(完整word版)高三理科数学选择题填空题专项训练

高三数学试题一．填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为 .2.已知对任意的()()[],00,,1,1x y ∈-∞+∞∈-U ，不等式22268210x xy y a x x+----≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .3.在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 。

4.已知()y f x =是定义在¡上的增函数, 且()y f x =的图像关于点(6,0)对称. 若实数x , y 满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤, 则22x y +的取值范围___________.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm, 杯深8cm. 如图所示, 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分, 一个玻璃小球放入玻璃杯中, 若小球能够碰到杯底, 求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).CPxO y二．选择题：6.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心, A ,B ,C 为ABC ∆的内角, 若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r , 则m 的值为 答 [ ] A. 1 B. sin A C. cos A D. tan A7.已知点列()(),n n n A a b n N *∈均为函数()0,1x y a a a =>≠的图像上，点列(),0n B n 满足1n n n n A B A B +=，若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ ）（A ）5151⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （B ）5151⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U （C ） 31310,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 8.过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+¥则直线AB 有（ ）（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条三．解答题：9.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点()()()1,0,,0A M m n n ≠都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O.（1）设点M 关于y 轴相交的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点T ，使得?TP TQ ⊥若存在，求出点T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点()0,2D 的直线l 与双曲线C 交于R,S 两点，且OR OS RS +=u u u r u u u r u u u r，试求直线l 的方程.xy O BCA10.已知双曲线22:12x C y -=, 设过点(A -的直线l 的方向向量为(1,)e k =r .(1) 当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时, 求直线l 的方程及l 与m 的距离;(2) 证明: 当k 时, 在双曲线C 的右支上不存在点Q , 使之到直线l .11.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．12.设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式.13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()21.n n n S a S n N*-=∈（1）求出123,,S S S 的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n b a a n N +*+=-⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）设()()1n n c n a n N =+⋅∈*，在数列{}n c 中取出()3m m N m *∈≥且项，按照原来的 顺序排列成一列，构成等比数列{}n d ，若对任意的数列{}n d ，均有12n d d d M +++≤L ，试求M 的最小值.14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，满足nn a p S p -=-2)1(（*N n ∈），其中p 为正常数，且1≠p ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，7823741a a a a a n >⋅⋅⋅⋅-Λ恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若21=p ，设数列}{n b 对任意*N n ∈，都有2123121a b a b a b a b n n n n ---++++Λ 12121--=+n a b n n ，问数列}{n b 是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．15.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=A ．0B ．1CD ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = A ．–4B ．–2C ．2D ．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14B ．12C ．14D ．124．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2B ．3C ．6D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．209．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)2021年普通高等学校招生全国统一考试全国三卷理科数学（word版附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0?B．?1?B?2? C．?1，1，2? D．?0，2．?1?i??2?i?? A．?3?iB．?3?iC．3?i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．若sin??，则cos2??3A．5 B．7 9 C．?7 9 D．?8 92??5．?x2??的展开式中x4的系数为x??A．10 B．20 C．402 D．806．直线x?y?2?0分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则△ABP面积的取值范围是6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32??D．??22，32?7．函数y??x4?x2?2的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p? A．0.7C．0.4D．0.3a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若△ABC的面积为，则C?4ππππA． B． C． D．2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积10．设A，B，为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A．123B．183C．243D．543x2y2b?0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F211．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5B．2C．3D．212．设a?log0.20.3，b?log20.3，则A．a?b?ab?0B．ab?a?b?0C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两16．已知点M??1，点．若∠AMB?90?，则k?________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）a5?4a3．等比数列?an?