浅析应用空间谱估计技术进行测向1

浅析应用空间谱估计技术测向

摘要：空间谱估计测向技术是一种不同于传统的振幅测向法和相位测向法的全新测向方法，它是近三十年在经典谱估计理论基础上发展起来的，是一种以多元天线阵结合现代数字信号处理技术为基础的新型测向技术。本文介绍了空间谱估计的原理，阐述了空间谱估计的五种典型算法并通过分析针对其中三种基础算法的性能进行比较，提出了关于空间谱测向领域发展的见解。

1、引言

空间谱估计测向技术是近三十年来发展起来的一门新兴的测向处理技术，这种测向技术因为采用了先进的数字信号处理方法，具有传统测向体制无可比拟的技术优势，展现出良好的应用前景，成为国际无线电侦测领域的研究热点。

1979年美国人R.O.Schmidt提出著名的MUSIC（Multiple Signal Classification多信号分类）算法，标志着空间谱估计测向进入了繁荣发展的阶段，经过三十年的发展，其理论已经比较成熟，但是到目前为止见诸报道的实用空间谱估计测向系统并不多。近年来，随着无线电通信技术的进步，空间谱估计测向技术的研究不断深入，推动了无线电测向领域的长足发展。

2、空间谱估计的原理

对电磁信号方向的测量也就是要测量辐射源入射电磁波的同相位波前，因此与传统测向系统类似，整个空间谱估计设备系统由三部分组成，即空间辐射源、空间接收阵列及算法处理器。

空间谱估计测向并不是从各天线阵元所接收到信号幅度或相位的简明的数学公式上直接求出DOA，而是根据各阵元的输出信号来估计空间频率，进而求出DOA等参数，充分利用了各阵元信号所含综合信息，通过统计处理方法来估计DOA。

由于电磁波不仅是时间的函数，还是空间位置的函数，如果对各天线单元的输出同时进行采样，其样本既是时域样本，也是对信号进行空间采样的样本，即对各天线单元的输出同时进行的一次采样具有空间域特性。对位于不同位置的各天线单元输出同时采样的样本进行处理，利用信号的时域函数和功率谱密度函数的特性，就能得到它的空间谱。采用空间谱估计方法计算信号的空间频率，进而确定空间入射波相对于接收天线的传播方向。

空间谱估计的一般方法是构造一个以信号方向为参数的“谱函数”，并使得在信号的到达方向上具有尖锐的峰值，这样在进行谱分析时，其峰值就指示了信号的DOA。

3、空间谱估计的算法

3.1阵列信号的数学模型

1)关于辐射源的假设

辐射源是位于远场且各向同性的点源，因其传输距离远大于接收阵列的尺寸，所以可认为接收阵列处感应的是平面波。辐射源是窄带信号，即相对于信号的载频而言，信号包络的带宽很窄(包络慢变)，因此，该类信号对各阵元的影响仅有由其到达各阵元的波程差而引起的相位差异。

2)关于接收天线阵的假设

接收阵列由位于空间已知坐标处的阵元按一定的形式排列而成。假设阵元的接收特性仅与其位置有关而与其尺寸无关，增益均相等，相互之间的互耦忽略不计。

3)关于噪声的假设

假设为加性高斯白噪声，各阵元上的噪声相互统计独立，且噪声与信号是统计独立的。

在以上假设的基础上，建立描述阵列信号的数学模型。设D个辐射源入射到由M(M>D)个阵元组成的天线阵列，记第i个入射信号为)(tsi，其入射角度为i(包括方位角和仰角)，i=1，2，…，D。记第k个阵元相对于参考点的相位差为k()，其输出为kx(t)，噪声为kn(t)，k=1，2，…，M，则：

kx(t)=Diits1)()(ikje+kn(t)

以T表示矩阵的转置，并记：

X(t)=[)(1tx 2x(t) … Mx(t)]T

N(t)=[)(1tn 2n(t) … Mn(t)]T

S(t)=[)(1ts 2s(t) … Ds(t)]T

A()=[)(1a a(2) … a(D)]

a()=[)(1je )(2je … )(Mje]T

则阵列输出的数学模型可表示为：

)()()()(tNtSAtX

式中)(A与阵列的形状和所有信号的入射角度有关。若阵列阵形已知，则)(A只包含信号的方向信息，因此称其为方向矩阵，相应地称)(a为方向矢量。

3.2 MUSIC算法

设阵列输出信号的空间自相关矩阵为R，其计算式如下

IAPAtXtXERHH2)()(

式中H表示矩阵的共轭转置，E表示计算统计平均，P是信号的自相关矩阵，I2是噪声的自相关矩阵，2是噪声功率，I是M×M单位阵。

R是非奇异的正定Hermitian矩阵，可以利用酉变换实现对角化，其相似对角阵由M个不同的正实数组成，与之对应的M个特征矢量是线性独立的。将R按照特征分解的结果写成

HnnnHSSSHUUUUUUR

式中是由按从大到小顺序排列的特征值组成的对角阵，U是与特征值相对应的特征矢量矩阵。S是中D个较大特征值构成的对角阵，n则由中M-D个小特征值构成，SU和nU是U中对应于S和n的部分。由于nU的列矢量张成A的正交补空间，SU则张成A的值域空间R{A}(矩阵的值域指由矩阵各列的线性组合构成的矢量集合，当各列为最大线性无关组时就张成了矩阵的值域空间)，所以称SU为信号子空间, nU为噪声子空间。进行DOA估计时，信号个数D一般是未知的，需要先行作出正确的判断，常用的方法是信息准则(AIC)。

