2017年上海静安高考数学二模

2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a 的值为．4．（5分）二项式展开式中x的系数为．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车．（精确到小时）8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为．10．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能12．（5分）在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A ．B ． C．（0，1） D．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A． B． C．D．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（11分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．18．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（18分）由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣12017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可．【解答】解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．2．（5分）函数的最小正周期为π．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数=1﹣3•=1﹣•（1+sin2x）=﹣﹣sin2x的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．3．（5分）若复数z为纯虚数，且满足（2﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．【分析】由（2﹣i）z=a+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2﹣i）z=a+i，得==，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=．则实数a的值为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）二项式展开式中x的系数为10．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求得答案．，【解答】解：设二项式展开式的通项为T r+1=x2（5﹣r）•x﹣r=•x10﹣3r，则T r+1令10﹣3r=1得r=3，∴二项式展开式中x的系数为=10．故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体体积的求法，关键是明确圆锥剪展前后的量的关系，是中档题．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【分析】由α为锐角求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin （α+）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过8小时方可驾车．（精确到小时）【分析】先求出e r=，再利用89•e xr≤20，即可得出结论．【解答】解：由题意，61=89•e2r，∴e r=，∵89•e xr≤20，∴x≥8，故答案为8．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x7）+f（x8）=0，则x2017的值为4019．【分析】设设x7=x，则x8=x+2，则f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（x+1）=0=f（0），x7=﹣1．设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）．得到通项x n=2n﹣15．由此能求出x2011的值．【解答】解：设x7=x，则x8=x+2，∵f（x7）+f（x8）=0，∴f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，∴f（x+1）=0=f（0），即x+1=0．∴x=﹣1，设数列{x n}通项x n=x7+2（n﹣7）=2n﹣15∴x2017=2×2017﹣15=4019．故答案为：4019【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．9．（5分）直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为12．【分析】建立坐标系，设M （），则=（），，【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），三角形ABC外接圆（x﹣）2+（y﹣2）2=，设M （），则=（），，，故答案为：12．【点评】本题考查了圆的参数方程、三角函数的单调性、数量积坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【分析】根据对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的关系，可求的最小值．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了恒成立的问题的转化以及基本不等式的性质的运用，属于基础题．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，注意全面考虑．熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．12．（5分）在无穷等比数列{a n}中，，则a1的取值范围是（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围．【解答】解：在无穷等比数列{a n}中，，可知|q|＜1，则=，a1=∈（0，）∪（，1）．故选：D．【点评】本题考查数列的极限的求法，等比数列的应用，考查计算能力．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【分析】由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），将（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C1的左焦点到C2的准线之间的距离．【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px （p＞0），则有=2p（x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p=4，∴抛物线C2的标准方程为y2=4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C1：（a＞b＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C1的标准方程为+y2=1；由c==，左焦点（，0），C1的左焦点到C2的准线之间的距离﹣1，故选：B．【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用，考查计算能力，属于中档题．15．（5分）已知y=g（x）与y=h（x）都是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，，h（x）=klog2x（x＞0），若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，则正实数k的取值范围是（）A． B． C．D．【分析】问题转化为g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：若y=g（x）﹣h（x）恰有4个零点，即g（x）和h（x）有4个交点，画出函数g（x），h（x）的图象，如图示：，结合图象得：，解得：＜k＜log32，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及二次函数、对数函数的性质，是一道中档题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（11分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB=a，AA1=2a，E，F分别是棱AD，CD的中点．（1）求异面直线BC1与EF所成角的大小；（2）求四面体CA1EF的体积．【分析】（1）连接A1C1，由E，F分别是棱AD，CD的中点，可得EF∥AC，进一步得到EF∥A1C1，可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．然后求解直角三角形得答案；（2）直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解．【解答】解：（1）连接A1C1，∵E，F分别是棱AD，CD的中点，∴EF∥AC，则EF∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角．在△A 1C1B中，由AB=a，AA1=2a，得，，∴cos∠A1C1B=，∴异面直线BC1与EF所成角的大小为；（2）．【点评】本题考查异面直线所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【分析】（1）设M（x，y），，左焦点，通过利用二次函数的性质求出对称轴，求出的取值范围．（2）写出P点轨迹为椭圆，利用，|PF 1|+|PF2|=2a，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF 1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．18．（14分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南θ角方向，300km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．（1）问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2）城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【分析】（1）建立直角坐标系，…（1分），则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．（2）t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果．【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，…（1分）则城市A（0，0），当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为（x，y），则，此时台风的半径为60+10t，10小时后，|PA|≈184.4km，台风的半径为r=160km，∵r＜|PA|，…（5分）∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A．…（1分）（2）由（1）知t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，60+10t为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，∴300t2﹣10800t+86400≤0，即t2﹣36t+288≤0，…（5分）解得12≤t≤24…（1分）∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．…（1分）【点评】本题考查圆的性质在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题意中的隐含条件，合理地建立方程．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【分析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）∉M1．（2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出，得到对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）综上：…（1分）【点评】本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（18分）由n（n≥2）个不同的数构成的数列a1，a2，…a n中，若1≤i＜j≤n 时，a j＜a i（即后面的项a j小于前面项a i），则称a i与a j构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列的逆序数为4．