中心条件充分性的一些证明方法

一
任 务
答案：因为他的想法包含了逻辑矛盾。他一方面承认“万能溶液可以溶解一切物品”，
二 另一方面又承认“作为存放这种溶液的器皿是万能溶液所不能溶解的”，而这两个判断是
互相矛盾的。
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4．1919 年，英国著名的数学家、逻辑学家罗素曾经提出这样一个问题：“某村子里 有个理发师，他规定：在本村我只给而且一定要给那些自己不刮胡子的人刮胡子。”请 问：这个理发师给不给自己刮胡子？这是数学史上著名的“理发师悖论”，请分析这里
2．违反充足理由律要求的逻辑错误：
任
(1)以主观臆造的理由进行论证，会犯“诡辩”“理由虚假”的错误。
务 二
(2)论据与论证结果之间没有必然联系，所犯的错误叫“推不出”“强加关系”。
(3)论据不充足，不能充分证明论点，所犯的错误叫“以偏概全”。
第7页
二、运用有效的推理形式
(一)演绎推理
1．概念：演绎推理就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述
同语境中表达的不同概念混为一谈。
一
(2)转移论题或偷换论题：在同一个思维过程中，改变原来的断定内容，或者用另一
断定代替它。表现：①在思维过程中，用一个与原来相似但不同的命题代替原来的待断
任 定命题。②思考或谈论问题时，没有中心论题或者远离中心论题。
务 二
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(二)不矛盾律
1．内容和要求：
(1)内容：在同一思维过程中，两个互相否定的判断不能同时是真的，必有一假，即
确性获得充分有力的证明。反证法常常与正面论证结合使用，以达到相得益彰的效果。
任 务
示例：王戎 7 岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李子树上结满了果子。小伙
一 伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。有人问他为什么不去摘，王戎回答说：

