2017上海静安初三数学二模

圆【题型一】圆的基本性质（2018徐汇二模6）下列说法中，正确的个数共有（ ） （1）一个三角形只有一个外接圆（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 （3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 （4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【参考答案】C【题型二】垂径定理（2018宝山嘉定二模17）如图2，点A 、B 、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么AOC ∠度数为 ▲ 度．【参考答案】︒120（2018黄浦二模6）下列命题中，假命题是（ ▲ ） （A ）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；（B ）如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （C ）如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；（D ）如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧． 【参考答案】C（2018静安二模15）如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD ，且交CD 于点E ， 如果OE =BE ，那么弦CD 所对的圆心角是 ▲ 度．【参考答案】︒120图2第15题图CBA（第6题图）【题型三】直线与圆的位置关系（2018奉贤二模6）直线AB 、CD 相交于点O ，射线 OM 平分∠AOD ，点P 在射线OM 上（点P 与点O 不重合），如果以点P 为圆心的圆与直线AB 相离，那么圆P 与直线CD 的位置关系是（▲）（A ）相离； （B ）相切； （C ）相交； （D ）不确定. 【参考答案】A（2018闵行二模6）点A 在圆O 上，已知圆O 的半径是4，如果点A 到直线a 的距离是8，那么圆O 与直线a 的位置关系可能是 （ ）（A ）相交； （B ）相离； （C ）相切或相交； （D ）相切或相离． 【参考答案】D（2018青浦二模17）如图4，在△ABC 中，BC=7，AC =，tan 1C =，点P 为AB 边上一动点（点P 不与点B 重合），以点P 为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB 的取值范围是 ▲【参考答案】3508<<PB（2018松江二模6）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，⊙B 的半径为1，已知⊙A 与直线BC 相交，且与⊙B 没有公共点，那么⊙A 的半径可以是（▲） （A ）4； （B ）5； （C ）6；（D ）7.【参考答案】D（2018虹口二模17）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB=10，sin A =35，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．如果⊙B 与中线CD 有且只有一个公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围为 ▲ ．【参考答案】56r <≤或245r =【题型四】圆与圆的位置关系（2018宝山嘉定二模6）已知圆1O 的半径长为cm 6，圆2O 的半径长为cm 4，圆心距cm O O 321=，那么圆1O 与圆2O 的位置关系是(▲) （A ）外离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切. 【参考答案】C（2018金山二模17）如果两圆的半径之比为3:2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d 的的取值范围是 ▲ ．【参考答案】3<d <15（2018徐汇二模16）已知两圆相切，它们的圆心距为3，一个圆的半径是4，那么另一个圆的半径是 ▲ ．【参考答案】1或7（2018杨浦二模6）如图2，半径为1的圆1O 与半径为3的圆2O 相内切，如果半径为2的圆与圆1O 和圆2O 都相切，那么这样的圆的个数是（ ）ACD第17题图B（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【参考答案】C（2018长宁二模6）已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．【参考答案】D（2018虹口二模6）如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果AB =6，BC =4，那么分别以AD 、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是 A ．外离；B ．外切；C ．相交；D ．内切．【参考答案】B【题型五】正多边形与圆（2018崇明二模17）在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AB 上一点（不与A 、B 重合），以点A 为圆心，AE 为半径作A ⊙，如果C ⊙与A ⊙外切，那么C ⊙的半径r 的取值范围是 ▲ ．【参考答案】813r ＜＜（2018奉贤二模17）已知正方形ABCD ，AB =1，分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B 在圆A 外，且圆A 与圆C 外切，那么圆C 的半径长r 的取值范围是 ▲ ． 【参考答案】21-2<<r【题型六】新题型（2018杨浦二模17）如图4，正D ABC 的边长为2，点A 、B 在半径为C 在圆内，将正D ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为____________．【参考答案】。