MUSIC算法进行DOA估计需要在所有的),(取值中寻找在SU空间有最大投影的D个)(a或在其正交空间nU投影的倒数最大的D个)(a，就可以得到信号的来向。

在nU和SU上的投影分别计算为：

2)(STUads

2)(1nTUadn

MUSIC算法步骤清晰，性能稳定，需要进行一次特征分解和二维的谱峰搜索，计算复杂度和运算量适中，适合实际应用。

3.3其他谱估计算法

基于特征结构的谱估计算法很多，如空间平滑、旋转子空间不变(ESPRIT)、零点预处理和加权子空间拟和(WSF)等，这些算法在实际应用中各有优缺点，具体算法如下：

1)空间平滑

算法将具有相同阵型、但是在阵列所处平面存在平移量的若干子阵列的输出信号的自相关矩阵相加之后，对得出的矩阵进行特征分解、谱峰搜索得到DOA估计，原理的数学描述如下：设iR表示第i个子阵输出信号的自相关矩阵，则：

IBPfBfXXERHHiiHiii2)(

式中iiiNSBfX是第i个子阵的输出，B是该子阵的方向矩阵，if是该子阵相对于参考阵列的旋转因子矩阵，

)()()(21Diiijjjieeediagf

将所有的iR相加得到：MiHiIBQBRMR121，式中MiHiiPffMQ11是满秩的。

经过平滑处理后R具有和MUSIC算法中讨论的自相关矩阵一样的特性，可以按照MUSIC、ESPRIT等算法来进行DOA估计。

设空间两相干来波的方位是(20,100)、(30,160)，采用双排直线阵，空间平滑处理后的MUSIC谱图如图1所示：

图1相干信号谱估计图

可见平滑前MUSIC算法完全失效，而空间平滑算法就是利用阵元的冗余性，以降低阵列有效孔径的手段达到去相干的效果。

2)ESPRIT算法

ESPRIT算法利用一对对偶阵列输出信号的自相关矩阵得到对信号空间的两个估计，通过求解这两个空间的旋转矩阵f计算信号的来向，即：fVUSSˆˆ，式中SUˆ和SVˆ是由一对对偶阵列的输出求得的对信号空间的两个估计。在最小二乘的约束下得到：SHSSHSUVVVf1)(,f是对角阵，矩阵元素的定义与空间平滑中if的元素一样，据此可以计算出信号的来向。考虑到SVˆ和SUˆ并非精确已知，而是存在估计误差，因此实际应用中使用总体最小二乘法计算f。

ESPRIT算法可以通过简单的三角公式计算信号的来向，不需要谱峰搜索，

MUSIC算法运算效率高，但是ESPRIT算法要求阵列中存在对偶阵限制了它的

实际应用，并且当多个信号同时到达阵列时，ESPRIT算法需要将方位角和仰角进行正确配对才能得到正确的DOA估计。

改进的ESPRIT算法可以解决多个信号方位角和仰角的正确配对问题。将阵列划分为三个子阵：

)()()()()()()()()()()()(321tNtGSAtXtNtFSAtXtNtSAtX

式中F，G为旋转矩阵，利用F，G可以由子阵1的阵列输出数据矩阵得到子阵2、3的阵列输出数据矩阵，并且位于F和G相同位置的kf和kg包含了同一个来波的方向信息k。采用矩阵束的方法，由矩阵)3,2,1)((itXi可以计算出矩阵F，G的对角元素，从而得到来波的DOA估计。

3)零点预处理

零点预处理算法对阵型及信号是否相干不敏感，它通过加权矩阵W使天线在D个来波信号中的某D-1个来向上形成零陷，阵列输出数据X经W加权即XWYH之后对Y进行DOA估计就简化成一个信号的估计问题，可以借助MUSIC等算法实现，因此算法关键在于求得W。一般的解法是求解欠定的线性方程组0AWH，其中A为：)()()(121DaaaA，我们采用特征分解的方法也能得到W。

零点预处理算法的具体步骤如图2所示。

图2表示零点预处理算法需要知道D个来波方位的初始值，并经过多次迭代才能得到准确结果，因此算法成败的关键在于初始值和收敛条件的选取。初值的获取需要来波方位的先验知识或者结合多个阵列实现(例如由可以处理相干信号的阵列给出DOA估计作初值，再用其它阵列进行迭代达到准确结果)，不仅增加了算法的复杂性，也限制了算法的适用范围。

4)WSF算法

加权子空间拟和(Weighted Subspace Fitting)算法具有比MUSIC算法更强的同频多信号的分辨能力(信号相干与否不影响算法的性能)和更高的精度，但实现困难。

WSF算法归结为求解下式所示的非线性最优化问题：

221T,ˆminargˆ，ˆFSATWUT

即寻找参数Tˆ，ˆ使得SUR与AR在最小平方规则下最接近。式中W是一正定加权对角阵，T是一哑变量。

当A已知时，211-HˆA)(AWUATSH，那么HSSUWUˆˆtraceminˆA，式中trace表示求矩阵的迹，A是A的正交补空间的投影矩阵。

选择122ˆˆˆSSIW,则上式的估计具有最小渐近方差。

综上所述，以上各算法的性能比较如下表：

算法 统计性能 实 现

MUSIC 好 阵型不限，需特征分解和谱峰搜索，简单

ESPRIT 好 阵型受限，需特征分解和三角函数计算，简单

WSF 很好 阵型不限，需特征分解和迭代，复杂

4、空间谱测向与传统测向方法比，具有以下突出优点

（1）多信号测向能力，既可以对不相关或部分相关的多个同频来波信号进行同时测向，也可以通过预处理对几个相干信号同时测向（抗多径测向能力）；

（2） 测向分辨力高，突破了瑞利极限，能分辨出落入阵列同一波束内的多个信号（超分辨测向能力）；

（3） 测向精度高，采用阵列信号处理方法，可以充分利用复杂的数学工具，获得更高的测向精度；