中，a1?1，（1）求?an?的通项公式；（2）记Sn为?an?的前项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：第一种生产方式第二种生产方式超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，P?K2≥k? 0.050 0.010 19．（12分）3.841 0.001 6.635 10.828 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）x2y2已知斜率为的直线与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为43M?1，m??m?0?．1（1）证明：k??；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数f?x???2?x?ax2?ln?1?x??2x．（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0；（2）若x?0是f?x?的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）?x?cos?，⊙O的参数方程为?在平面直角坐标系xOy中，（为参数），过点0，?2y?sin????且倾斜角为?的直线与⊙O交于A，B两点．（1）求?的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4―5：不等式选讲]（10分）设函数f?x??2x?1?x?1．（1）画出y?f?x?的图像；???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）当x∈?0，参考答案：1 C2 D3 A4 B5 C6 A7 D8 B9 C 10 B 11 C 12 B感谢您的阅读，祝您生活愉快。

单元质量测试(六) 时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，则a ∥α的一个充分条件是( ) A ．α∥β，a ∥β B ．α⊥β，a ⊥β C ．a ∥b ，b ∥α D ．α∩β＝b ，a ⊄α，a ∥b答案 D解析 对于A 选项直线a 有可能在平面α内，B 选项可以推出a ∥α，或者a 在平面α内，对于C 选项直线a 有可能在平面α内，D 选项是正确的，故选D.2．已知一个四周体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，(1,1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，(1,0,1)，画该四周体三视图中的正视图时，以yOz 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )答案 A解析 由直观图可得A 中的图正确，故选A.3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 S 表＝4πR 2＝6π，∴R ＝62，设正四棱柱底面边长为x ，则x 2＋x 2＋22＝(2R )2，∴x ＝1. ∴V 正四棱柱＝2.故选B.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是( )A ．4 2B ．2 5C ．6D ．4 3答案 D解析 该几何体为边长为4的正方体的一部分，如图，最长的边为PC ＝4 3.5．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .上述命题中，全部真命题的序号是( ) A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 A解析 对于①，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以②错误；对于③，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以③错误；对于④，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以④正确．故选A.6．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π答案 C解析 ∵S △OAB 是定值，且V O －ABC ＝V C －OAB ，∴当OC ⊥平面OAB 时，V C －OAB 最大，即V O －ABC 最大．设球O 的半径为R ，则(V O －ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π.7．已知甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示．记甲的体积为V 甲，乙的体积为V 乙，则( )A ．V 甲<V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲>V 乙D ．V 甲，V 乙的大小不能确定答案 C解析 如图，在正方体中，甲几何体的直观图是四棱锥D －A 1B 1C 1D 1，乙几何体的直观图是三棱锥D －A 1B 1C 1，明显有V 甲>V 乙，故选C.8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.17π2 B ．8π C.15π2D ．9π答案 B解析 由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V ＝π×12×(5＋3)＝8π，故选B.9．在菱形ABCD 中，A ＝60°，AB ＝3，将△ABD 折起到△PBD 的位置，若二面角P －BD －C 的大小为2π3，则三棱锥P －BCD 的外接球的体积为( )A.4π3B.3π2 C.77π6D.77π2答案 C解析 取BD 中点E ，连接PE ，CE ，则∠PEC ＝2π3，PE ＝CE ＝32，设△BCD 的外接圆的圆心与球心的距离为h ，三棱锥P －BCD 的外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝1＋h 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫334－h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝R 2，∴R ＝72，h ＝32，∴三棱锥P －BCD 的外接球体积为4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝77π6.故选C. 10．已知ABC －A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°答案 A解析 如图所示，取AC 的中点N ，以N 为坐标原点，建立空间直角坐标系．∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，0，a ， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，0. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，a ， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，CC 1→＝(0,0，a )． 设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB 1→＝0，n ·AD →＝0，可取n ＝(3，1，－2)．cos 〈CC 1→，n 〉＝CC 1→·n|CC 1→||n |＝－2aa ×22＝－22， ∴直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为45°.11.如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则平面EFC 1B 和平面BCC 1所成二面角的正切值等于( )A ．2 2 B. 3 C. 5 D.7答案 A解析 设正方体的棱长为2，建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E (1,0,0)，F (0,0,1)，EB →＝(1,2,0)，EF →＝(－1,0,1)，易知平面BCC 1的一个法向量为CD →＝(0，－2,0)，设平面EFC 1B 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·EB →＝x ＋2y ＝0，m ·EF →＝－x ＋z ＝0，令y ＝－1，则m ＝(2，－1,2)，故cos 〈m ，CD →〉＝m ·CD→|m ||CD →|＝23×2＝13，tan 〈m ，CD →〉＝2 2. 12．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成相互垂直的两个平面后，某同学得出下列四个结论：①AB →·AC →＝0； ②∠BAC ＝60°；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量相互垂直．