静安区“学业效能实证研究”学习质量调研九年级数学学科 2009.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列运算正确的是（ ）．（A ）532a a a =+ （B ）532a a a =⋅ （C ）532)(a a = （D ）10a ÷52a a = 2．当1-<x 时，1+x 等于（ ）．（A ）1+x （B ）1-x （C ）x -1 （D ）1--x 3．下列方程中，有实数解的方程是（ ）．（A ）022=+x （B ）023=+x （C ）0222=++y x （D ）02=+x 4．如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论中正确的是（ ）． （A ）0=+BC AC （B ）0=-BC AC （C ）0=+BC AC （D ）0=-BC AC5．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）． （A ）AB CD = （B ）AD BC = （C ）AB BC = （D ）AC BD =6．某蓄水池的横断面示意图如图1所示,分深水区和浅水区, 如果以固定的流量把水蓄满蓄水池,下面的图像能大致表示水的深度h 和注水时间t 之间关系的是（ ）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7． 在实数范围内分解因式：32-x =__________． 8．不等式组⎩⎨⎧≤>-32,01x x 的解集是_______________．（A ）（B ）（C ）（D ）thOthOt hOthO h图19．方程x x -=的根是____________．10. 如果关于x 的一元二次方程02=+-a x x 有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是_______________． 11．函数y =23+-x x 的定义域是_____________． 12．如果函数kx y =的图像经过点（–2，3），那么y 随着x 的增大而___________．13．某公司生产10000盒某种商品, 原计划生产x 天完成，实际提前2天生产完成，那么实际平均每天生产__________盒(用x 的代数式表示)．14．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数中任意抽取一个数，那么取到素数的概率是_____． 15．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点G 为重心，AB =12，那么CG =___________．16．一斜坡的坡角为α，坡长为100米，那么斜坡的高为______________(用α的锐角三角比表示)． 17．在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻折后，点B 落在点B ′处，那么DB ′的长为 ．18．如图2，三个半径为1的等圆两两外切，那么图中阴影部分的面积为__________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 19．（本题满分10分）已知：3211-==-yx ，求：22121)(y x -值．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x ． 21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AB =10，cos B =54，点D 在边BC 上，tan ∠CAD =21． （1）求BD 长；（2）设=CA a ，b CB =，用a 、b 的线性组合表示AD ．22．（本题满分10分，每小题满分各2分）D ABC图3图2某区为了了解九年级学生身体素质情况，从中随机抽取了部分学生进行测试，测试成绩的最高分为30分，最低分为23分，按成绩由低到高分成五组(每组数据可含最大值，不含最小值)，绘制的频率分布直方图中缺少了28.5~30分的一组（如图4）．已知27~28.5分一组的频率为0.31，且这组学生人数比25.5~27分的学生多了28人．根据图示及上述相关信息解答下列问题：(1) 从左至右前三组的频率依次为：___________________；(2) 在图4中补画28.5~30分一组的小矩形；(3) 测试时抽样人数为________； (4) 测试成绩的中位数落在___________组；(5) 如果全区共有3600名九年级学生，估计成绩大于27分的学生约有__________人．23．（本题满分12分）已知：如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，AC 平分∠DAB ，点E 为AC 的中点．求证：DE =BC 21．24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）已知：如图6，点A （–2，–6）在反比例函数的图像上，如果点B 也在此反比例函数图像上，直线AB 与 y 轴相交于点C ，且BC =2AC ．(1) 求点B 的坐标；(2) 如果二次函数92-+=bx ax y 的图像经过A 、B 两点，求此二次函数的解析式.图5DABCE0.160.10 0.0422.5 24 25.5 27 28.5 30 成绩(分) 组距频率图4A ．O xy25．(本题满分14分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分3分）已知：⊙O 的直径AB =8，⊙B 与⊙O 相交于点C 、D ，⊙O 的直径CF 与⊙B 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ，OE 的长为y ，（1） 如图7，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2） 当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；（3） 设⊙B 与AB 相交于G ，试问△OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2009.4.14一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．)3)(3(-+x x ； 8．231≤<x ； 9．0=x ； 10．41<a ； 11．2-≠x ； 12．减小； 13．210000-x ； 14．94； 15．4； 16．αsin 100； 17．2； 18．23π-．三、（本大题共7题，第21、22、23、24题每题10分，第25、26题每题12分，第27题14分，满分78分） 19.解：∵3211-==-yx ，∴32+=x ，32-=y ，1=xy ．……………（各2分）∴21232322)(21212122121=⨯--++=-+=-y x y x y x .…………（2+1+1分）20．解：216)2(2-=-+x x ,……………………………………………………………（3分） 01032=-+x x ,…………………………………………………………………（2分） 0)5)(2(=+-x x , ………………………………………………………………（2分）5,221-==x x .