正切函数的图像和性质含答案

第课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质

[核心必知]

．正切函数

()定义：如果角α满足：α∈，α≠＋π(∈)，那么，角α的终边与单位圆交于点(，)，，α＝记作，的正切函数α我们把它叫作角，的函数α是角比值，根据函数的定义.唯一确定比值其中α∈，α≠＋π，∈.

．＝)与正弦、余弦函数的关系：()

它们统称为三，为函数值的函数比值以，为自变量角三角函数：正弦、余弦、正切都是以()角函数．

()正切值在各象限内的符号如图．

．正切线

单位圆与轴正半轴交于点，过点作轴的垂线，与角α的终边或其反向延长线交于点.则称线．不存在的正切线α角，时的终边在轴上α的正切线．当角α段为角

．正切函数的图像和性质

函数 ＝ 性质

图像

续表

函数

性质 ＝

定义域 {∈且≠π＋，∈}

值域

周期性 最小正周期为＝π

奇偶性 奇函数

单调性 在(π－，π＋)(∈)上是增加的

对称性 图像的对称中心(，)∈

[问题思考]

．你能描述正切曲线的特征吗？

提示：正切曲线是被互相平行的直线＝π＋(∈)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．

．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？

提示：不是．正切函数定义域是{≠π＋，∈}，正切曲线在每一个开区间(π－，π＋)(∈)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．

．函数＝ 的周期是吗？

提示：不是．＝ 的周期仍为π.

讲一讲

．已知 α＝，利用三角函数的定义求 α和 α.

第五章 三角函数

5.4.3 正切函数的性质与图像

教学设计

一、教学目标

1.掌握利用单位圆中正切函数定义得到图像的方法.

2.能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.

二、教学重难点

教学重点

能够利用正切函数图像准确归纳其性质并能简单的应用.

教学难点

掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图像.

三、教学过程

（一）情景引入

教师：三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.

学生：思考.

（二）探究一：正切函数的图像

教师提问：正切函数图像是怎样的？

类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性

质？

学生：思考

正切函数tan, ?()2yxxRxkkz且图象：

观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域： ()2xkkz 值域： (,)R

最值： 无最值

渐近线：()2xkkZ

周期性：最小正周期是

奇偶性: 奇函数

单调性：增区间,,22kkkz

图像特征：无对称轴，对称中心：,0Z2kk，

例1 求函数()tan23fxx的定义域、周期和单调递增区间．

【答案】定义域：12,3xxkkZ∣；最小正周期为2；单调递增区间是512,2,33kkkZ.

【解析】由232xk，得12()3xkkZ．所以函数()fx的定义域是12,3xxkkZ∣；

由于22，因此函数f(x)的最小正周期为2.

由,2232kxkkZ，解得5122,33kxkkZ.因此，函

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__________________________________________________ 正切函数的性质与图像

【知识梳理】

1．正切函数的性质

函数 y＝tanx

定义域  xx≠kπ＋π2，k∈Z

函数 y＝tanx

值域

(－∞，＋∞)

周期 T＝π

奇偶性 奇函数

单调性 在每个开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数

2．正切函数的图像

(1)正切函数的图像：

(2)正切函数的图像叫做正切曲线．

(3)正切函数的图像特征：

正切曲线是被相互平行的直线x＝π2＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

【常考题型】

题型一、正切函数的定义域、值域问题

【例1】求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝3－tanx.

[解](1)由x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)得， 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ x≠kπ＋π4，k∈Z，

所以函数y＝tanx＋π4的定义域为xx≠kπ＋π4，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．

(2)由3－tanx≥0得，tanx≤3.

结合y＝tanx的图像可知，在－π2，π2上，

满足tanx≤3的角x应满足－π2

所以函数y＝3－tanx的定义域为

 xkπ－π2

【类题通法】

求正切函数定义域的方法及求值域的注意点

求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tanx>a的不等式的步骤：

5正切函数的性质、图像的变换含答案 精品好资料-如有侵权请联系网站删除

精品好资料-如有侵权请联系网站删除 5正切函数的性质、图像的变换

1、函数y＝tan x的性质与图象见下表：

y＝tan x

图象

定义域 __________________________

值域 ______

周期 最小正周期为______

奇偶性 __________

单调性 在开区间______________________内递增

2．用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象

（1）．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．

（2）．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0

（3）．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0

（4）．函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．

y＝sin x的图象 __________的图象 精品好资料-如有侵权请联系网站删除

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______________的图象

______________的图象．

知识梳理

1、{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z} R π 奇函数 kπ－π2，kπ＋π2 (k∈Z)