其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案 B解析 以D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，令AD ＝a ，则A (0,0，a )，B (a ，0,0)，C (0，a,0).AB →＝(a,0，－a )，AC →＝(0，a ，－a )，AB →·AC →＝a 2≠0，故①错；cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 22a ×2a ＝12，∠BAC ＝60°，故②对；由于AB ＝AC ＝BC ＝2a ，AD ＝DB ＝DC ＝a ，所以三棱锥D －ABC 为正三棱锥，故③对；由图易知④错．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好上升r ，则Rr＝________.答案233解析 由水面高度上升r ，得圆柱体积增加πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2r .故R r ＝233. 14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，AA 1＝22，则球O 的表面积为________．答案 16π解析 由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即22＋22＋222＝4，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π.15．如图，四边形ABCD 为菱形，四边形CEFB 为正方形，平面ABCD ⊥平面CEFB ，CE ＝1，∠AED ＝30°，则异面直线BC 与AE 所成角的大小为________．答案 45°解析 本题考查空间异面直线所成角的求解．∵BC ∥AD ，∴BC 与AE 所成的角等于AD 与AE 所成的角，即∠EAD .易知DE ＝2，AD ＝1，由正弦定理，得AD sin ∠AED ＝DE sin ∠DAE ，∴sin ∠DAE ＝22，∠DAE ＝45°.∴异面直线BC 与AE 所成角的大小为45°.16．已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，全部顶点都在球O 上，则球O 的表面积为________．答案 8π解析 依题意，该八面体的各个顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，由于该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为22，故球的半径为2，该球的表面积为4π(2)2＝8π.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)四棱锥S －ABCD 的三视图和直观图如图所示，其中正视图和侧视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M 、N 、P 分别为AB 、SA 、AD 的中点．(1)求四棱锥S －ABCD 的体积； (2)求证：直线MC ⊥平面BPN .解 (1)由三视图知SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AB ＝1，SD ＝2，∴S 正方形ABCD ＝1×1＝1， ∴V S －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ×SD ＝13×1×2＝23.(2)证明：连接PN 、PB ，设PB ∩CM ＝O . ∵P 、N 分别为AD 、SA 的中点，∴PN ∥SD . ∴PN ⊥平面ABCD .又MC ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥MC .∵在正方形ABCD 中，P 、M 分别是AD 、AB 的中点， ∴△PAB ≌△MBC ，∴∠PBA ＝∠MCB .又∠MCB ＋∠BMC ＝90°，∴∠PBA ＋∠BMC ＝90°. ∴PB ⊥MC .又PN ∩PB ＝P ，且PN 、PB ⊂平面BPN ， ∴MC ⊥平面BPN .18．(本小题满分12分)如图1，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，AB ＝2AD ＝23，AC ＝BC ，F 是AB 上一点，且AF ＝13AB ，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 内的射影E 在BD 上，如图2.(1)求证：AD ⊥平面BCE ；(2)求证：AD ∥平面CEF . 证明 (1)依题意知AD ⊥BD . ∵CE ⊥平面ABD ，∴CE ⊥AD . ∵BD ∩CE ＝E ，∴AD ⊥平面BCE .(2)在Rt △ABD 中，AB ＝23，AD ＝3，∴BD ＝3.如图，连接AE .在Rt △ACE 和Rt △BCE 中，AC ＝BC ，CE ＝CE ， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCE . ∴AE ＝BE .设DE ＝x ，则AE ＝BE ＝3－x . 在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴3＋x 2＝(3－x )2，解得x ＝1，∴BE ＝2. ∴BF BA ＝BE BD ＝23，∴AD ∥EF . ∵AD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， ∴AD ∥平面CEF .19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知四点A (12,0)，B (－4,0)，C (0，－3)，D (－3，－4)，把坐标系平面沿y 轴折为直二面角．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求平面ADO 和平面ADC 的夹角的余弦值； (3)求三棱锥C －AOD 的体积．解 (1)证明：以O 为坐标原点，OA 为x 轴，y 轴不变，OB 为z 轴建立空间直角坐标系，则A (12,0,0)，B (0,0,4)，C (0，－3,0)，D (0，－4,3)．由于BC →·AD →＝(0，－3，－4)·(－12，－4,3)＝12－12＝0，所以BC ⊥AD . (2)设平面ADO 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·OD →＝－4y 1＋3z 1＝0，n 1·OA →＝12x 1＝0，得平面ADO 的一个法向量为n 1＝(0,3,4)． 设平面ADC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝－y 2＋3z 2＝0，n 2·CA →＝12x 2＋3y 2＝0，则平面ADC 的一个法向量为n 2＝(3，－12，－4)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝0，3，4·3，－12，－45×13＝－45，故平面ADO 和平面ADC 的夹角的余弦值是45.(3)三棱锥C －AOD 的体积V C －AOD ＝V A －COD ＝13S △COD ·AO ＝13×12×3×3×12＝18.20．(本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成的，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；(2)求正四棱锥P －ABCD 的高h ，使得二面角C －AF －P 的余弦值是223.解 (1)证明：在直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，所以AB ⊥AD . 又AD ⊥AF ，所以AD ⊥平面ABFE .由于AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE .(2)由(1)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，F (2,2,0)，C (2,0,2)，P (1，－h,1)，AF →＝(2,2,0)，AC →＝(2,0,2)，AP →＝(1，－h,1)．设平面AFC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AF →＝2x 1＋2y 1＝0，m ·AC →＝2x 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，则y 1＝z 1＝－1，所以m ＝(1，－1，－1)．设平面AFP 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝2x 2＋2y 2＝0，n ·AP →＝x 2－hy 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝－1－h ， 所以n ＝(1，－1，－1－h )． 二面角C －AF －P 的余弦值为223.