高三数学静安二模答案

一、单选题二、多选题1. 若，则（ ）A．B．C．D．2.已知，则（ ）．A．B．C．D．3. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为A．B．C．D．5. 耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A ．直方图中的值为0.004B ．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为84分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分6. 不等式的解集为(4，b)，则实数b 的值为A ．9B ．18C ．36D ．487. 下列函数为偶函数的是（ ）．A．B．C．D．8. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，上海市静安区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题则（ ）A ．任意，B ．存在，直线与直线相交C ．平面与底面交线长为定值D．当时，三棱锥外接球表面积为10. 椭圆C ：的左、右焦点分别为，，点P 在椭圆C 上，则______．A ．椭圆C的离心率为B．的最大值为3C．的最大值为D ．到直线的距离最大值为211.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大12.已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点在椭圆上，点是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆的焦距为2B．过作圆切线的斜率为C ．若、为椭圆上关于原点对称且异于顶点和点的两点，则直线与的斜率之积为D．的最小值为13. 已知正实数，满足，则的最大值为________，的最小值为________．14.设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．15.已知函数是奇函数，则__________．16. 已知函数.（1）若函数是奇函数，求，的值；（2）求函数的单调区间.17. 如图，在四棱锥中，和都是等边三角形，平面平面，且，．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．18. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如(1)将的解析式写成分段函数的形式;(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;(3)根据图象写出函数的值域.19. 在中，内角的对边分别为，若.（1）求证：成等比数列；（2）若，求的面积.20. 已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性(不必证明)；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．。

2020年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共11题，每题6分，共66分）1．（6分）若sin x =√63，则cos （π﹣2x ）的值为 ．2．（6分）若幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(18，2)，则f(−18)的值为 ．3．（6分）若（x +1x ）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为 ．4．（6分）若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）是偶函数，在区间（﹣∞，0]上是增函数，x ＝2是其零点，则f （x ）＞0的解集为 ．5．（6分）现从5男4女共9名学生中选派3名学生参加志愿者活动，则选派3名学生中至少有一名男生的概率为 ．6．（6分）在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组{0≤x ≤√2，y ≤2，x ≤√2y所确定的区域为D ，若M（x ，y ）为区域D 上的动点，点A （√2，1），则z =OM →•OA →的最大值为 ．7．（6分）已知A ，B 是球心为O 的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为O （0，0，0），A （√2，﹣1，1），B （0，√2，√2），则A ，B 两点的球面距离为 ．8．（6分）设由复数组成的数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，都有a n+1a n =i （i 是虚数单位），则数列{a n }的前2020项和的值为 ．9．（6分）一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度AB ＝30米，则当水面升高1米后，水面宽度为 米．（精确到0.1米）10．（6分）设A n （n ，y n ）（n ∈N *）是函数y ＝2x +1x 的图象上的点，直线x ＝n +1与直线y＝y n 的交点为B n ，△A n B n A n +1的面积为S n ，则lim n→∞S n 的值为 ． 11．（6分）如图，直线MN 是互相垂直的异面直线MP 和NQ 的公垂线，若MN ＝1，PQ ＝2，则四面体PMNQ 的体积的最大值为 ．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）12．（6分）设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（6分）方程2x 2﹣9xy +8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为（ ）①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②14．（6分）当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象．在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院．已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者．若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约（ ）A ．7天B ．10天C ．13天D ．16天三、解答题（本大题共有4题，共66分）15．（14分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设∠AOB ＝θ（0＜θ＜2π），C 是母线SB 的中点．