（1）计算数列的逆序数；（2）计算数列（1≤n≤k，n∈N*）的逆序数；，…a1的逆序数．（3）已知数列a1，a2，…a n的逆序数为a，求a n，a n﹣1【分析】（1）由{a n}为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)＞0．当n为偶数时：0＞a2＞a4＞…＞a2n．可（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1得逆序数．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，则有（n，…a1中，逆序数为（n﹣1）﹣p1+﹣1）﹣p1不构成逆序对，可得在数列a n，a n﹣1（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣p n．【解答】解：（1）∵{a n}为单调递减数列，∴逆序数为．＞0．（2）当n为奇数时，a1＞a3＞…＞a2n﹣1当n为偶数时：∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．当k为奇数时，逆序数为；当k为偶数时，逆序数为．（3）在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n﹣1个数构成p1个逆序对，，…a1中，则有（n﹣1）﹣p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n﹣1逆序数为．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、新定义逆序数，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是 ． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ． 3．若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为 ．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x -=)( 0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________． 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫⎝⎛121，；C ．()10，；D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为 【 】A ．12-；B1；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛=⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x -=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a - 的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π; 6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11cos 1010AC B ∠==∴异面直线所成角的大小arccos …………………….4分 （2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y，x ≥1(F ，1(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅2222332x x y x =+=+-……………………………4分2532x =+-（x ≥5x =-≤)12OM F M ⎡⋅∈+∞⎣……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，12F F =122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得122a PF PF =+≥当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心(P -，设t小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………1分 （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤ ……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xk x x k x +>+++ ∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立 ∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k x k x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++== ； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>> ．……………………………1分 当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>> ． ……………………………2分 当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++= ……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++= …………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a - 中， 逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=- ．…7分。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

2023年上海市静安区高考数学二模试卷1. 若集合，，且，则______ .2. 已知是公比为q的等比数列，且、、成等差数列，则______ .3. 若复数为虚数单位，则______ .4. 已知两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为______ .5. 已知，且，则______ .6. 已知中，，且，则面积的最大值为______ .7. 已知函数为偶函数，则函数的值域为______ .8.已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于______ .9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重单位：的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下：个体编号体重脂肪含量1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：______ 结果中回归系数保留三位小数10. 如图，正方体中，E为AB的中点，F为正方形的中心，则直线EF与侧面所成角的正切值是______ .11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布的随机变量.若质量指标介于含至含之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为______ 结果保留一位小数已知，，表示标准正态分布的密度函数从到x的累计面积12.若，其中x，，则的最小值为______ .13. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为( )A. 6B. 12C. 18D. 2415. 设直线：与关于直线l：对称，则直线的方程是( )A. B.C. D.16. 函数( )A. 严格增函数B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数C. 严格减函数D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数17. 已知各项均为正数的数列满足，正整数求证：数列是等比数列；求数列的前n项和18. 如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，若，求五面体ABCDEF的体积；若M为EC的中点，求证：平面平面19. 已知双曲线其中，的左、右焦点分别为、其中若双曲线过点且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求的面积；以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率.20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球即没有用过的球，3个是旧球即至少用过一次的球每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球个数为，求随机变量的分布和期望.由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验显著性水平习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病a b42人脑瘤部位在右侧的病c d46人总计88参考公式及数据：，其中，，21. 已知函数其中a为常数若，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的最小值；当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，则，又，，，，故答案为：根据，求出a，b的值，从而确定本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】1【解析】解：因为是公比为q的等比数列，且、、成等差数列，所以，即，所以，则故答案为：由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及等比数列通项公式的应用，属于基础题．3.【答案】【解析】解：，则故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．4.【答案】【解析】解：根据题意，设要求椭圆的标准方程为，则有，解可得，则要求椭圆的方程为：，变形可得其标准方程为故答案为：根据题意，设要求椭圆的标准方程为，将点的坐标代入方程，求出m、n的值，变形可得答案．本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．5.【答案】【解析】解：因为，所以，整理可得，解得或舍去故答案为：利用二倍角的余弦公式化简已知等式可得，解方程即可求解的值．本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：已知中，，由正弦定理得：，故即面积的最大值为故答案为：直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．7.【答案】【解析】解：函数的定义域为R，因为为偶函数，所以，即，解得舍负，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，所以的值域为故答案为：利用为偶函数，求得，化简可得，再结合基本不等式，得解．本题考查函数奇偶性的应用，值域的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：向量，则，，则，即，解得，故在方向上的投影向量等于故答案为：根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由表可知，，，，，所以，，所以男性体重与脂肪含量的回归方程为故答案为：根据回归系数的公式，计算与的值，即可得解．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：连接，平面，则为直线EF与侧面所成的角，设，则，，则，则直线EF与侧面所成角的正切值是故答案为：由直线与平面所成角的作法可得为直线EF与侧面所成的角，然后求解即可．本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题．11.【答案】【解析】解：因为X是服从正态分布，所以，则故答案为：根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案．本题考查正态分布的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】解：，，当且仅当，即时，等号成立，两边平方得：，，即，，，当且仅当，时，等号成立，即的最小值为故答案为：由题意可知，再利用基本不等式求解即可．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．