……………………………………………………………………（2分）经检验：2=x 是增根，5-=x 是原方程的根．………………………………（1分）AOBCDEF图6图7所以原方程的根是5-=x ．21. 解：(1) 在Rt △ABC 中，∵∠C =90º，AB =10，cos B =54， ∴BC =AB B cos ⋅=1054⨯=8. …………………………………………………（2分） AC =68102222=-=-BC AB ．………………………………………（1分） 在Rt △ACD 中，CD =AC CAD ∠⋅tan =621⨯=3. ………………………………（2分） BD =BC –CD = 8–3=5．………………………………………………………（1分） (2) ∵CD =3，CB =8，∴CD =83BC ，∴b CB CD 8383==．…………………………（2分）∴a b CA CD AD -=-=83．……………………………………………………（2分）22．（1）0.06，0.15，0.24； （2）小长形的高频率为0.24，高为0.16； （3）400； （4）27~28.5分； （5）1980．…………………………………………（每题2分）23．证法一：∵AB //CD ，∴∠DCA =∠BAC ．……………………………………………（1分） ∵∠DAC =∠BAC ，∴∠DAC =∠DCA ．∴DA =DC ．……………………（1+2分） ∵点E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC ．…………………………………………（2分） ∵AC ⊥BC ，∴∠AED =∠ACB =90º．…………………………………………（1分）∴△AED ∽△ACB ．∴.21==AC AE BC DE ∴DE =21BC ．…………………（2+2+1分）证法二：延长DE 交AB 于点F ，………………………………………………………（1分）∵AB //CD ，∴∠DCA =∠BAC ．…………………………（1分）∵∠DAC =∠BAC ，∴∠DAC =∠DCA ．∴DA =DC ．（1+2分）∵点E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC ．……………………（2分）∵AC ⊥BC ，∴∠CED =∠ACB =90º．∴EF //BC ．……（1分）∴点F 是AB 的中点．∴EF =21BC ．………………（1+1分） ∵AECE EF DE =，∴DE =EF =21BC ．…………………（1+1分） FD AB CE24．解：（1）设反比例函数解析式为xky =， ∵点A （–2，–6）在反比例函数图像上，∴26-=-k，……………………（1分） ∴12=k ，∴反比例函数解析式为xy 12=．……………………………………（1分） 当点B 在第一象限时，过点A 、B 分别作AD//x 轴，BE//x 轴，AD 、BE 与y 轴分别相交于D 、E ．…（1分） 则AD //BE ，∴ACBCAD BE =．………………………………………………………（1分） ∵BC =2AC ，∴BE =2AD =2×2=4．当4=x 时，3412==y ，∴点B 的坐标为（4，3）．…………………………（1分） 当点B 在第三象限时，同理可求得点B 的坐标为（–4,–3）．………………（2分） ∴点B 的坐标为（4，3）或（–4,–3）．（2）当点B 为（4，3）时，⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧--=--+=.0,43,9246,94163b a b a b a …………………………（1+1分） ∴此时二次函数解析式为9432-=x y ．…………………………………………（1分） 当点B 为(–4,–3)时，⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧--=---=-.23,0,9246,94163b a b a b a (不符合题意，舍去)……（2分） ∴二次函数解析式为9432-=x y ．25．解：（1）联结BE ，∵⊙O 的直径AB =8，∴OC =OB =21AB =4．∵BC =BE , ∴∠BEC =∠C =∠CBO ．∴△BCE ∽△OCB ．∴OCBCCB CE =．…………（1+1+1分） ∵CE=OC –OE = 4–y , ∴44xx y =-．…………………………………………（1分）∴y 关于x 的函数解析式为.4142x y -=定义域为0<x ≤4．………………（1+1分）（2）作BM ⊥CE ，垂足为M ，∵CE 是⊙B 的弦，∴EM =CE 21．设两圆的公共弦CD 与AB 相交于H ，则AB 垂直平分CD ．∴CH =OC BM COB OB COB =∠⋅=∠⋅sin sin ．…………………………………（1分）当点E 在线段OC 上时，EM =CE 21=21（OC –OE ）=21)34(21=-，∴OM = EM +OE =27321=+，……………………………………………………（1分） ∴BM=215)27(42222=-=-OM OB ．∴CD =2CH =2BM =15．………（1分）当点E 在线段OF 上时，EM =CE 21=21（OC +OE ）=27)34(21=+，∴OM = EM –OE =21327=-，……………………………………………………（1分） ∴BM =273)21(42222=-=-OM OB ．∴CD =2CH =2BM =73．……（1分）（3）△OEG 能为等腰三角形，BC 的长度为π54或π712．（有一解正确2分，全对3分）AO BCDE FHM AOBCDE F HM。