已知当θ=π2时，AC 与底面所成角为arctan √155． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若AC ⊥OB ，求θ的值．16．（14分）若函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：①f（x ）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x ∈R 都有f （x ）≤f （π6）＝2成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足f （B ）＝1，且∠B 的对边b ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．17．（19分）已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且FA →+FB →+FC →=0→，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为（0，0）和（1，2）？请说明理由；（2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．18．（19分）设无穷数列{a n }的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，b n ＝a n •a n +k （n ∈N *），若{b n }是等比数列，则称{a n }为B （k ）数列．（1）求证：若{a n }是等比数列，则{a n }是B （k ）数列；（2）请你写出一个不是等比数列的B （1）数列的通项公式；（3）设{a n }为B （1）数列，且满足a 22＝a 1•a 3，请用数学归纳法证明：{a n }是等比数列．。

上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r的坐标为7. 方程3cos2x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差 14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.22 B. 3 C. 6 D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2. 23. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10. 9411. 1 12. 19[14+- 二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B 三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -．所以(1,0,2)AP =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ，52AP BM ⋅=u u u r u u u u r ，||AP =u u u r，||BM =u u u u r ． ……3分则30cos ,||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 （2）1(1,,0)2AB =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =u u u r ， ……10分 所以n r 2OB ⋅=u u u r ，||29n =r ，1||2OB =u u u r ．则4cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分（2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<，所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可） （2）由01xx>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。

静安区2018学年第二学期期中教学质量检测高三数学试卷2019.05一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式0121762<++x x 的解集是_____________．答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛--34,232．已知复数i 2i1i2-+=z （其中i 是虚数单位），则=||z ________． 答案：23．已知点A 1,−2,−7 ，B (3,10,9)，C 为线段AB 的中点，则向量CB 的坐标为________． 答案：(1,6,8)4．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--≥-+,20,01,02y y x y x 则目标函数y x z +-=2的最大值为______．答案：25．若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为________． 答案：2π6．已知514tan =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=αtan ___________． 答案：237．已知双曲线C 与椭圆131222=+y x 的焦点相同，且双曲线C 的一条渐近线方程为x y 25=，则双曲线C 的方程为___________． 答案：15422=-y x8．函数y =sinx +cosx − sinx −cosx 的值域是____________． 答案：[−2, 2]9．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1个球，则取出的2个球颜色不同的概率是_____（结果用最简分数表示）． 答案：97 10．若等比数列}{n a （*N ∈n ）满足3031=+a a ，1042=+a a ，则n a a a ⋅⋅⋅ 21的最大值为_______． 答案：729（36）11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c .已知a ，b ，c 依次成等比数列，且21cos )cos(=--B C A ，延长边BC 到D ，若BD =4，则△ACD 面积的最大值为___________． 答案： 312．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________． 答案：21二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民．