13.【答案】C【解析】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，，，在A中，，，，故A错误；在B中，，，，故B错误；在C中，，，，故C正确；在D中，，，，故D错误．故选：由，得，由此能求出结果．本题考查线面平行的条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意线面平行的性质的合理运用．14.【答案】B【解析】解：在转动一周的过程中，高度h关于时间t的函数解析式是：，当时，h取得最大值，所以，时刻，游客距离地面的高度相等，、关于对称，所以的最小值是，选项B正确．故选：根据高度h 关于时间t 的函数解析式求出对称轴，从而求出的最小值．本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.【答案】A【解析】解：直线：的斜率，直线的斜率为，直线l ：的斜率，由于直线与直线关于直线l 对称，利用到角公式：，解得，由于，解得，故直线的方程为，整理得故选：直接利用到角公式求出直线的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用点斜式求出直线的方程．本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：函数的定义域为，求导得，令得，所以在上，y 单调递减，在上，y 单调递增，故选：函数的定义域为，求导得，分析的符号，进而可得的单调性．本题考查利用导数分析函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】证明：已知各项均为正数的数列满足，正整数，则，又，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列；解：由可得，即，则【解析】由已知可得，然后求证即可；由可得，然后结合等比数列前n项和的公式求解即可．本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前n项和的公式，属基础题．18.【答案】解：因为，，取AD中点N，连接EN，CN，因为，所以，，，又平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因为，即，，AB，平面FAB，所以平面FAB，所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥的高等于1，底面是等腰直角三角形，所以五面体ABCDEF的体积=棱柱的体积+棱锥的体积，即：证明：以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，点，所以，所以，所以，，又，AD，平面AMD，所以平面AMD，又平面CDE，所以平面平面【解析】取AD中点N，连接EN，CN，易证得平面ABCD，五面体ABCDEF的体积等于棱柱的体积+棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案．以A为坐标原点，以为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，由垂直向量的坐标运算可证得，，即可得出平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明．本题考查了几何体体积的计算，考查了面面垂直的证明，属于中档题．19.【答案】解：双曲线过点且一条渐近线方程为，则①，双曲线过点，则②，联立①②解得，，，故双曲线的方程为，直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为，则l的方程为，代入双曲线方程可得，，设，，，则，M为线段AB的中点，则，，即，，的面积为；由题意可知，圆的方程为，联立，解得，，即，切线的斜率为，则，化简整理可得，，故，即，解得，故双曲线的离心率为【解析】根据已知条件，结合渐近线的定义，推得，再结合双曲线过点，即可求出双曲线的方程，再与直线l联立，并结合韦达定理，即可求解；先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可求解．本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．20.【答案】解：第一次训练时所取的球是从6个球新，3旧中不放回取出2个球，所以可取的值为0，1，2，，则分布列如下：0 1 2P则期望为；由题目条件可得列联表如下：习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病人 14 28 42脑瘤部位在右侧的病人 19 27 46总计 33 55 88则，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系． 【解析】由题可知可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算，比较其与大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．21.【答案】解：当时，可得，可得，所以且，所以切线方程为，即，所以曲线在点处的切线方程为解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，，当时，与在区间的情况如下表：x 1-0+极小值所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为；解：当时，，令，解得，舍去所以函数在上有一个零点；当时，与在区间的情况如下表：x a 1+0-0+极大值极小值所以函数在单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，所以函数在上只有一个零点，综上可得，当时，在上有一个零点．【解析】当时，求得，得到且，进而求得切线方程；求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．。

宝山2017二模一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若集合{}|0A x x =>，{}|1B x x =<，则A B ⋂=____________2.已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________ 3.函数()sin cos cos sin x x f x x x=的最小正周期是____________4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程3y x =，则a =____________ 5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是____________7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是____________8.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________9.设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p =____________11.设向量()(),,,m x y n x y ==-，P 为曲线()10m n x ⋅=>上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为____________12.设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14.如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A. ①②③④B.①③C. ①④D.②④15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3.点,M N 分别在12,l l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916.若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意()2,6t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是线段BC 、1CD 的中点. （1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点()(),00T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),m n D m n ⊆<，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）已知()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T,R 若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界.（1）设121|,21x xA y y x R ⎧⎫-==∈⎨⎬+⎩⎭、21|sin 2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===.若m R ∈，1,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}*|n B f m n N =∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a 、b 、c 均为正数，将()2a b -、()2b c -、()2c a -中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222{|,dC y y a b c ==++a 、b 、c 均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.宝山区答案1.(0,1)2.13. π4.35. 5.16. 37. 28. 19.1210. 0.03 11.212.512 13. B14. C15.A16.A17. （1） （2）arctan 218.（1）24y x =，证明略（2）2)(t),(0t 2)d t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩19. （1）证明略（2）12a或32a 20. （1）12k =（2）2(21,),(2,)n n n k k N S n n k k N **⎧-=-∈=⎨=∈⎩ （3）25k =-21.（1）1A 为有界集合，上界为1；2A 不是有界集合 （2）14u =，11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ （3）15λ=解析：（2）设()()011,,,1,2,3,...n n a m a f m a f a n -====，则()n n a f m =∵()2114a f m m u ==+≥，则222111111024a a a a u a u ⎛⎫-=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭且211111024n n n n n a a a u a a ---⎛⎫-=-+-≥⇒≥ ⎪⎝⎭若(){}*|N n B f m n =∈为有界集合，则设其上界为0M ，既有*0,N n a M n ≤∈∴()()()112211112211......n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ------=-+-++-+=-+-++-+2222121111111...242424n n a u a u a u m u --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212111111...22244n n a a a m n u u n u u --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++-+≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若0n a M ≤恒成立，则014n u u M ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，又11044u u ≥⇒-≥ ∴14u =，∴()214f x x =+ 设12m λ=+（i ）0λ>，则()22101011112422a a f m m a a λλλ⎛⎫⎛⎫-=-=++-+=⇒>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴111...2n n a a a m ->>>>>记()()212g x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则当1212x x >>时，()()12g x g x >∴()()()2111110n n n n n g a f a a a a g m a a λ----=-=->=-=∴()211n a a n λ>+-，若0na M ≤恒成立，则0λ=，矛盾。