2024届上海市静安区初三二模数学试卷（满分150 分，100 分钟完成）2024.04一、选择题：（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1．下列各数中，是无理数的为（ ）A B C 0πD ．172．下列运算正确的是（ ）A ．231a a a−÷=B a=C ．()325aa =D ．336a a a+=3．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰梯形C ．正方形D ．正三角形 4．一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（ ）第5题图A ．AOB AOD ∠=∠ B ．ABO ADO ∠=∠C ．BAO DAO ∠=∠D ．ABC BCD ∠=∠6．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等； ②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：1−=______． 8．函数()11f x x =+的定义域是______．11．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．12．反比例函数21m y x+=（其中m 为任意实数）的图像在第______象限．13．将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是______．14．一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12"3，1次12"1，3次12"7，4次12"5，那么这10个数据的中位数是______．15．在ABC △中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90°．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．第16题图17．如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．18．如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．第18题图三、解答题：（本大题共 7 题，满分78 分）9．方程(x − 0 的根为______．10．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．先化简，再求值：22424412x x xx x x x−+÷−−++−，其中x=．20．（本题满分10分）解不等式组3043326xxx−≥⎧⎪⎨+>−⎪⎩，并写出它的整数解．21．（本题满分10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB CD∥．第21题图（1）求证：AC BD=；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A （1，10.0）、B （2，11.0）、C （3，12.4）、D （4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为9y x =+．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23．（本题满分12分）己知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，联结AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）联结BE 和BF ，求证：BE BF =．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．25．（本题满分14分）如图1，ABC △中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=． （1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果BPQ △是等腰三角形，求AP 的长．参考答案一、选择题1.B2. A3. C4. C5. D6. A 二、填空题7.1 8. 1x ≠− 9. 2x = 10. 60 11. 1a ≤且0a ≠ 12. 一、三 13.1414.12"515.22b a − 16.1,02⎛⎫−⎪⎝⎭17.r >518.三、解答题19.化简为12x −，代入后值为22−20.13x −<≤，整数解0,1,2,3x =21.（1）证明略 （2）1022.（1） 1.28.8y x =+（2）0.0125；应选 1.28.8y x =+；14.8 23.（1）证明略 （2）证明略 24.（1）215322y x x =−+ （2）13（3）1744,39P ⎛⎫⎪⎝⎭25.（1）9（2）17124y x x ⎛⎫=−≤< ⎪⎝⎭ （3）32或3。

上海静安区2024年初中学业质量调研九年级数学试卷（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，是无理数的为（）A.B. C.π D.172.下列运算正确的是（）A.231a a a -¸= B.a= C.()325a a = D.336a a a +=3.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A.等腰直角三角形B.等腰梯形C.正方形D.正三角形4.一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（）A .AOB AOD∠=∠ B.ABO ADO ∠=∠C.BAO DAO∠=∠ D.ABC BCD∠=∠6.对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.计算：1-=______．8.函数11y x =+的定义域是_____．9.方程(10x -=的根为______．10.如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．11.如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．12.反比例函数21k y x+=的图像在第______象限．13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．14.一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次123''，1次121''，3次127''，4次125''，那么这10个数据的中位数是______．15.在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB AC BC 、、的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．17.如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．18.如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19.先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x =20.解不等式组3043326x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，并写出它的整数解．