在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（）（A ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（B ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007．（C ）总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007． （D ）总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007．答案：B14．若a ，b 均为单位向量，则“|2||2|b a b a+=-”是“b a ⊥”的（）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件． （C ）充分必要条件．（D ）既不充分又不必要条件． 答案：C15．函数c x b x x f ++=cos sin )(2的最小正周期（）（A ）与b 有关，且与c 有关．（B ）与b 有关，但与c 无关． （C ）与b 无关，且与c 无关．（D ）与b 无关，但与c 有关． 答案：B16．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若211=a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列 S n ，则有（）（A ）数列 S n 递增，最大值为1．（B ）数列 S n 递减，最小值为12．（C ）数列 S n 递增，最小值为12．（D ）数列 S n 递减，最大值为1．答案：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，BC BA AD m ===12，VA ⊥平面ABCD ．（1）求证：CD ⊥平面VAC ； （2）若VA m =2，求CV 与平面VAD 所成角的大小．17. （1）法1：连结ACAB BC ABC CAB ACB =∠=︒∴∠=∠=︒，9045取AD 中点G ，连CG ，因为BC ∥AD ，所以四边形ABCG 为正方形． 所以CG GD CGD o =∠=，90∴∠=DCG o 45∴∠=DCA o 90……………………（4分）所以CD ⊥CA ，又VA ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥VA ， CD ⊥平面VA C ………………（6分）法2：用勾股定理逆定理证明∴∠=DCA o 90或者以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，DC ∙CA =0. （2）法1：连VG由CG AD VA CG CG VAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥面∴∠CVG 是CV 与平面VAD 所成的角………………（11分）VC VA AB BC m CG m CVG o=++==∴∠=222230，∴CV 与平面VAD 所成角为30°………………（14分）法2：以A 为原点，射线AB ，AD ，AV 所在直线为x,y,z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则平面VAD 法向量AB =(m ,0,0)，又VC =(m ,m ,− 2m )，设向量AB 与VC 夹角为θ，则cos θ=VC ∙AB 2m∙m=12，θ=π3，CV 与平面VAD 所成的角为π6。

静安区2019学年第二学期教学质量检测高三数学试卷参考答案与评分标准一. 1．31； 2．2−； 3．20； 4．()2,2−；5．2021； 6．4； 7．π； 8．0；9．5.26； 10．1； 11．41．二、12．B ．13．A ．；14．C ．三、15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值． 解：（1）OB OA AOB ==∠,2π，设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //． SO ⊥平面AOB ，CD ∴⊥平面AOB ，515arctan=∠∴CAD ， ……………..2分 在Rt AOD ∆中，2,2π=∠=AOD OA ，得5=AD ． ……….1分 得⨯=5CD 3)515tan(arctan=，32=SO ，．……….1分 故，4=SA ． ………………..1分.842221ππ=⨯⨯⨯=S …………..2分 （2）解法一：如图建立空间直角坐标系xyz O − ...1分则()0,0,2A ，()0,sin 2,cos 2θθB ，()32,0,0S ，()3,sin ,cos θθC ，()3,sin ,2cos θθ−=AC ，()0,sin 2,cos 2θθ=OB ． ……….2分由题意，21cos 0=⇔=⋅θOB AC ……….2分DDxyzEπθ20<< ，.353ππθ或=∴ ……….2分解法二：设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．OB CD ⊥∴． ……….2分 又⊥AC OB ，可得⊥OB 平面ADC OB AD ⊥⇒，AB OA =∴． ……….2分 AOB ∆∴是等边三角形． ………1分故，3πθ=或35π． ……….2分解法三：设E 为SO 中点，联结CE ，AE ，CE AC ⊥∴． ………1分 设D 为OB 中点，联结CD ，AD ，AD CD ⊥∴． ………1分在ADO ∆中，由余弦定理，有θcos 452−=AD ， ………1分所以，在ADC Rt ∆中，θcos 482−=AC ．在AOE ∆中，有72=AE ，所以，在ACE Rt ∆中，222CE AC AE +=，即得21cos =θ． ………2分πθ20<< ，.353ππθ或=∴ ………2分16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围． 16．解：（1）由题意，可得最小正周期T π=，由2T ππω==，解得2ω=． ………………..2分()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，2A ∴=， ………………..2分2262k ππϕπ+=+，26k πϕπ∴=+，（Z k ∈）又0ϕπ≤<，6πϕ∴=． ………………..2分 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）2sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3B π∴=， ………………..1分又02B A ππ<−−<，02A π<<， 62A ππ∴<<．………………..1分sin sin sin 3b a c BA A ππ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭，22sinA a c π⎛⎫− ⎪∴==22sin 12sin 16A l A ππ⎛⎫− ⎪⎛⎫∴==++ ⎪⎝⎭．