2（2017奉贤二模）. 若关于x 、y 的方程组12ax y x y +=⎧⎨+=⎩无解，则a =2（2017黄浦二模）. 若关于x 、y 的方程组10420ax y x ay +-=⎧⎨+-=⎩有无数多组解，则实数a =4（2017虹口二模）. 若方程组2322ax y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a =4（2017浦东二模）. 抛物线214y x =的焦点到准线的距离为 4（2017长宁二模）. 已知双曲线22221(3)x y a a -=+(0)a >的一条渐近线方程为2y x =，则a =4（2017宝山二模）. 已知双曲线222181x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为3y x =，则a = 4（2017崇明二模）. 设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =6（2017虹口二模）. 已知双曲线2221y x a-=（0a >），它的渐近线方程是2y x =±，则a的值为7（2017黄浦二模）. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m ，0m >，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是8（2017嘉定二模）. 已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为8（2017奉贤二模）. 双曲线2213yx -=的左右两焦点分别是1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是8（2017虹口二模）. 在平面直角坐标系中，已知点(2,2)P -，对于任意不全为零的实数a 、b ，直线:(1)(2)0l a x b y -++=，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是10（2017杨浦二模）. 设A 是椭圆222214x y a a +=-(0)a >上的动点，点F 的坐标为(2,0)-，若满足||10AF =的点A 有且仅有两个，则实数a 的取值范围为10（2017闵行/松江二模）. 已知椭圆2221y x b+=(01)b <<，其左、右焦点分别为1F 、2F ，12||2F F c =，若椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=距离是1||PF 与2||PF 的等差中项，则b 的最大值为11（2017奉贤二模）. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当o y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为11（2017宝山二模）. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 12（2017长宁二模）. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是 13（2017普陀二模）. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点(0,1)Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ）A. 22x y = B. 24x y = C. 26x y =D. 28x y = 14（2017崇明二模）. ||2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15（2017崇明二模）. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 、y 的二元一次方程组152421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是（ ） A. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组有唯一解 B. 对任意q R ∈（0q ≠），方程组都无解 C. 当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 D. 当且仅当12q =时，方程组无解 15（2017黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 430x y ±=D. 340x y ±=15（2017静安二模）. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论正确的个数为（ ）① 曲线C 一定经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面 积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.FA. 0B. 1C. 2D. 316（2017虹口二模）. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：① 3450a b -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞； 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416（2017徐汇二模）. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线18（2017崇明二模）. 设1F 、2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C 的上顶点，且||AB =12BF F ∆为直角三角形；（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y kx =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值；19（20172017浦东二模）. 已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点1P 、2P 、3P 到 直线l 的距离均为d ，求d 的值.19（2017静安二模）. 设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点P满足：21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠=（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：① 顶点在椭圆Γ的中心；② 焦点与椭圆Γ的右焦点重合. 设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ，问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连 续自然数，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.19（2017崇明二模）. 某校兴趣小组在如图所示的矩形域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器 人甲，若点Q 在矩形域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败；已知18AB = 米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直 线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ；（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？ （结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过 设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形域ABCD 内成功拦截机器人甲？19（2017嘉定二模）. 如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点3(1,)2，两个焦点为)0,1(1-F 和2(1,0)F ，圆O 的方程为222a y x =+； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF 、||2BF 、||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长；19（2017长宁/宝山二模）. 已知抛物线22y px =(0)p >，其准线方程为10x +=，直线l过点(,0)T t (0)t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求抛物线方程，并证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；DABCP（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20（2017虹口二模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b； （1）求椭圆C 上的点M 的“伴随点”N 的轨迹方程； （2）如果椭圆C 上的点3(1,)2的“伴随点”为13(,)22b，对于椭圆C 上的任意点M 及它的 “伴随点”N ，求OM ON ⋅的取值范围；（3）当2a =，b =l 交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 的“伴随点”分别是P ，Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求OAB ∆的面积；20（2017闵行/松江二模）. 设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A 、B ，与圆222(5)x y r -+=(0)r >相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若4r =，求直线l 的方程；（3）试对(0,)r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）.20（2017普陀二模）. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点；（1）若(0,C 且||2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且||PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为(1,)n k =，求AOB ∆面积的最大值；20（2017黄浦二模）. 设椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左顶点为A ，中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥. （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k 、2k 的直线交椭圆M 于D 、E 两点，且121k k =，求证： 直线DE 恒过一个定点.20（2017徐汇二模）. 如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>有相同的焦点1F 、2F ，它们在y 右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=，将直线AB 左侧的椭圆部分（含A 、B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A 、B 两点）记为曲线2W ，以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)P P P x y ，交2W 于点(,)M M M x y （点M 在第一象限），设此时11F M mF P =. （1）求2W 的方程； （2）证明：1P x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系； （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求△1MF N 的面积S 的取值范围.21（2017杨浦二模）. 