所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|1＋1＋1＋h |3×2＋h ＋12＝223，解得h ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＝－35舍.21．(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．解 (1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴BC ⊥AC .∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .(2)以C 为原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0,0)，A (3，0,0)，B (0，1,0)，M (λ，0,1)， ∴AB →＝(－3，1,0)，BM →＝(λ，－1,1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则平面MAB 的一个法向量为n 1＝(1，3，3－λ)．∵n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝11＋3＋3－λ2×1＝1λ－32＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12. ∴cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12. 22．(本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP .(1)设点M 为棱PD 的中点，求证：EM ∥平面ABCD ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：由于平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面ABPE ，所以BA ，BP ，BC 两两垂直．以B 为原点，BA →，BP →，BC →的方向分别为x 轴、y 轴 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,2,0)，D (2,0,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，E (2,1,0)，C (0,0,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12. 易知平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 所以EM →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12·(0,1,0)＝0，所以EM →⊥n . 又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD .(2)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.理由如下：由于PD →＝(2，－2,1)，CD →＝(2,0,0)，设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PD →＝0，n 1·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2y 1＋z 1＝0，2x 1＝0.取y 1＝1，得平面PCD 的一个法向量为n 1＝(0,1,2)．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值为25.设PN →＝λPD →(0≤λ≤1)，则PN →＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)， BN →＝BP →＋PN →＝(2λ，2－2λ，λ)．所以sin α＝|cos 〈BN →，n 1〉|＝|BN →·n 1||BN →|·|n 1|＝25·2λ2＋2－2λ2＋λ2＝25·9λ2－8λ＋4＝25. 所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－19(舍去)．因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.。

高考数学模拟试题 (一)一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.）1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（）A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7}B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 }C.{x|x≤-2或x＞3 }D. {x|x＜-2或x≥3}2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（）A.2-iB.-2+iC.iD.23.若，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（）A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C.向左平移个单位D. 向右平移个单位5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（）A. B.C. D.6．平面的一个充分不必要条件是（）A.存在一条直线B.存在一个平面C.存在一个平面D.存在一条直线7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则p的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B. 重心C.内心D. 垂心9.设{a n}是等差数列，从{a1,a2,a3,…,a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( )A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题11.设等比数列的公比q=2，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.12．设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．-2 C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案直接填在题中的横线上.）13. 已知，，则的最小值．14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得几何体的表面积为．15. 已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x+…+a n x n，若a1+a2+…+a n-1=29-n,则自然数n等于．16.有以下几个命题：①曲线x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲线(x+1)2-(y+3)2=1②与直线相交，所得弦长为2③设A、B为两个定点，m为常数，，则动点P的轨迹为椭圆④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M的轨迹是圆其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.18.（本小题满分12分）同时抛掷3个正方体骰子，各个面上分别标以数（1，2，3，4，5，6），出现向上的三个数的积被4整除的事件记为A.（1）求事件A发生的概率P(A)；（2）这个试验重复做3次，求事件A至少发生2次的概率；（3）这个试验反复做6次，求事件A发生次数ξ的数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面PAD⊥平面PAB；(3)求二面角P-DC-B.20. （本小题满分12分）如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.21.（本小题满分12分）已知函数的图象与直线相切，切点的横坐标为1.（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（本小题满分10分）[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：（1）∽；（2）EF＝FG.23.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）.（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值.24.【不等式选讲】解不等式：参考答案1.A2.D3.A4.A5.D6.D7.C8.B9.C 10.D 11.C 12.B13. 3 14. 12π15.4 16.④17．解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6.