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A无穷级数常数项级数的审敛法.ppt

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第十一章 第2节常数项级数审敛法

第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )

无穷级数的定义性质和及敛散性判别

无穷级数的定义性质和及敛散性判别
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a

121常数项级数的概念和性质课件

121常数项级数的概念和性质课件
n1
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明 uk1 uk2 ukn n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
| q | 1, 原级数发散.
例 3 判别无穷级数
1(4) 39
1 (4)2 39
Байду номын сангаас
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1
(1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
例7. 利用柯西审敛原理判别级数
解: 对任意 p Z , 有

713常数项级数审敛法

713常数项级数审敛法

(3)lim un1 u n
n
ln i m (n 10 n11 )!1n!0 n
n1
或从 N 0开 某 )若 .始 一 n l iu v m n n 项 ,则


(1) 0 时 , un与vn具有相同.的
n1
n1


(2)0时 , vn收 敛 un收. 敛
n 1
n 1


(3 )时 , vn发 散 un发. 散
当 ex时 ,原级;数 (1发 ) 散
当 x e( 1时 ) ,un1 un
e
1
1n n
1,
单调增加有上界, 以 e 为极限.
故 { u n} ,又 u 1e,从,而 n l i m un0, 原级数 . 发
讨 论 下 列 级 数 的 敛：散 性
例7.1.11
n1
n1
大收小收, 小发大发.
n
n
证 (1) 记 Sn uk , Gn vk ,
k 1
k 1
0 un vn (n = 1, 2, …)
0 Sn Gn

若vn收,敛 则部 G n分 有,和 界
n1

从而 un的部S分 n也和 有 , 界
n1
由比较判别法, 当 = 时,


vn 发散 un 发散
n1
n1
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解
因为 lim n
n2 a2 1 1
( 即 = 1 为常数 )
n
又
1

高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法

高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。

6-2 常数项级数的审敛法

6-2 常数项级数的审敛法

即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
返回
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
上一页 下一页 返回
类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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返回
1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n

[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法

[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
n =1
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：

湘潭大学《高等数学》课件-第12章无穷级数

湘潭大学《高等数学》课件-第12章无穷级数

级数, 且
则
为正项
证明提示:
对任意给定的正数
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
43
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
级数收敛 ; 但
级数发散 .
44
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解:
由定理5可知该级数收敛 . 令
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
条件收敛
则交错级数
收敛
55
思考与练习
设正项级数
收敛, 能否推出
收敛 ?
提示:
由比较审敛法可知
收敛 .
注意: 反之不成立. 例如,
收敛 ,
发散 .
56
作业
P271 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ;
*3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)
则所求误差为
45
二 、交错级数及其审敛法
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
46
证:
是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且
47
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 收敛 收敛
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,

122常数项级数的审敛法(1)-28页PPT精品文档

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部分和

n
kn1k1p1(k11)p11
(n
1 1)p1
1
例2. 证明级数
发散 .
证: 因为
1 1 n(n1) (n1)2
而级数
1 n2 n
发散
∴原级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列
有界 .
证: ∵ 部分和数列
∴
收敛
单调递增, 收敛 有界。
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
若有 则有
(常数 k > 0 n=1,2……),
(1) 若强级数
收敛 ,则弱级数
也收敛 ;
(大头收敛则小头收敛)
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数 也发散 .
(小头发散则大头发散)
n 1
(3) 当l = ∞时,
即 un vn

得 v n 发散 ,
n 1
说明 （1）定理2中
特别取 vn

1 np
,
可得如下结论 :
limn
n
pun l
0l p1, 0l
un发散 un收敛
（2）如何选择 p? 是关键!!! 首 先
(否则 发散 ) 则选择 的等价或同阶无穷小
当x1时,级数发散 ;
当x1时,
定理5. 根值审敛法 ( 柯西判别法) 设
数, 且 nl i mnun,则
为正项级
证明方法与定理４的证明方法类似，此略 ．
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数