设双曲线Γ的方程为2213y x -=，过其右焦点且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于A 、B 两点，直线2l 的方程为x t =， A 、B 在直线2l 上的射影分别为C 、D . （1）当1l 垂直于x 轴，2t =-时，求四边形ABDC 的面积；（2）当0t =，1l 的斜率为正实数，A 在第一象限，B 在第四象限时，试比较||||||||AC FB BD FA ⋅⋅和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数(1,1)t ∈-，使得对满足题意的任意直线1l ，直线AD 和直线BC 的交点 总在x 轴上，若存在，求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置；若不存在，说 明理由.21（2017奉贤二模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>），左焦点是1F ；（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2Q 在椭圆E 上，求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为t （0t >）的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点G 、H ，设1(0,1)B ，1(2,0)A ，求四边形11AGB H 的面积取得最大值时直线1l 的方程；（3）过左焦点1F 的直线2l 交椭圆E 于M 、N 两点，直线2l 交直线x p =-（0p >）于点P ，其中p 是常数，设1λ=，1NF μ=，计算μλ+的值（用p 、a 、b 的代数式表示）；。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是 ． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ． 3．若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为 ．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x-=)(0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________． 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，． 13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为 【 】A ．12-；B1；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围； (2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向cos θ⎛=⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+． (1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由； (2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围；(3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a -的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π;6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C. 16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11cos 1010AC B ∠==∴异面直线所成角的大小…………………….4分 （2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y，x ≥1(F ，1(,)()OM FM x y x y ⋅=⋅2222332x x y x =+=+-……………………………4分2532x =-（x ≥x =≤)12OM F M ⎡⋅∈+∞⎣ ……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，12F F =122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得122a PF PF =+≥ 当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系，……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心(P-， 设t小时后台风中心P 的坐标为(),x y，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A .………1分 （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()P -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()6010t + 210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分 （2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k x k x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++==； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>>．……………………………1分当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>>． ……………………………2分当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++=……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++=…………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a -中，逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=-．…7分。

2017年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=．2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于．3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为．4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=．6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k 的取值范围是．8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是．10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为．11．（5分）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2=f（a n），且a n＞0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．（5分）已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i14．（5分）当时，方程的根的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）△MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．A．0B．1C．2D．3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（10分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．17．（14分）设函数．（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．19．（18分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足．是否存在实数λ，使得数列{c n}是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．2017年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）已知集合A={x|lnx＞0}，B={x|2x＜3}，则A∩B=（1，log23）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5J：集合．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|lnx＞0}={x|x＞1}，B={x|2x＜3}={x|x＜log23}，则A∩B=（1，log23）；故答案为：（1，log23）．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于12．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最大值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查了简单的线性规划与数形结合的解题思想方法，是基础题．3．（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为2．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式T r=x7﹣r=（﹣a）r x7﹣2r，+1令7﹣2r=3，解得r=2．∴84=（﹣a）2，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．5．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；41：有理数指数幂及根式．【专题】11：计算题．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），知f（0）=1+b=0，解得b=﹣1所以当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+2x+1，由此能求出f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意奇函数的性质的灵活运用．6．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为．【考点】QJ：直线的参数方程．【专题】35：转化思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．【分析】将直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）化为普通方程，利用圆心到直线的距离d减去半径r，可得|PQ|的最小值．【解答】解：由题意，曲线C：，消去参数θ：可得曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．直线（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y﹣6=0．由曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，﹣2），半径r=．那么：圆心到直线的距离d==可得|PQ|的最小值为：d﹣r==；故答案为：【点评】本题主要考查了参数方程化为普通方程，以及利用平面几何知识解决最值问题．7．（5分）各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n．对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量．若存在，则实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【考点】8J：数列的极限．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量，则k=﹣=﹣+•，由此，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意，数列的公比q满足0＜|q|＜1，∵对任意n∈N*，都是直线y=kx的法向量，∴k=﹣=﹣+•，∴k∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【点评】本题考查数列的极限，考查向量知识的运用，属于中档题．8．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，可得∠EAO 为所求二面角的平面角，即可得出结论．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，∴∠EAO为所求二面角的平面角．又EO=AO=a，AO=a，∴AE=a∴cos∠EAO=．