………………..4分 2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．所以，周长(1l ⎤∈⎦． ………………..2分17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2． 解：（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)−−=−．但点(2,2)−不在抛物线Γ上所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分） ………………..5分 （2）设直线AB 的方程为t x y +=4，与24y x =联立，得02=+−t y y ． …..2分设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y.241)2(41,1212121tt y y x x y y −=−+=+=+ 由()()123123,3,0x x x y y y ++++=得41123+=t x ，31y =−．……………..3分代入方程24y x =，解得5m =−，所以直线AB 的方程为450x y −−=．…..2分 （3）设直线BC 的方程为x ny m =+，与24y x =联立，得2440y ny m −−=．..1分因为直线BC 与抛物线Γ相交，故判别式()2160n m ∆=+>． ……………..1分234y y n +=，所以，22342x x n m +=+．点A 的坐标为()2423,4n m n −−+−，又因为点A 在抛物线Γ上，故221616812n n m =−−+，得2342m n =−+． 2m n >−，212n ∴<． 故，点A 的横坐标22224234842n m n n n −−+=−+=<． ………………..5分 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分． 18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分） 设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列． 解：（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，k n n n a a b ++++⋅=∴111．02111>=⋅⋅=+++++q a a a a b b kn n kn n n n ． 又，0111>⋅=+k a a b ． 所以{}n b 是等比数列．故{}n a 为)(k B 数列． ………………..6分（2）⎪⎩⎪⎨⎧=−==−−kn q a k n q a a k k n 2,,12,1211（q a a 2122≠）．（答案不唯一）………………..6分简洁的例子如：⎩⎨⎧=−==kn k n a n 2,2,12,1)N (*∈k ．（3）因为{}n a 为)1(B 数列，所以，{}n b 是等比数列，其中1+⋅=n n n a a b )N (*∈n ，nn n n n n n n a a a a a a b b 21211+++++=⋅⋅=∴)N (*∈n ， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴+n n a a 2)N (*∈n 是常数列，设常数为2q ，即22q a an n =+)N (*∈n ．以下用数学归纳法证明（一）221++⋅=n n n a a a )N (*∈n ．（i ）由已知3122a a a ⋅=，可得当1=n 时命题成立． ………………..1分 （ii ）假设1−=k n )2,N (≥∈*k n 时命题成立，即，112+−⋅=k k k a a a ．…..1分当k n =时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 2 )N (*∈n 是常数列． ………………..2分 112−++=∴k k k k a a a a )2,N (≥∈*k k ， 211122+−++=⋅=⋅∴k k k k k k a a a a a a ． ………………..2分等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，221++⋅=n n n a a a 对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列． ………………..1分令nn n a a c 1+=，以下用数学归纳法证明（二）q c n =)N (*∈n ． （i ）3122a a a ⋅= ，1223a a a a =∴，221213q a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴，q a a =∴12，即，q c =1． 故，当1=n 时命题成立． ………………..1分假设k n =)1,N (≥∈*k k 时命题成立，即q c k =（q a a kk =+1）．………………..1分（ii ）当1+=k n 时，q a a q a a a a a a c k k k k k k k =⋅=⋅==+++++21212121． …………..4分 等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，q c n =对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．…………..1分注：其它表述方法同样给分．。

2021年上海市静安区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共3小题，共18.0分）1.函数y=x2(x≤0)的反函数为()A. y=√x(x≥0)B. y=−√x(x≥0)C. y=√x(x≤0)D. y=−√x(x≤0)2.某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．年薪(万元)13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为()A. 24.5(万元)B. 25.5(万元)C. 26.5(万元)D. 27.5(万元)3.在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为()A. 204B. 260C. 384D. 480二、单空题（本大题共8小题，共48.0分）4.(x2+1x)8的展开式中含x4项的系数为______.(用数字作答)5.设变量x，y满足约束条件{0≤x≤1y≤2x≤y，则z=x+y的最大值为______ ．6.已知奇函数y=f(x)的周期为2，且当x∈(0,1)时，f(x)=log2x.