一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心吴玉森;李培峦【摘要】本文研究了一类七次多项式系统高次奇点的中心、拟等时中心条件与极限环分支问题.首先通过同胚变换和复变换将系统的高次奇点化为复域中的初等原点,然后求出了新系统在原点的前45个奇点量,从而导出了高次奇点为中心和最高阶细焦点的条件.在此基础上给出了七次系统在高次奇点分支出8个极限环的实例.最后通过一种新的算法求出高次奇点为中心时的周期常数,得到了高次奇点为拟等时中心的必要条件,并一一证明了这些条件的充分性.%Investigated in this paper are the center conditions, pseudo-isochronous center conditions and bifurcation of limit cycles at higher-order singular points for a class of septic system. Firstly, the higher-order singular point is transformed into the origin by a homeomorphic transformation and a complex transformation. Then the first 45 singular point quantities at the origin are calculated and the conditions for the higher-order singular point to be a center and the highest order fine focus are deduced as well. With these conclusions, a septic system which allows the appearance of 8 limit cycles in the neighborhood of higher-order singular points is constructed. Finally, a new algorithm is applied to find necessary conditions for pseudo-isochronous centers, and then the sufficiency of these conditions is proved.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)001【总页数】9页(P87-95)【关键词】高次奇点;极限环分支;拟等时中心;七次系统【作者】吴玉森;李培峦【作者单位】河南科技大学数学与统计学院,洛阳,471003;河南科技大学数学与统计学院,洛阳,471003【正文语种】中文【中图分类】O175.121 引言在平面多项式微分系统定性理论中，中心与等时中心这两个经典问题一直吸引着众多数学工作者的兴趣．关于初等奇点的中心与等时中心问题已有大量的研究结果[1-5]，但关于多项式系统高次奇点这方面的研究结果还很少见，目前仅有一些关于高次奇点稳定性、极限环分支的结果[6]．研究系统原点中心条件的一种方法是先求出原点的前面若干个焦点量，然后置这些焦点量为零，从而获得原点为中心的必要条件，最后通过各种方法来证明这些条件的充分性．如果一个平面多项式系统的中心的充分小临域内闭轨族的周期为相同的常数，则称之为等时中心．类似地，当原点为中心时，研究系统等时中心的一种方法是先求出原点的前面若干个周期常数，然后置这些周期常数为零，从而获得原点为等时中心的必要条件．最后通过多种途径证明条件的充分性．计算焦点量的经典方法有Poincar后继函数法和Lyapunov形式级数法[7]，而计算周期常数的方法有等时常数法[3,4,8]，周期常数法[9]，复系统的周期常数法[5]．以上计算焦点量和周期常数的方法都具有计算复杂、不便应用的缺点．刘一戎、李继彬[10]给出了一套统一计算焦点量和鞍点量为奇点量来解决复中心问题的新方法．在此基础上，刘一戎、黄文韬[11]又给出了一种在复域中计算复系统中心周期常数的新算法，即解决了寻找复等时中心必要条件的问题．上述计算奇点量和周期常数的新方法容易通过计算机代数软件Mathematica或Maple实现，只需以系统右端系数作为符号进行有限次加、减、乘、除的四则运算和符号推导，避免了复杂的非线性积分运算和求解多元方程组．本文研究如下七次多项式系统系统(1)的原点为高次奇点，且它的Poincar闭球面的赤道Γ∞为系统的轨线，其上没有实奇点．本文通过同胚变换和复变换把系统(1)的高次奇点化为初等奇点在复域中来研究，得到了系统的中心条件和最高阶细焦点(细奇点)条件，构造出了一个在高次奇点分支出8个极限环的七次多项式系统实例．然后，在中心条件的基础上计算了系统的周期常数，得到了此系统高次奇点为拟等时中心的必要条件，最后通过多种有效途径证明了这些条件的充分性．这实际上解决了这类七次系统的伴随系统高次奇点的拟等时中心问题与其自身为实系统时鞍点的可线性化问题．2 高次奇点的奇点量与中心条件通过同胚变换系统(5)变为它的伴随系统显然，系统(7)的右端系数共轭，即利用文献[12]定理2.1给出的计算原点奇点量的一般递推公式，通过计算机符号运算与化简可得以下定理．定理1 系统(7)δ=0原点的前45个奇点量为定理2 系统(7)δ=0原点的前45个奇点量全部为零的充要条件是下列三组条件之一成立：根据文献[10]，系统(7)δ=0有14个基本Lie不变量：定理2给出了系统(7)δ=0的原点为中心的必要条件．在定理2中，如果条件(I)或(III)成立，则系统(7)δ=0满足广义对称原理[10]的条件；如果条件(II)成立，记a32=b32=r32，则系统(7)δ=0 有通积分所以，我们有以下定理．定理3 系统(7)δ=0的原点(相应地，系统(1)δ=0的高次奇点)为中心的充要条件是定理2中的三组条件之一成立．3 高次奇点的极限环分支实例由定理1容易得到：定理4 系统(7)δ=0的原点为45阶细奇点，即µ1= µ2= ···= µ44=0,µ45≠0的充要条件是且细奇点的最高阶数为45阶．由定理1及定理4，我们构造出扰动系统(7)在原点分支出8个极限环的实例如下：定理5 如果系统(7)的系数满足相应地，系统(1)的系数可由(3),(8),(11)式定出，则当0<ε≪ 1时，系统(5)在原点的邻域内经微扰将产生8个极限环，其位置在圆ξ2+η2=k2ε2,k=1,2,3,4,5,7,8,9附近．相应地，系统(1)在高次奇点的邻域内经微扰将产生8个极限环，其位置在1,2,3,4,5,7,8,9附近．由(12)式可得Poincar后继函数为其中G(h,ε)在原点解析g(h)仅有8个简单正根，由(13)式及隐函数定理，即得所欲证．4 高次奇点的周期常数与拟等时中心条件系统的等时中心首先必须是中心，因此我们按中心条件分三种情形来讨论系统(7)δ=0的复等时中心条件．在定理2的中心条件中我们记a32=b32=r32．情形1 中心条件(I)成立．当a23=b23=0时，由文献[11]定理3.1中周期常数的一般递推公式，经过仔细计算得系统(7)δ=0的前20个周期常数为在式(14)和(15)中τk=0,k≠5i,i≤ 4,i∈ N，且在上述µk的表达式中已置τ1=τ2= ...=τk−1=0,k=2,3, (20)由式(14)和(15)易见，系统(7)δ=0的原点为复等时中心当且仅当它为普通的线性系统情形2 中心条件(II)成立．将中心条件(II)代入文献[11]定理3.1中的周期常数递推公式，得到系统(7)δ=0的前40个周期常数如下其中τk=0,k ≠5i,i≤ 8,i∈ N．在上述µk的表达式中已置τ1= τ2= ···=τk−1=0,k=2,3, (40)由τ35=0知存在复常数h，使得代入τ20的表达式得由(18)式得将(17)式和(19)式代入τ40的表达式得所以当中心条件(II)成立时，系统(7)δ=0的原点不是复等时中心．情形3 中心条件(III)成立．因为a41b41≠0，由中心条件(III)，可令其中r,h是复常数．将(21)式代入文献[11]定理3.1中的周期常数递推公式，得到系统(7)δ=0的前30个周期常数其中在上述µk的表达式中已置2,3, (30)由τ15=0知类似于情形2的证明过程容易得到：所以系统(7)δ=0的前30个周期常数为零当且仅当者当条件(23)成立时，系统(7)δ=0变为则系统(25)变故系统(25)的原点是复等时中心．当条件(24)成立时，系统(7)δ=0变为由极坐标公式z=reiθ,w=re−iθ，沿着系统(26)的轨线，θ对T求导得所以系统(26)的原点是复等时中心．综上所述，我们得以下结论．定理6 系统(7)δ=0((1)δ=0)的原点(高次奇点)是复等时中心(拟等时中心)的充分必要条件是条件(23)或(24)成立．参考文献：【相关文献】[1]Ye Y Q.Qualitative Theory of Polynomial Differential Systems[M].Shanghai:Shanghai Science Technology Publisher,1995[2]Li J B.Hilbert’s 16th problem and bifurcation of planar polynomial vectorfields[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2003,13:47-106[3]Chavarriga J,Gin J,Garca I.Isochronous centers of a linear center perturbed by fourth degree homogeneous polynomial[J].Bulletin des Sciences Mathmatiques,1999,123:77-96 [4]Chavarriga J,Gin J,Garca I.Isochronous centers of cubic systems with degenerate infinity[J].Differential Equations and Dynamical Systems,1999,7(2):221-238[5]Lin Y P,Li J B.Normal form and critical points of the period of closed orbits for planar autonomous systems[J].Acta Mathematica Sinica,1991,34:490-501[6]Chen H B,Liu Y R,Zeng X W.Center conditions and bifurcation of limit cycles at degenerate singular points in a quintic polynomial differential system[J].Bulletin des Sciences Mathmatiques,2005,129:127-138[7]Blows T R,Rousseau C.Bifurcation at infinity in polynomial vector fields[J].Journal ofDifferential Equations,1993,104:215-242[8]Cair L,Chavarriga J,Gin J,et al.A class of reversible cubic systems with an isochronous center[J].Computers&Mathematics with Applications,1999,38:39-53[9]Gasull A,Manosa V.An explicit expression of the first Lyapunov and period constants with applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997,211:190-212[10]刘一戎，李继彬.论复自治系统的奇点量[J].中国科学A，1989,32(3):245-255 Liu Y R,Li JB.Theory of values of singular point in complex autonomous differential system[J].Science in China(Series A),1990,33:10-24[11]Liu Y R,Huang W T.A new method to determine isochronous center conditions for polynomial differential systems[J].Bulletin des Sciences Mathmatiques,2003,127:133-148 [12]刘一戎，陈海波.奇点量公式的机器推导与一类三次系统的前10个鞍点量[J].应用数学学报，2002,25(2):295-302 Liu Y R,Chen H B.Formulas of singular point quantities and the first 10 saddle quantities in a class of cubic system[J].Acta Mathematicae ApplicataeSinica,2002,25(2):295-302。

