12.2 常数项级数的审敛法

l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则

v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1


3
n
( 2) 3
n 1
n

1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin

3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1

1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n

则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1

正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.

6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1

但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。

”＋
（ 上接 ６ ９页 ）
求分数而放弃了一些实践操作 的学习 。 因此考核应增加 上机部分 ， 设置 专门考试 ， 课程 最终的成绩通 过学生 上 机 考试 得 分 （ ２ ％） 占 ０ 和平 时 成 绩 （ ２ ％） 占 ０ 笔试 （ 占
６ ％） ０ 的得 分计算而来 。 这样 ， 只有平时重视理论 联系实 际， 勤思考 、 勤动手的学生 ， 期末 才能获得好 的成绩 。这 样不仅可 以提高学生在上机实验课 中的积极性 ， 也减轻
需要注意 的是加括号后所成的级数 收敛 ， 原级数
常数项级数 ． 数项级数 的敛散性 与幂 级数 的收敛半 常 径、 收敛域 和函数有密切联 系 ， 其审敛法是 高等数学 故 的重要教学 内容 ， 亦是典型题型 。常见的常数项级数 审 敛法主要 有以下几类 。
一
未必收 例如（ １ （ １ ＿收敛于０但∑ （１＋ 敛， １ ） １ ） ． — ＋ ＋ ＋． ， 一） ｎ ｔ
部分 和 ， ｎ取 值不 同 ， 成 一 数列 ， 为 ｛ ｝ ｌ 随 形 记 Ｓ ． ｉ ｎ若 ｍ
Ｓ ＝ ， 称 ｕ 收敛于和 ｓ 有一部分级数可通过求 Ｓ ｎ Ｓ 。 ｎ
ｒ ｌ＝ １
ｕ０ ， ≠ 则∑ｕ 散。 时，ｌ ＝， 必 敛， 发 同 若ｉｕ０∑ｕ 收 ｍＴ ｌ 未
ｎ＝ １
３和 数 ｝ 发 的 ． 级ｎ 是散 。 调 ∑
以上几个级数 常会用 到 ， 特别是正项级数审敛问题
中常被取为 比较 的对象 。
参考文献 ：
散 ， Ｙ 一 而 ｎ ｕ。 ＝ 的敛散性 。
．
３在级 数中去掉 、 ． 加上或改变有限项不会改 变级数
１同济 大学数 学教研 室． ． 高等数 学 ， 第四版 ， 高等教 育 出版