由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为z max=(-1-1)2+6=10，最小值为z min=(1-1)2+6=6,故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6.18.解：（1）解法1先考虑事件A的对立事件，共两种情况：①3个都是奇数；②只有一个是2或6，另两个都是奇数，.解法2 事件的发生有以下五种情况：三个整数都是4：；有两个整数是4，另一个不是4：；只有一个数是4，另两个不是4：；三个数都是2或6：；有两个数是2或6，另一个数是奇数：故得.（2）.（3）.19.解法一：（1）证明：∵PB=PC,∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD,∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC＋∠DBA=90°,即AO⊥BD.∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD.（2）证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC=BC, ∴CN⊥PB.①∴AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD.∴AB⊥平面PBC.∵AB平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.②由①、②知CN⊥平面PAB，连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD，得四边形MNCD为平行四边形，∴DM⊥平面PAB.∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，∵PC平面PBC.∴DC⊥PC.∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角.∵三角形PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°.∵DM平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.解法二：取BC的中点O，因为三角形PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz.（1）证明：∵C D=1，则在直角梯形中，AB=BC=2,在等边三角形PBC中，.（2）证明：，（3）显然所夹角等于所示二面角的平面角.20. 解：（1）设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为-k，所以直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).....所以直线EF的斜率为定值.（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1.∴直线ME的方程为：y-y0=x-y02..同理可得.设重心消去得21.解：（1）. ∴f(1)=1.∴节点为(1,1).∴1=-2×1+c.∴c=3.∴直线l的方程为y=-2x+3.（2）.（3）令，由得，在上是减函数，在上是增函数...22．解： EF//CB，∽.FG是圆的切线.故FG=EF.23.解：（Ⅰ）.为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当时，，故，为直线.M到的距离 .从而当时，d取得最小值.24.解：（1）时，得，解得，所以，；（2）时，得，解得，所以，；（3）时，得，解得，所以，无解.综上，不等式的解集为.。

2021年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1．若集合{|(4)(1)0}Mx x x ，{|(4)(1)0}N x x x ，则MNA ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 2155．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的开放式中，x 的系数为 。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B＝{y |y ≥0}，则A ×B 等于( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)答案 A解析 由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]． 所以A ×B ＝(2，＋∞)．2． 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C3． 给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析 当a 平行于b 所在平面时，a ，b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a ∥b ，故③不正确；由此可排除A 、B 、C ，故选D.4． 设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A.π2B ．－π2C.π4D ．－π4答案 A解析 由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－π2，即β－α＝π2.选A.5． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.6． 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2C. 5D. 6答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0. 由题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1，解得x 20＝1，所以ba ＝2，e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.7． 设随机变量ξ服从正态分布N (16，σ2)，若P (ξ>17)＝0.35，则P (15<ξ<16)＝( )A ．0.35B ．0.85C ．0.3D ．0.15答案 D解析 由正态分布的对称性知，P (ξ>16)＝0.5， 又P (ξ>17)＝0.35，所以P (16<ξ<17)＝0.5－0.35＝0.15. 于是P (15<ξ<16)＝P (16<ξ<17)＝0.15.8． 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．4 2B ．2 2C.423 D.223答案 B解析 该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，由三棱柱体积公式V ＝S底h 可得V＝2 2.9． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增 答案 A解析 变形f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. 又f (－x )＝f (x )，得函数为偶函数，故φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π4.又T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 结合图象知A 正确．10．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.11．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A解析 画出可行域，可知z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m 取最大值，由11＋m ＋m 21＋m<2解得1<m <1＋ 2. 12．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0， 构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1. 二、填空题13．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________． 答案 ±3解析 圆心O 到直线y ＝kx －1的距离d ＝1k 2＋1＝12， ∴k ＝±3.14．若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．答案 23解析 通过框图可以看出本题的实质是求x 1，x 2，x 3的方差，根据方差公式得 输出S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [2－3，2＋3]解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线l 的距离应小于等于2， ∴|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，∴⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0，∴－2－3≤a b ≤－2＋3，又直线l 的斜率k ＝－ab ，∴2－3≤k ≤2＋3，即直线l 的斜率的取值范围是[2－3，2＋3]． 16．已知如下等式：3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．答案17[]3n ＋1－(－4)n ＋1。