∴截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是．【点评】本题考查截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值，考查学生的计算能力，正确作出二面角的平面角是关键．9．（5分）设a＞0，若对于任意的x＞0，都有，则a的取值范围是[）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由对于任意的x＞0，都有，转化为，求出a 的取值【解答】解：对于任意的x＞0，都有，得到，因为，所以，解得a；故答案为：[）．【点评】本题考查了恒成立的问题以及利用基本不等式求最值．10．（5分）若适合不等式|x2﹣4x+k|+|x﹣3|≤5的x的最大值为3，则实数k的值为8．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于|x2﹣4x+k|﹣x+3≤5，设x2﹣5x+k﹣2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2﹣3x+k+2=0的根分别为x3和x4，x3＜x4．则分x2=3 和x4=3 两种情况，分别求得k的值．【解答】解：因为x的最大值为3，故x﹣3＜0，原不等式等价于|x2﹣4x+k|﹣x+3≤5，即﹣x﹣2≤x2﹣4x+k≤x+2，则x2﹣5x+k﹣2≤0且x2﹣3x+k+2≥0解的最大值为3，设x2﹣5x+k﹣2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2﹣3x+k+2=0的根分别为x3和x4，x3＜x4．则x2=3，或x4=3．若x2=3，则9﹣15+k﹣2=0，k=8，若x4=3，则9﹣9+k+2=0，k=﹣2．当k=﹣2时，原不等式无解，检验得：k=8 符合题意，故答案为：8．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（5分）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2=f （a n），且a n＞0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为．【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】确定数列的周期为4，求出a2017=，a2016=﹣1，即可得出结论．=f（a n），且a n＞0，【解答】解：由题意，，a n+2∴a3=，a5=，a7=，a9=，…，∴a2017=，=f（a n），∴a n+4=f（a n+2），∴a n+4==a n，即数列的周期为4∵a n+2a20=a18=t，则t=，∴t2+2t﹣1=0，∵t＞0，∴t=﹣1，∴a2016=﹣1，∴a2016+a2017==，故答案为：．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查数列的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．（5分）已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据对数函数的性质由“log3a＞log3b”可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a＜（）b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”∴a＞b＞0，∵“（）a＜（）b，∴a＞b，∴“log3a＞log3b”⇒“（）a＜（）b，反之则不成立，∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，故选：A．【点评】此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．13．（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），∴1+z=i﹣iz，∴z====i．则z的虚部为1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）当时，方程的根的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】作出两函数图象，求出当直线与函数相切时的斜率，根据斜率判断交点个数．【解答】解：作出y=与y=k（x+1）的函数图象，如图所示：显然当k＞0时，两图象在（﹣∞，0）上必有一交点，设y=k（x+1）与y=相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得k=，x0=1，y0=1．∴当0时，直线y=k（x+1）与y=有两个交点，∴直线y=k（x+1）与y=有三个交点．故选：C．【点评】本题考查了方程解与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．15．（5分）曲线C为：到两定点M（﹣2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）△MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内．A．0B．1C．2D．3【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），则•=16，对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则•=16，（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；（2）以﹣x代替x，﹣y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；（3）x=0，y=，△MPN的最大面积==4＜8，故正确；（4）令y=0，可得x=±2，曲线C在一个面积为4=16的矩形范围内，不正确．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（10分）如图，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，△AOB绕BO 所在的边逆时针旋转一周．（1）求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为θ，且满足AC⊥BD，求θ．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）利用体积、表面积公式，即可求△ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）如图建立空间直角坐标系，利用AC⊥BD，，即可求θ．【解答】解：（1）；（3分）S==2π（2）（3分）（2）如图建立空间直角坐标系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）由三角比定义，得D（2cosθ，2sinθ，0），（1分）则，，，（2分），得，θ∈[0，2π），（2分）所以，．﹒﹒（1分）【点评】本题考查旋转体的体积V和表面积S，考查向量方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）设函数．（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，，求sinA．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值，（2）根据，，求解出出C，即可得sinA的值．【解答】解：（1）函数．化简可得：==．∴函数y=f（x）的最大值为，最小正周期T==π；（2）由，得，∵0＜C＜π，∴0＜C＜∴解得，．∴△ABC是直角三角形．因此，．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．18．（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据g（3）计算k，再计算g（5）和g（5）﹣g（4），于是g（8）=g（5）+3[g（5）﹣g（4）]；（2）求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．【解答】解：（1）据题意g（3）=32+3k=309，解得k=100，∴g（n）=n2+100n，（n≤5）第5个月的净收入为g（5）﹣g（4）=109万元，所以，g（8）=g（5）+3×109=852万元．（2）g（n）=即﹒若不投资改造，则前n个月的总罚款3n+=n2+2n，令g（n）﹣500+100＞70n﹣（n2+2n），得：g（n）+n2﹣68n﹣400＞0．显然当n≤5时，上式不成立；当n＞5时，109n﹣20+n2﹣68n﹣400＞0，即n（n+41）＞420，又n∈N，解得n≥9．所以，经过9个月投资开始见效．【点评】本题考查了分段函数的应用，数列求和，属于中档题．19．（18分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P 满足：．（1）求证：动点P的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．设抛物线C与椭圆Γ的一个交点为A．问：是否存在正实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①点P、F1、F2构成三角形，②点P、F1、F2不构成三角形，每种情况下分析可得|PF1|+|PF2|=4m，由椭圆的定义分析可得答案；（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程，分析可得抛物线的焦点坐标，假设存在满足条件的实数m，结合椭圆与抛物线的性质分析可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）证明：根据题意，分2种情况讨论：若点P、F1、F2构成三角形，又由，则．整理得，即|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．若点P、F1、F2不构成三角形，即P、F1、F2三点共线；也满足|PF1|+|PF2|=4m（4m＞2m＞0）．所以动点P的轨迹为椭圆．（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程为．抛物线的焦点坐标为（m，0）与椭圆的右焦点F2重合．假设存在实数m，使得△AF1F2的边长为连续自然数．因为|PF1|+|PF2|=4m=2|F1F2|，不妨设||AF1|=2m+1，．由抛物线的定义可知|AF2|=2m﹣1=x A+m，解得x A=m﹣1，设点A的坐标为（m﹣1，y A），整理得7m2﹣22m+3=0，解得或m=3．所以存在实数m=3，使得△AF1F2的边长为连续自然数．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系；关键是掌握椭圆的几何性质．20．（18分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣9，a2为整数，且对任意n∈N*都有S n≥S5．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，（n∈N*），求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若数列{c n}满足．是否存在实数λ，使得数列{c n}是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】38：对应思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据条件S n≥S5可知{a n}前5项为负数或0，第6项后为整数，列出不等式得出d，即可得出通项公式；（2）n为偶数时，．利用此性质再根据n的奇偶性计算T n；﹣c n＞0，分离参数得出λ关于n的不等式，根据数列的单调性得出（3）令c n+1λ的最值即可得出λ的取值范围．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得，∴，∵a2∈Z，即﹣9+d是整数，∴d=2﹒∴a n=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11．（2）当n为偶数时，．①当n为奇数时（n≥3），T n=b1+（b2+b3）+（b4+b5）+…+（b n﹣1+b n）==．当n=1时也符合上式．②当n为偶数时，﹒∴﹒（3），假设{c n}是单调递增数列，则对任意n∈N*都成立，当n为奇数时，，令f（n）=﹣•42n，则f（n）单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣，∴﹒当n为偶数时，，令g（n）=•42n，则g（n）单调递增，∴g（n）≥g（2）=，∴λ＜．综上：．【点评】本题考查了等差数列的性质，数列的求和，数列单调性的判断，属于中档题．。