高等数学无穷级数 PPT

高等数学无穷级数 PPT

P时 1收敛、
注意 P 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因
此有关 P级数敛散性得结论必须牢记、
例3判定级数
1 25
1 36
n
1
1n
4
得敛散性、
解
因为级数得一般项
1
un n 1n 4
满足
0
n
1
1n
4
1 n2
而级数就是p＝2得P 级数,它就是收敛得,所以原级数
也就是收敛得、
定理3 比较判别法得极限形式:
判别级数
1
n
1
nn
就是否绝对收敛、
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1 n
1 n
n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
数
1 n 1
n不n 就是绝对收敛、
n 1
n!
发散,从而原级
例10
证明级数
例8
判别级数
n 1
1 n 1
n 3 n 1
得敛散性,说明就是否绝对收
敛、
解 因为
n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
数
绝对收敛、 1 n1 n
n 1
3 n 1
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lim(1
n
1 2
1 2n
)
3/26
二、概念
1. 级数的定义: un u1 u2 u3 un
n1
——(常数项)无穷级数，
部分和 sn u1 u2 un
一般项
2. 级数的收敛与发散:
若{sn }收敛（于 s）,称 un 收敛, s 为 un 的和.
n1
n1
写成s = un .如果{sn }发散,称 un 发散.
n1
n1
余项 rn un1 un2 s sn .
4/26
例 1 讨论等比级数(几何级数) (a 0) aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
解 当q 1时
sn a aq aq2
若q 1 limqn
若q
1
n
lim
q
n
若q 1, 级n数 为
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0, 便 有
n
这是不可能的. 级数发散 .
0 1, 2
14/26
或由 2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
加 括 号 后 一 般 项vn
1 2
，v
n
0
（加括号后）级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
2m项
15/26
例6 判别收敛性：1) 1 1 1 1 ；
解
2)
原式 1
1
,
2
发
4
散
6
。
8
1 2 1 n11n 1 1 1
T
T
4
2
T
1
1
0 14
2
1
8
Zeno： T T T T ，
248
这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到 原点。
实际经验告诉我们：若等速行进，跑一
半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即
有
？ T T T T 2T .
248
如何理解此等式?
解决此悖论，要引进极限方法：
T
先T2 算T4前 T8n项 之2Tn和1 ：(11211n )T
第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质
1. 实例 2. 概念 3. 性质 4. 必要条件 5. 小结、作业
1/26
• 例 无穷级数概念的引入
2 1 0.4 0.01 0.004
问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不 可完成”的！)得出一个数？
历史争论：Zeno’s Paradox(芝诺悖论)
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
2. 条件不充分：一般项趋于零级数收敛.
13/26
例5 调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
s2n
sn
1 n1
1 n2
1 2nΒιβλιοθήκη 1) 51( 1 2 2n 1
1) 2n 1
1 (1 1 ) 1 级数收敛（于1）.
2 2n 1 2
2
6/26
三、性质
性质 1 对 k0， kun =k un .
n1
n1
性质 2 若 s un 、 vn 收敛,则
n1
n1
(un vn ) 收敛,并且其和为 s .
n1
Sn
T
T 2
T 3
T n
，则有
lim
n
Sn
在这种情况下，Zeno是有道理的：
永远不能到达终点。
几点结论：
1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题；
2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存 在”的问题，即无穷多项“相加”可能是 “没有和”的；
3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换 律、结合律等)不可以无条件平移过来；
aqn1 a aqn a aqn
0 lnlniimm1ssn nq1a1,q,发q收散敛1; ;
q
a a a a , 发散.
,
当q 1时，sn na , 发散.
综上,
n0
aq
n
当 当
q q
1时,收敛; 1时,发散.
记住！
5/26
例 2 判别收敛性：（1） 22n31n .
一、实例
1. 计算圆的面积A---割圆术
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
正3 2n边形的面积 a1 a2 an
有 A a1 a2 an
lnim(a1 a2 an )
2/26
2. (正方形的面积) 1
1 2
1 22
1 23
1 24
1 25
1
2n
n1
解 un 22n31n 3 4／3n ,为等比级数，
公比q 4／3, | q | 1,级数发散.
（2） 1 1
1
.
13 35
(2n 1) (2n 1)
（拆项法） 解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n 1
1 2n
), 1
sn
1 (1 2
1) 3
1 (1 23
即: 收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.
思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?
9/26
例 4 求
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
5
n1 n(n 1)
1 2n
5 n1 n(n 1)
1 n1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
5 lim n 1 1 5 lim(1 1 ) 5,
例如 (1 1) (1 1) 收敛;
1 1 1 1 发散. 推论 按某一方式加括号后级数发散原级数发散.
11/26
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n k1 k k 1 n n 1
n1
1 2n
1／2 1 1／2
1, 故 5 n1 n(n 1)
1 2n
51
6.
10/26
性质 3 任意添加、删除、修改级数的有限个项,
级数的收敛性不变.
性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛， 且和不变.
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.