高三数学练习题1高三数学练习一班级姓名学号一、选择题（每小题 3 分，共 42 分）1．下列说法中，正确的是（）A．第二象限的角是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－ 831°是第二象限角D．－ 95°20′， 984°40′， 264°40′是终边相同的角2．若cos0 ，且 sin20 ，则角的终边所在的象限是（）．A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A． 1 或 4B． 1C． 4D． 84．点A(sin2015 , cos2015 )位于（）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若sin(3sin cos是第三象限的角，则22（）)，5sin cos22A．12B．1． 2D． 2C2x6．f(x)=cos （ A）f ( 2, 则下列等式成立的是（）2x) f ( x)（B）f (2x) f (x)（ C）f ( x) f (x)（ D）f ( x) f (x)7．函数y sin cos的图象的一个对称中心是（）．A．, 2 B ．5, 2C．,0 D ．,14442 8．函数y2sin x的一个单调增区间是（）．4A．, B ．4,3C ． 3 ,4D ． 5 ,442444 9．已知函数f x sin x ,下列结论中错误的是A．f x 的最大值为3B ．y f x 的图像关于,0中心对称21 / 4C．f x既偶函数 , 又是周期函数 D．y f x 的图像关于直线x对称210．函数y sin 2 ( x) cos2 (x)1是（）1212A．周期为2的偶函数B．周期为 2的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数11．已知函数f x sin2x4x R，为了得到函数 g x cos2x 的图像，只需将y f x的图像（）A．向左平移8个单位B．向右平移个单位8C．向左平移4个单位D．向右平移个单位412．函数f ( x)cos 2x2sin x 的最小值与最大值的和等于（）A.-2B.0C.3D.1 2213．已知cos cos1, sin sin 1, 则cos()（）23A．1B．5C．59D．49 667272114．已知sin x cos y，则cos x sin y的取值范围是（）2A. [1,1] B.[ 3 , 1 ] C.[1,3]D.[ 1 ,1 ] 222222二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）15．sin15sin 75．3的 x 的集合为.16．满足sin x217．已知函数 f x sin x 3 cos x,,，且函数 f x是偶函数，22则的值为 ______．18．若0x，则函数 y cos(x2)sin( x) 的最大值是___________．2619．若sin()12)=______.，则cos(33320．求值：tan 200tan 400 3 tan 200 tan 400．答案第 2 页，总 4 页高三数学练习题1三、解答题（每小题8 分，共 40 分）21．已知函数f x3sin 2x， x R ．6（ 1）求f的值；12（ 2）若sin40,5，，求f521222．已知函数f x Asin( x)( x R, A 0,0,| | ) 的部分图象如图所示2（ 1）试确定函数f x 的解析式；（ 2）若f ()1，求 cos( 2) 的值．23323．已知函数 f ( x) 4cos x sin( x) 1．6（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期及递增区间；（Ⅱ）求 f ( x) 在区间,上的最大值和最小值．643 / 424．已知函数 f ( x) sin 2 x 2 3 sin x cos x 3cos 2 x m( m R) ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当 x [0,] 时， f ( x) 的最大值为9，求实数m的值．3r3r25．（本小题满分 12 分）已知向量a(sin x,), b (cos x, 1).2（ 1）当a // b时，求2cos2x sin 2x的值；（ 2）求f x a b b 在,0上的值域2答案第 4 页，总 4 页。

重庆市潼南柏梓中学2015届高三数学（理）模拟试题Word 版含答案（1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，复数7412ii+=+ A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -2．集合{}{}20,2A x x a B x x =-≥=<，若R C A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(],4-∞B ．[]0,4C ．(),4-∞D ．()0,43．若随机变量()()~1,4,00.1X N P x ≤=，则()02P x <<= A ．0.4 B ．0.45 C ．0.8 D ．0.94．下列四个结论： ①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”. 其中正确结论的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设01a <<，则函数11x y a =-的图象大致为6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是A ．12B ．24C ．36D ．487．直线10x my ++=与不等式组30,20,20x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是A ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦8．已知向量()()0,sin ,1,2cos a x b x ==，函数()()2237,22f x a bg x a b =⋅=+-，则()f x 的图象可由()g x 的图象经过怎样的变换得到A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度9．已知抛物线28y x =的准线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y x =，点F 是抛物线的焦点，且△FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是 A ．221366x y -= B ．221163x y -= C ．221632x y -= D ．221316x y -= 10．对于函数()xf x ae x =-，若存在实数,m n ，使得()0f x ≤的解集为[](),m n m n <，则实数a 的取值范围是A ．()1,00,e ⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,00,e ⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦ C ．10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题11．为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为_________.12．执行如图所示的程序，则输出的结果为________. 13．若函数()()2221fx x x a g x x x a=++=-++与有相同的最小值，则()1af x dx =⎰___________.14．已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，若AC AB =，则ACBC =． 15．在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=，，ϕϕsin 1cos 1y x (ϕ为参数，πϕ≤≤0)，则C 1与C 2有 1 个不同公共点．16．已知函数()2123f x x x =++-，若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，则实数a 的取值范围是CB三、解答题17．