2017届高中数学·二模汇编 数列一、填空题1、设多项式()()()()23*11110,nx x x x x n N ++++++++≠∈的展开式中x 项的系数为n T ，则2limnn T n →∞=____________2、设1210,,,x x x 为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为____________ 3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=_________4、已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S = ．5、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .6、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=7、已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为8、已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．9、各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞→lim 存在，则实数k 的取值范围是______10、已知xx x f +-=11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，若1820a a =，则20172016a a +的值为_________11、=++++∞→nn n n n 3232lim11_______________． 12、设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{na 的通项公式为=n a ___________13、对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有 111)1(01) (n n n n n b b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)14、无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有{}12310,,,,n S k k k k ∈，则10a 的可能取值最多．．有 个．15、已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为_______16、已知数列{}n a 是无穷等比数列，它的前n 项的和为n S ，该数列的首项是二项式71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的x 的系数，公比是复数iz 311+=的模，其中i 是虚数单位，则n n S ∞→lim =_____．二、填空题1、设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64 2、设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其前21项之和, 则 （ ）(A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D)160a >3、已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8)D.三、解答题1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（*n N ∈）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1122++-=n n n b b ，81=b ，n T 是数列{}nb 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥恒成立； （3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<恒成立，求λ的最小值．2、已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列，n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log n a n b a =(0a >且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．3、如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =． （1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小； （2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．4、已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．5、给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nn b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列； （3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．6、若数列{}n A 对任意的*n N ∈，都有1k n n A A +=(0)k ≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由； （2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积n T ；（3）设α、β是方程210x x --=的两个实根()αβ>，令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*n N ∈.7、数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k ； （2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.8、已知数列}{n a 中，11=a ，a a =2，)(21+++=n n n a a k a 对任意*N ∈n 成立，数列}{n a 的前n 项和为n S ．（1）若}{n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1=a ，21-=k ，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列}{n a 是公比不为1的等比数列且任意相邻三项m a ，1+m a ，2+m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．9、设数列{}n a 满足4n n a A B n =⋅+⋅, 其中,A B 是两个确定的实数, 0B ≠.(1) 若1A B ==, 求{}n a 的前n 项之和; (2) 证明:{}n a 不是等比数列; (3) 若12a a =, 数列{}n a 中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论.10、现有正整数构成的数表如下：第一行： 1第二行： 1 2第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．11、已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ； （3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.12、对于数列{}n a ，定义12231n n n T a a a a a a +=+++，*n N ∈．(1) 若n a n =，是否存在*k N ∈，使得2017k T =？请说明理由；(2) 若13a =，61nn T =-，求数列{}n a 的通项公式； (3) 令21*112122,n n n n T T n b T T T n n N +--=⎧=⎨+-≥∈⎩，求证：“{}n a 为等差数列”的充要条件是“{}n a 的前4项为等差数列，且{}n b 为等差数列”．13、某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．14、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*N ∈n 都有5S S n ≥．（1）求}{n a 的通项公式；（2）设341=b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数为奇数n b n a b n n n n ,)2(,,1（*N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()21()1(*5122∈-++=++n b b c n a n n n n λ．是否存在实数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．。

静安区2016学年第二学期教学质量检测高三数学试卷2017.4一、填空题（55分）1. 已知集合{}{}|ln 0,|23x A x x B x =>=<，则A B = _____________.2. 若实数,x y 满足约束条件0290x y xx y ≥ ≤ +−≤，则3z x y =+的最大值等于_____________. 3. 已知7()a x x−展开式中3x 的系数为84，则正实数a 的值为_____________.4. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个. 若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为_____________.5. 设()f x 为R 上的奇函数. 当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f −的值为_____________.6. 设,P Q 分别为直线62x t y t = =− （t 为参数）和曲线1:2x C y θθ=+ =− （θ为参数）的点，则||PQ 的最小值为_____________.7. 各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S . 对任意*n ∈N ，mm nn ������⃗11(,2)n n n a a a ++−都是直线y kx=的法向量. 若lim n n S →∞存在，则实数k 的取值范围是_____________. 8. 已知正四棱锥P ABCD −的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是_____________.9. 设0a >，若对于任意的0x >，都有112x a x−≤，则a 的取值范围是_____________. 10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x −++−≤的x 的最大值为3，则实数k 的值为_____________.11. 已知1()1x f x x −=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n ∈N 都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +的值为_____________.二、选择题（20分）12. 已知,a b ∈R ，则“33log log a b >”是“1122a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件13. 已知复数z 满足11i z z +=−（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i B. 1− C. 1 D. i −14. 当10,2k ∈ (1)k x +的根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 曲线C 为：到两定点(2,0)M −、(2,0)N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹. 以下结论正确的个数为（ ）（1） 曲线C 一定经过原点；（2） 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；（3） △MPN 的面积不大于8；（4） 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.A. 0B. 1C. 2D.3三、解答题（本题满分75分）16. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，等腰Rt △AOB ，2OAOB ==，点C 是OB 的中点，△AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转一周.