21.已知：如图，CD 是O 的直径，AC 、AB 、BD 是O 的弦，AB CD．（1）求证：AC BD =；（2）如果弦AB 长为8，它与劣弧 AB 组成的弓形高为2，求CD 的长．22.某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP （百亿元）10.011.012.413.5■我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：()A 110.0，、()B 211.0，、()C 312.4，、()D 413.5，．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=9y x +．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）例如，分析直线AB，即()9f x x =+上的点：可知()()()()110,211,312,413f f f f ====，求得偏离方差()()()()2222211010111112.41213.5130.10254AB S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦．请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23.已知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，连接AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）连接BE 和BF ，求证：BE BF =．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．25.如图1，ABC 中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接PQ ，如果BPQ V 是等腰三角形，求AP 的长．静安区2024年初中学业质量调研九年级数学试卷含答案（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，是无理数的为（）A.B.C.0π D.17【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是无理数，零指数幂及数的开方法则．根据无理数的定义，零指数幂及数的开方法则对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 2=，2是有理数，本选项不符合题意；B是无理数，本选项符合题意；C 、01π=，1是有理数，本选项不符合题意；D 、17是有理数，本选项不符合题意．故选：B ．2.下列运算正确的是（）A.231a a a-¸= B.a= C.()325a a = D.336a a a +=【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，合并同类项．分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、231a a a -¸=，正确，本选项符合题意；B ||a =，原计算错误，本选项不符合题意；C 、236()a a =，原计算错误，本选项不符合题意；D 、3332a a a +=，原计算错误，本选项不符合题意．故选：A ．3.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A.等腰直角三角形B.等腰梯形C.正方形D.正三角形【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【详解】A ：等腰直角三角形有1条对称轴；B ：等腰梯形有1条对称轴；C ：正方形有4条对称轴；D ：正三角形有3条对称轴；综上所述正方形对称轴条数最多，故选：C ．4.一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【详解】解：当一次函数y kx b =+中0k <，0b ≥，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C ．5.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（）A.AOB AOD ∠=∠B.ABO ADO ∠=∠C.BAO DAO ∠=∠D.ABC BCD∠=∠【答案】D 【解析】【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：A 、AOB AOD ∠=∠ ，180AOB AOD ∠+∠=︒，90AOB AOD ∴∠=∠=︒，AC BD ∴⊥，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故A 不符合题意；B 、 四边形ABCD 是菱形，ABC ADC ∠=∠∴，12ABD ADB ABC ∠=∠=∠，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故B 不符合题意；C 、 四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AO BD ⊥，BAO DAO ∴∠=∠，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故C 不符合题意；D 、 四边形ABCD 是菱形，AB ∴平行于CD ，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，ABC BCD ∠=∠ ，90ABC ∴∠=︒，∴菱形ABCD 是正方形，故D 符合题意．故选：D ．6.对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题；②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.计算：1-=______．【答案】1-【解析】【分析】本题主要考查实数的化简，运用绝对值垢性质进行化简即可．【详解】解：(111=--=．1．8.函数11y x =+的定义域是_____．【答案】x ≠﹣1【解析】【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x ≠1，故答案为x ≠1.9.方程(10x -=的根为______．【答案】2x =【解析】【分析】本题主要考查了无理方程的意义．依据题意，2x ≥，从而10x ->，可得0=，进而计算可以得解．