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为()()(),,,2sin cos sin a b c f x x A x B C =-++()x R ∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若7a =且sin sin B C +=，求△ABC 的面积.18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望.19．如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，1ACB ∆是等边三角形，11111,//,2AC AB B C BC BC B C ===. （1）求证：111//AB AC C 平面；（2）若点M 是边AB 上的一个动点（包括B A ,两端点），试确定点M 的位置，使得平面11CAC 和平面11MAC所成的角（锐角）的余弦值是320．已知函数()22,0,ln ,0,x x a x f x a x x ⎧++<=⎨>⎩其中是实数，设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <.（1）当0x <时，讨论函数()()()xg x f x f e =⋅的单调性；（2）若函数()f x 的图象在点A,B 处的切线重合，求a 的取值范围.21．已知圆22:0C x y x y +--=经过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点F 和上顶点D .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,0P -作斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，直线BF AF ,分别交椭圆E 于点H G ,，设),(,2121R ∈==λλλλ（i ）求12λλ+的取值范围；（ii ）是否存在直线l ，使得AF GF BF HF ⋅=⋅成立？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由.22．已知数列{}n a 的首项为1，记1212()knn n k n n nf n a C a C a C a C =+++++(*N n ∈). （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．BACCB ADBDC 11．90 12．36 13．328 14．33 15．1 16．53>-<a a 或22．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=……………4分（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.……………6分∴1231()242n nn n n nf n C C C C -=++++， ∴1223312()12222n nn n n nf n C C C C +=+++++，(12)3n n +=……………8分 故31()2n f n -=. ……………10分（3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ……………12分 且121121()n n kn n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++， 相加得 121112()2()()kn n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++，∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2nn =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.……………15分 故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-....................... 16分（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）。

《高等数学》专业 年级 学号 姓名一、判断题 . 将√或 ×填入相应的括号内 .（每题 2 分，共 20 分）（ ） 1. 收敛的数列必有界 .（ ） 2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ） 3. 闭区间上的间断函数必无界 . （ ） 4. 单调函数的导函数也是单调函数.（） 5. 若 f (x) 在 x 0 点可导，则 f (x ) 也在 x 0 点可导 . （ ）6. 若连续函数 yf ( x) 在 x 0 点不可导，则曲线 yf ( x) 在 ( x 0 , f (x 0 )) 点没有切线 .（ ） 7. 若 f (x) 在 [ a, b ] 上可积，则 f (x) 在 [ a,b ] 上连续 .（） 8. 若 zf ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处的两个一阶偏导数存在，则函数 z f ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处可微 . （ ） 9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（） 10. 设偶函数 f ( x) 在区间 (1,1 ) 内具有二阶导数，且f (0)f ( 0) 1 , 则f (0) 为 f ( x) 的一个极小值 .（每题 2 分，共 20 分）二、填空题 .1. 设 f (x 1)x 2 ，则 f (x 1) .1若 f (x)2x12. 1 ，则 lim.2 xx 013.设 单 调 可 微 函 数 f ( x) 的 反 函 数 为 g( x) , f (1)3, f(1) 2, f(3)6 则g (3).4. 设 ux , 则 du.xyy5. 曲线 x 26 y y 3 在 ( 2 , 2) 点切线的斜率为.6. 设 f (x) 为可导函数 , f (1)1, F ( x)f ( 1) f ( x 2 ) ,则 F (1).xf (x )x 2(1 x), 则 f (2)7. 若t2dt .8. f ( x) x 2 x 在 [0,4] 上的最大值为.9. 广义积分e 2 x dx.10. 设 D 为圆形区域 x 2y 21, y1 x 5 dxdy.D三、计算题 （每题 5 分，共 40 分）1. 计算 lim ( 121 2 1 2 ) .nn(n 1)(2n)2. 求 y ( x 1)(x2) 2 ( x 3) 3(x 10)10 在（ 0，+）内的导数 .1 3. 求不定积分dx .x(1 x)4. 计算定积分sin 3 x sin 5 xdx .5. 求函数 f ( x, y)x 3 4x 2 2xy y 2 的极值 .6. 设平面区域 D 是由 yx, y x 围成，计算sin ydxdy .Dy7. 计算由曲线8. 求微分方程xy 1, xy 2, y x, y3x 围成的平面图形在第一象限的面积 .y2 x 的通解 .yy四、证明题 （每题 10分，共 20 分）1. 证明： arc tan xx (x) .arcsin1 x 22. 设 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续，且f ( x) 0,xx1F ( x)f (t )dtdtbf (t )证明：方程 F ( x)0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个实根 .《高等数学》参考答案一、判断题 . 将√或×填入相应的括号内（每题2 分，共 20 分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ； 10.√.二、 填空题 . （每题 2 分，共 20 分）1. x 24x 4 ； 2. 1；3. 1/2；4. ( y 1/ y) dx ( x x / y 2 )dy ；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ；8. 8 ；9.1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.解： 因为n 1 11L1n 1(2n)2n 2(n1)2(2n)2n2且lim n1n 120 ， lim2 =0n(2 n)nn由迫敛性定理知：lim (12(n 121 2 )=0n n1)(2n)2.解： 先求对数 ln yln( x 1) 2 ln( x 2) 10ln( x10)1 y 11210 yx x 2 x 10y ( x1)(x 10)(1 210x1x 2x )103.解： 原式 = 21d x1x= 21d x1 ( x )2=2 arcsin x c4.解：原式 =sin 3 x cos2 xdx33=2 cos x sin 2xdx cosxsin 2xdx233=2 sin 2xd sin x sin 2xd sin x22525x] 02[sin2 x]=[sin 2552=4/55.解： f x3x 28x 2 y 0 f y2x 2 y 0故x0或x2 y0y2当x0时 f xx( 0,0)8 ， f yy (0,0)2， f xy ( 0,0)2 y0( 8) ( 2) 220 且A=8 0（ 0， 0）为极大值点且 f ( 0,0)0当x2时 f xx( 2,2) 4 ， f yy (2,2)2， f xy ( 2,2)2 y24(2)220无法判断6.解： D= (x, y) 0y1, y2x ysin y dxdy dy21yD y0ysin y1 sin y ydydx =[ x]y2y y1= (sin y y sin y)dy= [ cos y]11yd cos y=1cos1[ ycos y]11cos ydy= 1 sin17.解： 令 uxy ， vy；则 1 u2 ， 1 v3xx ux v 1uJ2 uv2v v 1y uy vv u2v2 uvAd2 31 ln31du dvD12v8.解： 令y 2u ，知 (u)2u 4x由微分公式知： uy 22 dx2dxdxc)e ( 4xee 2 x ( 4xe 2 x dx c)e 2 x (2xe 2xe 2xc)四 . 证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解： 设f ( x)arctan x x arcsinx 211 1 1 x 2x 2 2f ( x)1 x 1 x2x21x2=011 x2f (x)cx令 x 0f (0) 0 0 0 c0 即：原式成立。