函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 .（例：A ={(x，y)|y=x+1} B={y|y=x2+1}则A∩B= ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题 逆否命题.
④若集合A=集合B，则CBA= ，CAB= CS（CAB）=D（注：CAB= ）.
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
高考一轮复习知识点
数学
第一章-集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

AX=XB的求解小结最近看到不少问题和此方程求解有关，作一个系统性的讨论和总结吧。

相关的两个帖子见下/forums/index.php?showtopic=51948请教关于中心的一个问题/forums/index.php?showtopic=52057主要是证明一下第一个链接中网友给出的矩阵论八讲的两个定理，见附图。

第二个链接可以看作这些结果的应用。

方法是标准型方法。

先看一个必要条件，然后再看充分条件。

有趣的是，必要条件是把X化作标准型(初等变换)；而充分条件是把A,B化作若当标准型（相似变换）；很有意思。

另外，附图中虽然考虑的是A,B，X都是方阵情形，其实可以看出来，当A，B都是方阵，但是阶数不同时，X 不方，该结论和证明都可以通得过的，这一点在下帖的求解AX=XB时要用到。

这里是充分条件。

另外。

关于AX=XB的解的维数计算，本质上就是一楼的定理3，但我觉得定理3不是很直观，加上不少网友可能对初等因子可能不熟悉（其实初等因子和若当块一一对应，就是若当块的特征多项式），所以改写了一下，并给出例子来说明。

（需要注意的是，这里实际上仅处理了复数域的情形，对于一般数域类似地也可以证明，但需要把若当标准型换为有理标准型来推理）相关问题除了一楼所给的两个连接以外，还可以看一些特殊情形，先看一个：与对角矩阵交换的矩阵是分块对角矩阵与对角元互相不同的对角矩阵交换的矩阵一定是对角矩阵。

这个用AX=XB的解的结论可以看出。

但是直接证明更容易些。

另一个是论坛里讨论过多次的交换性问题：A矩阵，（满足AB=BA的矩阵B都是A的多项式）当且仅当（A的极小多项式与特征多项式相等）。

这里给出一个比较“笨”的直接证明，当然也是用到了前面关于 AX=XB的解的论断。

其他证明可以搜索一下论坛得到；例如一楼的附图中的定理4，就是一个证明。

A矩阵，（满足AB=BA的矩阵B都是A的多项式）当且仅当（A的极小多项式与特征多项式相等）。

这个我看懂了周老师写的证明，以及用定理四证明，其他的方法找不到，周老师给个链接好么？只找到一个：证明：n维向量空间上的一个线性变换A有n个互异的特征根当且仅当存在一个向量ξ 使得ξ ,Aξ,A 2 ξ,...,A n -1ξ 为向量空间的一组基。