则f(7.5)的值为______7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为______ ．8.投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数m+nin+mi为虚数的概率为______ ．9. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______ 米.10. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ADC =90°，AD =2，BC =1，P 为梯形的腰DC 上的动点，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______ ．11. 已知桶A 0中盛有2升水，桶B 0中盛有1升水.现将桶A 0中的水的34和桶B 0中的水的14倒入桶A 1中，再将桶A 0与桶B 0中剩余的水倒入桶B 1中；然后将桶A 1中的水的34和桶B 1中的水的14倒入桶A 2中，再将桶A 1与桶B 1中剩余的水倒入桶B 2中；若如此继续操作下去，则桶A n (n ∈N ∗)中的水比桶B n (n ∈N ∗)中的水多______ 升. 三、解答题（本大题共5小题，共84.0分）12. 已知正方形ABED 的边长为√2，O 为两条对角线的交点，如图所示，将Rt △BED 沿BD 所在的直线折起，使得点E 移至点C ，满足AB =AC ． (1)求四面体ABCD 的体积V ； (2)请计算：①直线BC 与AD 所成角的大小； ②直线BC 与平面ACD 所成的角的大小．13. 设f(x)=x 2a−x(常数a ∈R)，且已知x =3是方程f(x)−x +12=0的根．(1)求函数y =f(x)的值域；(2)设常数k ∈R ，解关于x 的不等式：(2−x)f(x)<(k +1)x −k ． 14. 已知椭圆x 22+y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点F 、O ，并且与抛物线y 2=8x 的准线相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．15. 将正奇数1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍.设a ij (i,j ∈N ∗)是位于这个数阵中第i 行(从上往下数)、第j 列(从左往右数)的数． (1)设b n =a n1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的通项公式； (2)若a mn =2021，求m 、n 的值；(3)若记这个数阵中第n 行各数的和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，求极限n →∞limT n−1S n的值．16. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点P(x,y)绕坐标原点O 旋转角θ至点P′(x′,y′)．(1)试证明点的旋转坐标公式：{x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ．(2)设θ∈(0,2π)，点P(0,−1)绕坐标原点O 旋转角θ至点P 1，点P 1再绕坐标原点O 旋转角θ至点P 2，且直线P 1P 2的斜率k =−1，求角θ的值；(3)试证明方程x 2+√3xy =6的曲线C 是双曲线，并求其焦点坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由y=x2(x≤0)，解得x=−√y(y≥0)，将x与y互换可得：y=−√x(x≥0)．故选：B．利用反函数的求法即可得出．本题考查了反函数的求法，属于基础题．2.【答案】B×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+【解析】解：年薪的平均数为12531×12)=50.4万元，×[(135−50.4)2+(95−50.4)2+2×(80−所以该公司雇员年薪的方差约为12550.4)2+(70−50.4)2+3×(60−50.4)2+4×(52−50.4)2+(40−50.4)2+12×(31−50.4)2]=650.25，所以该公司雇员年薪的标准差约为√650.25≈25.5(万元)．故选：B．先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．本题考查了特征数的求解，主要考查了平均数以及方差的求解，解题的关键是掌握它们的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3=1+4=5．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有C21种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有C21⋅C41⋅A33种方法，若2，3都选取，则有C41C21A32种方法．由乘法原理可得：C21(C21⋅C41⋅A33+C41C21A32)方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有C21(C21⋅C41⋅A33+C41C21A32)方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为2×C21(C21⋅C41⋅A33+C41C21A32)=384种方法．故选：C．两个数字之和等于5的情形只有两种：2+3=1+4=5.下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有C21种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有C21⋅C41⋅A33种方法，若2，3都选取，则有C41C21A32种方法．再利用乘法原理与加法原理即可得出．本题考查了排列组合数的计算公式及其应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】70)r=C8r x16−3r，【解析】解：由T r+1=C8r(x2)8−r(1x令16−3r=0，得r=4．∴展开式中含x4项的系数为C84=70．故答案为：70．写出二项展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.【答案】3【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(1,2)，由z=x+y，得y=−x+z，由图可知，当直线y=−x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】1【解析】解：∵奇函数y=f(x)的周期为2，且当x∈(0,1)时，f(x)=log2x.