2017年高考理科数学（全国卷1）试题及答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A =｛x ｜x 〈1｝,B =｛x |31x <｝，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

在正方形内 随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p :若复数z ∈R ，则z ∈R 。

其中的真命题为( ） A ．13,p p B ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =,则{}n a 的公差为( ）A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和 等腰直角三角形组成,正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三 角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为( ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么 在和两个空白框中，可以分别填入（ ） A ．A 〉1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin （2x +2π3）， 则下面结论正确的是( ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点,则｜AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ )A ．2x <3y 〈5zB ．5z 〈2x 〈3yC ．3y <5z 〈2xD ．3y 〈2x 〈5z12．几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。

一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )． A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析 由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3.答案 D3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：A4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案 A5．某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫95－π2 c m 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.答案 C二．填空题。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】 【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+42B. 4+42C. 6+23D. 4+23【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n r rr n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】23π 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 33 37空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：()2283111405185185811d⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ=++-=∴APQ面积为：1518522185=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为'2()3f x x b =+， 由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 则34b =-； （2）由（1）可得33()4f x x x c =-+， '2311()33()()422f x x x x =-=+-， 令'()0f x >，得12x >或21x <-；令'()0f x <，得1122x -<<， 所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增， 且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+， 若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <， 即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<， 又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0x '，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc +++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. 当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.。

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估量总体.3.已知(1)n x +的开放式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，依据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：由于()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，由于1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为大事“12x y +≥”的概率，2p 为大事“1||2x y -≤”的概率，3p 为大事“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关学问，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】 B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB •=. 【答案】9 【解析】试题分析：由于OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB •=93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面对量的加法法则，2.向量垂直， 3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处A 时测得大路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，由于600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ， 在BCD Rt ∆中，由于30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m. 考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理. 14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），。

《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。