【详解】解：由题意得，20x -≥，2x ∴≥．10x ∴->．∴0=．20x ∴-=．2x ∴=．故答案为：2x =．10.如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．【答案】60【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，由题意得，218()0720n -⨯︒=︒，解得6n =，∴正六边形的中心角是360660案=，故答案为：60．11.如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．【答案】1a ≤且0a ≠【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，∴224440ac a ∆=-=-≥，而且0a ≠解得：1a ≤且0a ≠；故答案为：1a ≤且0a ≠．12.反比例函数21kyx+=的图像在第______象限．【答案】一、三【解析】【分析】根据21k+＞0，判定函数图像的分布即可．【详解】解：∵21k+＞0，∴反比例函数的图像在第一、三象限．故答案为：一、三．【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．【答案】1 4【解析】【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是1 4．故答案为：1 4．考点：列表法与树状图法．14.一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次123''，1次121''，3次127''，4次125''，那么这10个数据的中位数是______．【答案】125''【解析】【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．【详解】解：这组数据中第5、6个数据分别为125''，125''，所以这10个数据的中位数是125''，故答案为：125''．15.在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB AC BC 、、的中点，设,DE a DF b == ，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．【答案】22a b- 【解析】【分析】首先利用三角形中位线定理求得12EF AB =，则2AB EF =；然后由三角形法则求得EF DF DE =- ．代入求值即可．【详解】解：在ABC 中， 点E 、F 分别是边AC 、BC 的中点，FE ∴是ABC 的中位线．12EF AB ∴=．2AB EF ∴=．DE a = ，DF b = ，∴EF DF DE a b =-=- ．∴222AB EF a b ==- ．故答案为：22a b - ．【点睛】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得EF a b =- ．16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．【答案】1,02⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.5,0-【解析】【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得ACO CBO ∽，再根据相似三角形的性质即可求出AO 的长，从而得出点A 的坐标．【详解】解：90ACB ∠=︒ ，90CAB ABC ∴∠+∠=︒，x 轴y ⊥轴，90COA COB ∴∠=∠=︒，90CAB ACO ∴∠+∠=︒，ABC ACO ∴∠=∠，ACO CBO ∴△∽△，∴CO AO BO CO=， 点(0,1)C ，点(2,0)B ，1CO ∴=，2BO =，∴121AO =，12AO ∴=， 点A 在x 轴的负半轴，∴点A 的坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．17.如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．【答案】5r >【解析】【分析】根据圆心距d 与两圆内含的性质得出d 的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当d R r >+时，两圆外离；当d R r =+时，两圆外切；当d R r <+时，两圆相交；当d R r =-时，两圆内切；当d R r <-时，两圆内含；【详解】解： 半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，2d r ∴<-，3d = ，32r ∴<-，∴5r >r ∴的取值范围是5r >，故答案为：5r >．18.如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．【答案】161717或641717【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键．根据旋转的性质可得15B D '==，HAB ADB ''∠=∠，再由解三角形求出120cos 17AH AB HAB ''=⨯∠=，64sin 17B H AB HAB '''=⨯∠=，进而在Rt BB H ' 中求出线段1BB 的长度．【详解】解：由旋转性质可知：8AB AB '==，90ABC ABC ''∠=∠=︒，当点D 在线段11B C上时，如图1，∴15B D '===，∴8sin 17ADB '∠=，15cos 17ADB '∠=，∵90BAB DAB ''∠+∠=︒，90ADB DAB ''∠+∠=︒，∴BAB ADB ''∠=∠，∴15120cos 81717AH AB BAB ''=⨯∠=⨯=，864sin 81717B H AB BAB '''=⨯∠=⨯=∴1201681717BH AB AH =-=-=∴17B B '===，当点D 在线段11C B 延长线上时，如图2，同理可得：15120cos 81717AH AB HAB ''=⨯∠=⨯=，864sin 81717B H AB HAB '''=⨯∠=⨯=12025681717BH AB AH =+=+=∴17B B'===，三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19.先化简，再求值：22424412x x xx x x x-+÷--++-，其中x=【答案】12x-，【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：22424412x x xx x x x-+÷--++-2(2)(2)1(2)22x x x xx x x+-+=⋅--+-122x xx x+=---12x=-，当x=时，原式===．