∴f(7.5)=f(1.5)=f(−0.5)=−f(0.5)=−log21=1，2故答案为：1．运用函数的周期性和奇偶性把要求的值转化为区间[0,1]的函数值．本题考查了函数的周期性与奇偶性，考查了数学转化思想，解答此题的关键是如何把所求的值转化为求[0,1]内的函数值．7.【答案】(3+√2)π【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；如图所示：故圆锥的母线长x=√12+12=√2，圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的侧面积S=12×√2×2π=√2π，圆柱的表面积S=2⋅π⋅1⋅1+π⋅12=3π，故几何体的表面积为3π+√2π=(3+√2)π．故答案为：(3+√2)π．首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】56【解析】解：∵复数m+nin+mi =(m+ni)(n−mi)(n+mi)(n−mi)=2mn+(n2−m2)im2+n2，故复数m+nin+mi为虚数需满足n2−m2≠0，即m≠n，故有6×6−6=30种情况，∴复数m+ni n+mi 为虚数的概率为：306×6=56． 故答案为：56．把复数m+nin+mi 化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，实部为0，求出m 、n 的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．9.【答案】5【解析】解：设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为W(ℎ)， 则由题意可得{x +y =20xyℎ=500，∴W(ℎ)=2a(xℎ+yℎ)+2axy =2aℎ(x +y)+2axy =40aℎ+2a 500ℎ，∴W(ℎ)≥2√40aℎ⋅2a500ℎ=400a ，∴当且仅当ℎ=5时，W(ℎ)取最小值， 即ℎ=5时，W(ℎ)取最小值， 故答案为：5．设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为W(ℎ)，由题意可得W(ℎ)=40aℎ+2a500ℎ，然后基本不等式求出W(ℎ)的最小值即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了导数的应用，是中档题．10.【答案】5【解析】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A(−2,0)，B(−1,a)，C(0,a)，D(0,0)， 设P(0,b)(0≤b ≤a)则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−b)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,a −b)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,3a −4b)∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√25+(3a −4b)2≥5， ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为5． 故答案为：5．根据题意，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，写出点A 、B 、C 和D 的坐标，设出点P ，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值； 本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于中档题．11.【答案】12n【解析】解：根据题意可得，A n +B n =3,A n =34A n−1+14B n−1， ∴A n =34A n−1+14(3−A n−1)=12A n−1+34，∴A n −32=12(A n−1−32)，即数列{A n −32}是以A 1−32=34A 0+14B 0−32=14为首项，12为公比的等比数列，∴A n −32=14⋅12n−1=12n+1⇒A n =32+12n+1， ∴B n =3−A n =32−12n+1，∴A n −B n =12n+1×2=12n (n ∈N ∗)． 故答案为：12 n根据题意，得到A n ，B n 之间的关系，然后用数列知识求解．本题属于将应用题转化为数列问题进行求解的综合题，主要考查数列通项公式的推导，属于中档题．12.【答案】解：(1)由已知可得，AO =CO =1，AB =AC =√2，所以AO 2+CO 2=AC 2，故C O ⊥AO ， 又CO ⊥BD ，BD ∩AO =O ，AB ，AO ⊂平面ABD ，所以CO ⊥平面ABD ，故CO 是三棱锥C −ABD 的高，所以三棱锥C −ABD 的体积V =13⋅S △ABD ⋅CO =13×12×(√2)2×1=13； (2)分别以OA ，OB ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(0,0，1)，D(0,−1,0)， 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， ①|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2×√2=12，所以线BC 与AD 所成角的大小为60°； ②设平面ACD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −y =0−x +z =0， 令x =1，则y =−1，z =1，故n⃗ =(1,−1,1)， 所以|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×√3=√63， 故直线BC 与平面ACD 所成的角的大小为arcsin √63．【解析】(1)利用勾股定理证明CO ⊥AO ，结合CO ⊥BD ，证明CO ⊥平面ABD ，从而CO 是三棱锥C −ABD 的高，由锥体的体积公式求解即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标． ①利用异面直线所成角的计算公式求解即可；②利用待定系数法求出平面ACD 的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可． 本题考查了锥体体积的求解以及线线角与线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．13.