（1）求△ABC 旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ；（2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足AC BD ⊥，求θ.17. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设函数2()cos 2sin 3f x x x π=++（1）求函数()y f x =的最大值和最小正周期；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若11cos ,334C B f ==− ，求sin A .18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元. 如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本. 据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入()g n 是生产时间n 个月的二次函数2()g n n kn =+（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同. 同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.（1）求前8个月的累计生产净收入(8)g 的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.19. （本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，12||2F F m =，动点P 满足：21212||||(1cos )6PF PF F PF m ⋅+∠=.（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合.设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A . 问：是否存在正实数m ，使得△12AF F 的边长为连续自然数. 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.20. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =−，2a 为整数，且对任意*n ∈N 都有5n S S ≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设143b =，,1(2),n n n n a n b b n + = −+− 为奇数为偶数*()n ∈N ，求{}n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列{}n c 满足5*2211(1)()()2n a n n n n c b b n λ++=++−∈N . 是否存在实数λ，使得数列{}n c 是单调递增数列. 若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1. 2(1,log 3)2. 123. 24. 355. 3−6. 7. (,1)(0,)−∞−+∞8.9. +∞ 10. 811. 12 12. A13. C 14. C 15. B16. （1）43V π=；2S π+（2）23πθ=或43π 17. （1）()y f x =π （2）1sin cos 3A B ==18. （1）852万元（2）9个月19. （1）证明略（2）存在，3m =20. （1）211n a n =− （2）12,32213,3n n n n T n n + = +− 为奇数为偶数 （3）存在，348,55λ ∈−。

静安区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷（模拟试卷）一、填空题1. 若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数_______．2. 若为上的奇函数，当时，，则_______．3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是_______；4. 在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；5. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为________立方米．6. 已知为锐角，且，则________ ．7. 设函数，若存在同时满足以下条件：①对任意的，都有成立；②，则的取值范围是_________．8. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围为________．9. 已知且，)，，若对任意实数均有，则的最小值为________．10. 如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：①；② 对任意，都有；③ 对任意，且，都有；其中所有正确结论的序号是_______；二、选择题11. “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若，则；B. 若，则；C. 若，则；D. 若，则．13. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A. 336种；B. 320种；C. 192种；D. 144种.14. 已知椭圆抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为（）......A. ；B. ；C. 1；D. 2．15. 对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②{表示阶矩阵，}，运算“”为矩阵加法；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）A. ①②；B. ①③；C. ①②③；D. ②③．三、解答题16. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.17. 设双曲线：，为其左右两个焦点．(1)设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．18. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段的函数表达式；（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．19. 设集合存在正实数，使得定义域内任意都有．(1) 若，试判断是否为中的元素，并说明理由；(2) 若，且，求的取值范围；(3) 若（），且，求的最小值．20. 设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．。

静安区2017学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另附答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 计算：+lim (1)=+1n nn →∞-__________． 2.计算行列式1i 23i 11i-++的结果是_________．（其中i 为虚数单位）3．与双曲线221916x y -=的渐近线相同，且经过点(A -的双曲线的方程是_________． 4．从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有__________种．（结果用数值表示） 5．已知函数()23x f x a a =⋅+-（a R ∈）的反函数为1()y f x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为 ．6．在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________．7．已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 .8．类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系．在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+ （其中12,e e分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐标为(,)x y .若在斜坐标系xOy 中，60xoy ︒∠=，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为.9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于.10．已知函数(5)1,(1)(),(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩(0,1)a a >≠是实数集R 上的增函数，则实数a的取值范围为．11.已知函数231()sin cos()22f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位(0)a π<<，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为.12.已知函数2()41f x ax x =++,若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为【】A ．13B ．23C ．13-D ．13或23．14.设全集{}{}3,log (1),11UR A x y x B x x ===-=-<，则()UA B = ð【】A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,2D ．[)1,2．15．两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内．若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交；乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的【】 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件．16．若曲线2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ的取值范围为 【】 A ．(],11+-∞-⋃∞（，）B ．(],1-∞-C ．1+∞（，）D ．()[1,0)1,-⋃+∞． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中, 41=AA ,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3π．（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，设向量(,cos ),m a B =(,cos ),n b A = 且//,m n m n ≠ .(1)求证：2A B π+=； (2)若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设,tan PAB t θθ∠==. (1) 当三点C P Q 、、不共线时，求直角△CPQ 的周长；(2) 设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S (平方百米)，试求S 的最大值.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,已知满足条件3i i z -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ）.设复平面xOy 上的复数i (,)z x y x R y R =+∈∈对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线m 相交于N 点,与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点.B 1A 1C 1ACBDP（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t =AN AM ⋅,试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值；若t 不为定值，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分） 已知数列{}n a 的通项公式为an na n +=，(,n a ∈N *)． (1) 若，2a ，4a 成等差数列，求a 的值；(2) 是否存在k (10k ≥且k ∈N*)与a ，使得，3a ，k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合；若不存在，请说明理由；(3) 求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积．1a 1a。