20.解不等式组3043326xxx-≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，并写出它的整数解．【答案】不等式组的解集为13x-<≤，不等式组的整数解为：0，1，2，3．【解析】【分析】本题考查求不等式组的整数解．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可．【详解】解：3043326x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②．解不等式①得：3x -≥-，3x ≤．解不等式②得：89x x +>-，99x >-，1x >-．∴不等式组的解集为：13x -<≤．∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．21.已知：如图，CD 是O 的直径，AC 、AB 、BD 是O 的弦，AB CD．（1）求证：AC BD =；（2）如果弦AB 长为8，它与劣弧 AB 组成的弓形高为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）10【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：（1）作OE AB ⊥于点E ，交O 于点F ，连接,,AO BO 运用SAS 证明AOC BOD △△≌，可得出结论；（2）设O 的半径为R ，在Rt BOE 中，运用勾股定理列出方程求出R 的值即可得出结论．【小问1详解】解：作OE AB ⊥于点E ，交O 于点F ，连接,,AO BO 如图，∵,AB CD ∥∴,OE CD ⊥∴,COE DOE ∠=∠∵,,AO BO OE AB =⊥∴,AOE BOE ∠=∠∴,AOC BOD ∠=∠∵,,AO BO CO DO ==∴()SAS AOC BOD ≌，∴AC BD =；【小问2详解】解：设O 的半径为R ，则2OE R =-，又8AB =，∴142BE AB ==，在Rt BOE 中，222OB OE BE =+，即：()2224R R =-+，解得，5R =，∴22510CD R ==⨯=.22.某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP （百亿10.011.012.413.5■元）我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：()A 110.0，、()B 211.0，、()C 312.4，、()D 413.5，．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=9y x +．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）例如，分析直线AB ，即()9f x x =+上的点：可知()()()()110,211,312,413f f f f ====，求得偏离方差()()()()2222211010111112.41213.5130.10254AB S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦．请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．【答案】（1） 1.28.8y x =+（2）0.0125， 1.28.8y x =+，14.8【解析】【分析】本题考查一次函数和方差的应用，解题的关键是理解题意，正确运用．（1）设直线AC 的表达式为y kx b =+，代入即可作答；（2）分析直线AC ，即() 1.28.8g x x =+，分别求出(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，进而求出偏离方差2AC S ；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入5x =，作答即可．【小问1详解】解：设直线AC 的表达式为y kx b =+，根据题意10312.4k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 1.28.8k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的表达式为 1.28.8y x =+；【小问2详解】分析直线AC ，即() 1.28.8g x x =+，∴(1) 1.218.810g =⨯+=，(2) 1.228.811.2g =⨯+=，(3) 1.238.812.4g =⨯+=，(4) 1.248.813.6g =⨯+=∴偏离方差222221[(1010)(1111.2)(12.412.4)(13.513.6)]0.01254AC S =-+-+-+-=，0.01250.1025< ，∴直线AC 更合适，当5x =时，(5) 1.258.814.8g =⨯+=，故答案为：0.0125， 1.28.8y x =+，14.8．23.已知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，连接AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）连接BE 和BF ，求证：BE BF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出OD AE ∥是解题关键．（1）连接BD 交AC 于点O ，得OD 是梯形AEFC 的中位线，进而可得OD AE ∥，再证明AED ADC ∽△△，由相似三角形性质即可得出结论，（2）根据BD 垂直平分EF 即可得出结论．【小问1详解】证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OA OC OD AC ===，90ADC ∠=︒，∴OAD ODA ∠=∠，∵CF EF ⊥，AE EF ⊥，∴AE CF ，∵DE DF =，OA OC =，∴OD AE ∥，∴EAD ODA ∠=∠，∴OAD EAD ∠=∠，又∵AE EF ⊥，∴90AED ADC ∠=∠=︒，∴AED ADC ∽△△，∴AE ADAD AC=，即2AD AE AC =⋅，【小问2详解】由（1）得OD AE ∥，AE EF ⊥，∴OD EF ⊥，又∵DE DF =，∴BE BF=24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．