【答案】解：(1)由题意得f(3)−3+12=0，故9a−3+9=0， 解得a =2，f(x)=x 22−x，令t =2−x ，当t >0时，t +4t −4≥0，当t <0时，t +4t −4=−[(−t)+(−4t )]−4≤−8， 则x 22−x=t +4t −4∈(−∞,−8]∪[0,+∞)， 故函数的值域(−∞,−8]∪[0,+∞)； (2)：因为(2−x)f(x)<(k +1)x −k ， 整理得x 2−(k +1)x +k <0，(x ≠2)， 即(x −1)(x −k)<0，当k <1时，不等式的解集(k,1)； 当k =1时，不等式的解集⌀； 当1<k ≤2时，不等式的解集(1,k)；当k >2时，不等式的解集(1,2)∪(2,k)．【解析】(1)由题意得f(3)−3+12=0，代入可求a ，然后结合基本不等式即可求解函数的值域；(2)由已知整理得(x −1)(x −k)<0，然后结合k 与1的大小进行讨论可求． 本题主要考查了函数值域的求解及含参数二次不等式的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．14.【答案】解：(1)抛物线y 2=8x 的准线为x =−2，∵圆过点F ，O ，∴圆心M 在直线x =−12上， 设M(−12,t)，则圆的半径为r =|(−12)−(−2)|=32， 由|OM|=r ，得√(−12)2+t 2=32，解得t =±√2，∴所求圆的方程为(x +12)2+(y ±√2)2=94．(2)设直线AB 的方程为y =k(x +1)，k ≠0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， ∴x 1+x 2=−4k 21+2k 2， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2k =2k 1+2k 2，∴线段AB 的中点坐标为(−2k 21+2k 2,k1+2k 2)， ∴线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y =−1k (x +2k 21+2k 2)+k1+2k 2， 令y =0，则x =k1+2k 2⋅k −2k 21+2k 2=−k 21+2k 2=−12+14k 2+2， ∵k ≠0，∴−12<x <0，故点G 的横坐标的取值范围为(−12,0)．【解析】(1)易知圆心M 在直线x =−12上，设M(−12,t)，由|OM|=r =32，可解得t 的值，从而得解；(2)设直线AB 的方程为y =k(x +1)，k ≠0，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，写出线段AB 的中点坐标，进而得其中垂线所在的直线方程，再令y =0，可用含k 的式子表示x G ，进而得解．本题考查直线与椭圆的位置关系中的取值范围问题，抛物线的几何性质，中垂线所在直线方程的求法，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)由已知，这个数阵的第n 行有2n−1个数，∴前n −1行一共有1+21+22+⋯+2n−2=1−2n−11−2=2n−1−1个数，∴b n =2(2n−1−1)−1=2n −1；(2)令2m −1<2021，满足不等式的最大整数为10，即m =10， 210−1+2(n −1)=2021，解得n =500， ∴m =10，n =500；(3)由题意，S n =(2n −1)×2n−1+2n−1(2n−1−1)2×2=3×4n−1−2n ，1+3+5+⋯+(2n −1)=(1+2n−1)n2=n 2，由(1)知，1+2+22+⋯+2n−2=2n−1−1， T n−1=(2n−1−1)2， ∴n →∞limT n−1S n=n →∞lim(2n−1−1)23×4n−1−2n =n →∞lim4n−1−2n +13×4n−1−2n=13．【解析】(1)由已知，这个数阵的第n 行有2n−1个数，由等比数列的前n 项和可得前n −1行中数的个数和，再由b n =a n1求数列{b n }的通项公式；(2)令2m −1<2021，满足不等式的最大整数为10，再由等差数列的通项公式求n ； (3)由题意求得S n ，再由等差数列的前n 项和求T n−1，代入n →∞limT n−1S n即可得答案．本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的前n 项和，训练了数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(1)设将x 轴正半轴绕坐标原点旋转角α至OP ，OP =r ，由任意角的三角函数的定义，可得{x =rcosαy =rsinα和{x =rcos(θ+α)y =rsin(θ+α)，所以{x′=rcosαcosθ−rsinαsinθy′=rsinαcosθ+rcosαsinθ，将{x =rcosαy =rsinα代入，可得{x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ；(2)设P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，由点的旋转坐标公式，可得{x 1=sinθy 1=−cosθ和{x 2=sin2θy 2=−cos2θ，由直线P 1P 2的斜率k =−1，可得−cos2θ+cosθsin2θ−sinθ=−1，即有sin2θ−cos2θ=sinθ−cosθ，所以sin(2θ−π4)=sin(θ−π4)，所以2θ−π4=2kπ+θ−π4，或2θ−π4+θ−π4=2kπ+π，k ∈Z ， 所以θ=2kπ或23kπ+π2，k ∈Z ，因为θ∈(0,2π)， 所以θ=π2、7π6、11π6．(3)证明：设P(x,y)为方程x 2+√3xy =1的曲线上任意一点， 将点P 绕坐标原点O 旋转θ至点P′(x′,y′)，则{x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ，可得{x =x′cosθ+y′sinθy =−x′sinθ+y′cosθ①， 将①代入方程，可得(x′cosθ+y′sinθ)2+√3(x′cosθ+y′sinθ)(−x′sinθ+y′cosθ)=6， 整理可得(cos 2θ−√3sinθcosθ)x′2+(sin 2θ+√3sinθcosθ)y′2+(sin2θ+√3cos2θ)x′y′=6，令sin2θ+√3cos2θ=0，可得sin(2θ+π3)=0，θ=−π6是该方程的解， 所以将方程x 2+√3xy =6的曲线按顺时针旋转π6，所得曲线C′的方程为x′24−y′212=1，可得曲线C′是以F 1′(−4,0)，F 2′(4,0)为焦点的双曲线，又因为曲线C′是由曲线C 绕坐标原点O 旋转而得到的，所以曲线也是双曲线． 将F 1′(−4,0)，F 2′(4,0)按逆时针旋转π6，得到F 1(−2√3,−2)，F 2(2√3,2)， 所以，双曲线C′的焦点坐标为F 1(−2√3,−2)，F 2(2√3,2)．【解析】(1)由任意角的三角函数的定义，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简可得证明；(2)设P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，运用点的旋转坐标公式和直线的斜率公式，两角差的正弦公式，解方程可得所求角；(3)运用点的旋转坐标公式和两角和的正弦公式，令x′y′项的系数为0，求得旋转角，进而得到双曲线的标准方程，可得所求焦点的坐标．本题考查点的旋转坐标公式的证明和运用，以及双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

