B 解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，

所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12

(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，

－4)]＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)． 3．[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )

A.15 B.56

C.55 D.22 答案：C

解析： 图(1)

解法一 如图(1)，在长方体ABCD—A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA—A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性

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2020版高考数学(理)刷题小卷练 32 Word版含解析

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刷题增分练椭圆的定义、标准方程及性质刷题增分练小题基础练提分快一、选择题．椭圆＋＝的离心率为( )．答案：解析：由题意得＝，＝，则＝，所以椭圆的离心率＝＝，故选.．[·佛山模拟]若椭圆＋＝的离心率为，则＝( )或或答案：解析：若焦点在轴上，则方程化为＋＝，依题意得＝，所以＝；若焦点在轴上，则方程化为＋＝，同理可得＝.所以所求值为或.．过椭圆＋＝的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，则与和椭圆的另一个焦点构成的△的周长为( )．．．．答案：解析：因为椭圆方程为＋＝，所以＝.根据椭圆的定义，知△的周长为＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＝.．[·全国卷Ⅱ]已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点．若⊥，且∠＝°，则的离心率为( )．－．－－答案：解析：在△中，∠＝°，不妨设椭圆焦点在轴上，且焦距＝，则＝，＝，由椭圆的定义可知，方程＋＝中，＝＋，＝，得＝，＝，所以离心率＝＝＝－.故选.．[·河南豫北重点中学联考]已知点是椭圆＋＝(>)上的点，，是椭圆的左、右顶点，则△的面积为( ) ．．答案：解析：由题可得＋＝，∴＝，解得＝(负值舍去)，则△＝××＝，故选.．[·河南安阳模拟]已知，分别是椭圆＋＝(>>)的左、右焦点，为椭圆上一点，且·(＋)＝(为坐标原点)．若＝，则椭圆的离心率为( )－－答案：解析：以，为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)＝知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴＝，∴△是直角三角形，即⊥.设＝，则(\\(()＋＝，,(()(＋＝((，))∴(\\(＝(()＋)，＝(())，))∴＝＝＝－，故选.．若点和点分别为椭圆＋＝的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( ) ．．．．答案：解析：由椭圆＋＝可得(－)，点()，设(，)(－≤≤)，则·＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋，－≤≤，当且仅当＝时，·取得最大值.．[·黑龙江大庆模拟]已知直线：＝与椭圆：＋＝(>>)交于，两点，其中右焦点的坐标为()，且与垂直，则椭圆的离心率的取值范围为( )答案：解析：由与垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得＝＝，由>，即>，可得>＝－，即>，可得<<.故选.二、非选择题．[·河南开封模拟]如图，已知圆：(＋)＋＝，点(，)，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于.则动点的轨迹Γ的方程为．答案：＋＝解析：连接，因为在线段的垂直平分线上，所以＝，得＋＝＋＝。

2020版高考数学(理)刷题小卷练：_20_word版含解析

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4．[2019·全国名校大联考]若数列{an}满足a1＝2，a ＋a ＝2an＋1·an(n∈N*)，则数列{an}的前32项和为()
A．64 B．32
C．16 D．128
答案：A
解析：由a ＋a ＝2an＋1·an(n∈N*)，得(an＋1－an)2＝0，an＋1＝an.∵a1＝2，∴an＝2，∴数列{an}的前32项和S32＝2×32＝64.故选A.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n n，则数列{an}中的最大项为()
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解法一an＋1－an＝(n＋1) n＋1－n n＝ · n，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.
所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2× 2＝ .故选A.
解法二 ＝ ＝ ，
令 >1，解得n<2；令 ＝1，解得n＝2；令 <1，解得n>2.又an>0，
故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2× 2＝ .故选A.
A．(1,4) B．(2,5)
C．(1,6) D．(4,6)
答案：A
解析：因为对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以数列是递增数列，因此 解得1<a<4.故选A.
3．数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝ ，则a7等于()
2020版高考数学(理)刷题小卷练： 25 Word版含解析

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中表示的区域(用阴影部分表示)是( )Cy ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，或⎩⎨⎧y ≤0，作出不等式组表示的平面区域，，由图知，当直线u＝x－×3＝－5，此时12，符合题意，故k＝河州统一检测]若目标函数z＝ax＋by(a>0a b＝4x－2＋14x－5的最大值为，所以5－4x>0，则f(x＝－32x＋z2.x.平移直线l0，当直线y＝－取最大值，z max＝3×2＋2×企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案：216 000解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2 100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．＝20－5λ＝5，得λ＝3.故选A.太原模拟]已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多)C.148 D.164答案：D解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设m＝2x－3y＋4，在直线2x－3y＋4＝0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数，在点A处m取得最小值，联立⎩⎨⎧y＝7－3x，x＋3y＝13，解得x＝1，y＝4，此时m min＝2×1－3×4＋4＝－6，则|m|max＝6，在直线2x－3y＋4＝0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数，在点C处m取得最大值，联立⎩⎨⎧y＝7－3x，x＝y＋1，解得x＝2，y＝1，即C(2,1)，此时m max＝5，|m|max＝5，故|m|max＝6，故z＝⎝⎛⎭⎪⎫12|2x－3y＋4|在点A(1,4)处取得最小值，最小值为z＝⎝⎛⎭⎪⎫126＝164，故选D.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案：9解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大，的中点即可．，解得A(1,0)．0，，解得B(2,3)．0，。

2020版高考数学(理)刷题小卷练： 4 Word版含解析

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C．－1－e D．e＋1答案：A解析：∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于原点对称．∵当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，∴函数f(x)的周期为2.∴f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0答案：C解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.二、非选择题9．已知f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，则f(0)＋m＝________.答案：2解析：∵f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，∴m－4＋m＝0，解得m＝2，又f(0)＝0，∴f(0)＋m＝2.10．已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________.答案：1解析：由题意得f(x)＝f(6－x)＝－f(x－6)，即f(x－6)＝－f(x)，则f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为12.故f(2 018)＝f(12×168＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝1.11．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)．2)＝0(a>0且a≠1)在(－2,6)内有的图象与y＝log a(x＋2)的图象在(－2,6)。