【答案】（1）该抛物线的表达式为215322y x x =-+；（2）1tan 3BAC ∠=（3）点P 的坐标为174439⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）先证得AOB 是等腰直角三角形，可得45ABO ∠=︒，AB ==，过点C作CE x ⊥轴于E ，则90BEC ∠=︒，1CE =，4OE =，进而证得BCE 是等腰直角三角形，可得45CBE ∠=︒，BC ==90ABC ∠=︒，再运用三角函数定义即可求得答案；（3）连接AB ，先证得APQ BAC ∠=∠，得出1tan tan 3APQ BAC ∠=∠=，即13AQ PQ =，设PQ m =，则13AQ m =，可得133OQ m =+，得出1,33P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式求得173m =，即可求得答案．【小问1详解】解： 抛物线关于直线52x =对称，∴设抛物线的解析式为252y a x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，把(0,3)A 、(3,0)B 代入，得：2534104a k a k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1218a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2215115322822y x x x ⎛⎫∴=--=-+ ⎪⎝⎭，∴该抛物线的表达式为215322y x x =-+；【小问2详解】解：在215322y x x =-+中，令4x =，得215443122y =⨯-⨯+=，(4,1)C ∴，(0,3)A 、(3,0)B ，3OA OB ∴==，AOB ∴ 是等腰直角三角形，45ABO ∴∠=︒，AB ==，如图，过点C 作CE x ⊥轴于E ，则90BEC ∠=︒，1CE =，4OE =，431BE OE OB ∴=-=-=，BE CE ∴=，BCE ∴△是等腰直角三角形，45CBE ∴∠=︒，BC ==18090ABC ABO CBE ∴∠=︒-∠-∠=︒，1tan 3BC BAC AB ∴∠==；【小问3详解】证明：如图，连接AB ，由（2）知AOB 是等腰直角三角形，45BAO ∴∠=︒，45PAC ∠=︒ ，18090PAQ BAC BAO PAC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒，PQ y ⊥ 轴，90PQA ∴=︒∠，90PAQ APQ ∴∠+∠=︒，APQ BAC ∴∠=∠，1tan tan 3APQ BAC ∴∠=∠=，∴13AQ PQ =，设PQ m =，则13AQ m =，133OQ OA AQ m ∴=+=+，1,33P m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，点P 在对称轴右方的抛物线上，211533322m m m ∴+=-+，且52m >，解得：173m =，当173m =时，211751744323239y ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标为174439⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．25.如图1，ABC 中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接PQ ，如果BPQ V 是等腰三角形，求AP 的长．【答案】（1）429（2）1714y x x ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，（3）AP 的长为32或3【解析】【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）构建直角三角形，根据1cos 3ABC ∠=，得出2BH =，根据勾股定理，得出42AH =，然后22Rt 9ACH AC AH CH =+= ，，再运用正弦的定义列式计算，即可作答．（2）设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，作图，根据已有的条件得出6,BP x =-1922BQ BC ==，()163BG x =-，结合勾股定理，得出()226PG x =-，5123GQ x =+，在Rt PGQ △中，22PQ PG GQ =+，代入数值进行计算，即可作答．（3）因为BPQ V 是等腰三角形，所以进行分类讨论，分为BQ BP =,BQ PQ =以及BP PQ =，结合等腰三角形的性质以及线段的和差运算，列式作答即可．【小问1详解】解：过点A 作AH BC⊥∵6,AB B =∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．∴在3Rt 1cos BH AB AB C B H A ∠== ，解得2BH =∴223642AH AB BH =-=-=∵9BC =∴927HC BC BH =-=-=∴在22Rt 32499ACH AC AH CH =++ ，∴2Rt sin 9AH ACH C AC ==，；【小问2详解】解：如图：∵P 与Q 外切，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ∴PQ x y =+∵6,AB =∴6,BP x =-∵9BC =，点Q 是边BC 的中点∴1922BQ BC ==过点P 作PG BC ⊥于点G ∵1cos 3ABC ∠=∴()163BG x =-，则)()2222915192222662323PG BP BG BG BG x GQ x x =-=-==-=--=+，在Rt PGQ △中，22PQ PG GQ =+则()222851153699234x y x x x x ⎛⎫+=-++=-+ ⎪⎝⎭∴215394y x x x =-+-当92y =时，则29153924x x x =-+，得出1x =；当0y =时，则2153094x x x =-+，得出174x =；∵0y >∴174x <则2153179144y x x x x ⎛⎫=-+-≤< ⎪⎝⎭，【小问3详解】解：∵BPQ V 是等腰三角形，∴当BQ BP =时，962x -=，32AP x ==∴当BQ PQ =时，BPQ B A ∠=∠=∠，，则PQ AC ∥，∵点Q 是边BC 的中点，∴点P 是边AB 的中点，∴132AP AB ==，∴当BP PQ =时，PG BG ⊥，此时2BQ BG=∴()29632x -=解出304x =-<（舍去）综上：BPQ V 是等腰三角形，AP 的长为32或3。