一、填空题（第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分，满分54 分）1.已知集合{}=2,0x A y y x =≥，(){}ln 2B x y x ==−，则A B = _____________．2.若复数21i z =+，则i z −=____________．3.()52x y −的展开式中23x y 的系数是______．（用数字作答）4.正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为____________．5.已知()f x 为R 上奇函数，且()()20f x f x +−=，当10x −<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______．6.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y −+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．7.已知sin 4πα+ ，则sin 2α的值为_____________．8.在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N =+是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数） 9.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若OFP △的面积为，则该抛物线的准线方程为_________________．10.设函数()0f x x =，()()101f x f x =−，()()212f x f x =−.则函数()2f x 的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是________. 的的上海市静安区2022届高三二模数学试卷11. 函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()221xf x x =+−，则不等式()3f x >的解集为______. 12. 已知等差数列{}n a 中，538a π=，设函数()24cos 2sin cos 222x f x x x =−++，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为___________________．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ′′′′′′==，则以下说法正确的是（ ）A. △ABC 是钝角三角形B. △ABC 是等边三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 14. 已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为非奇非偶函数C. ()f x 在[]0,π上单调递减D. ()f x 的图象关于直线4x π=对称15. 若向量a b ， 满足1a = ，2b = ，()a ab ⊥+ ，则a 与b 的夹角为( ) A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i = 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）．A. 1B. 2C. 4D. 8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A +−−= . （1）求B ；（2）若ABC 的周长为4b . 18. 如图，在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（2）已知OCD 是边长为1的等边三角形，且三棱锥A BCD −，若点E 在棱AD 上，且二面角E BC D −−的大小为45°，求DE EA． 19. 已知{}n a 是公差为2的等差数列，10a >，且4a 是22a 和52a −的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足112122n n nb b b a a a ++++= ，求{}n b 的前n 项和n T ． 20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下顶点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积和周长分别为2和（1）求椭圆C 方程；（2）若直线l ：()1y k x =+（0k ≠）与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中垂线交y 轴于M 点，且EMF △为直角三角形，求直线l 的方程.21. 因函数()0t y x t x =+>的图像形状象对勾，我们称形如“()0t y x t x =+>”的函数为“对勾函的的数”．（1）证明对勾函数具有性质：在(上减函数，在)+∞上是增函数． （2）已知()42521f x x x =+−−，[]1,3x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； （3）对于（2）中的函数()f x 和函数()24g x x mx =−+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()21g x f x <成立，求实数m 的取值范围．是参考答案及评分标准一、填空题1．[1,2) 2. 3. -80 4. 5. 或-0.8 6.7. 或0.5 8. -或2.5 9. x=-1 10. 7 11. 12. 18二、选择题13. C 14. A 15. C 16. A三、解答题17. （1）.（2）.18.（1）.证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD ，OA⊂平面ABD ，所以OA⊥平面BCD ，因为CD⊂平面BCD ，所以OA⊥C.（2）. 219.（1）.（2）.20.（1）.（2）. x-y+1=0或x+y+1=021.（1）. 根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）. 单调递减区间为，值域为（3）.。