复合函数的勒贝格可积性研究

可积函数与勒贝格积分的计算在数学分析中，可积函数是一类具有特殊性质的函数，而勒贝格积分是一种计算可积函数积分的方法。

本文将介绍可积函数的定义和性质，以及勒贝格积分的计算方法。

一、可积函数的定义与性质可积函数是指在某个特定的区间上，其积分存在且有限的函数。

为了更准确地定义可积函数，我们首先需要引入可测集合的概念。

可测集合是指在某个测度空间上，满足一定性质的集合。

对于实数空间上的可测集合，我们常用勒贝格可测集合来进行描述。

在这里，我们不对可测集合进行详细的讨论，只需要知道可积函数的定义需要依赖于可测集合的概念。

定义1：设f是定义在实数轴上的一般函数，如果对于任意给定的正数ε，存在一个可测集合E，使得E的测度满足m(E) < ε，并且f在E的补集上有界，则称f是可积函数。

可积函数的性质主要包括有界性、可测性和可积性。

性质1：可积函数在其定义区间上有界。

也就是说，可积函数在定义区间上的值是有限的。

性质2：可积函数是可测函数，即对于可测集合E，可积函数在E 上是可测的。

性质3：可积函数的积分存在且有限。

对于可积函数f和其定义区间上的任意可测集合E，我们可以定义f在E上的积分，记作∫E f(x)dx。

如果该积分存在且有界，则称可积函数f在E上可积。

二、勒贝格积分的计算方法勒贝格积分是一种计算可积函数积分的方法，其基本思想是将函数分解成正部分和负部分，并分别计算它们的积分，并对积分结果进行加和。

定义2：设f是定义在实数轴上的可积函数，则其正部分f^+和负部分f^-分别定义为f^+(x) = max{f(x), 0}和f^-(x) = max{-f(x), 0}。

通过将可积函数分解成正部分和负部分，我们可以将勒贝格积分拆分为两部分的积分计算。

定义3：设f是定义在实数轴上的可积函数，则勒贝格积分记作∫f(x)dx，定义如下：∫f(x)dx = ∫f^+(x)dx - ∫f^-(x)dx其中∫f^+(x)dx表示f的正部分在其定义区间上的积分，∫f^-(x)dx表示f的负部分在其定义区间上的积分。

2023年硕士研究生招生考试大纲011 数学科学学院目录初试考试大纲 (2)617 数学分析 (2)856高等代数 (7)432 统计学 (9)复试考试大纲 (13)F1101综合考试（四门科目中任选二门） (13)F1102概率论与数理统计 (19)初试考试大纲617 数学分析一、考试性质数学分析是数学硕士研究生入学初试考试的专业基础课程。

二、考查目标根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求，力求反映与数学相关的硕士学位的特点，客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况，为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。

测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。

要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论；掌握数学分析的基本论证方法和常用结论；具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。

三、考试形式本考试为闭卷考试，满分为150分，考试时间为180分钟。

试卷结构：一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函数理论、场论等）考核的比例均约为1/3，分值均约为50分。

四、考试内容(一) 变量与函数1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等函数，初等函数。

(二) 极限与连续1、数列极限：定义（ε-N 语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要的数列极限e n nn =+∞→1)1(lim ），迫敛性法则，柯西收敛准则）； 2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数值趋于无穷大的情形（ε-δ, ε-X 语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性）；函数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine 定理），柯西收敛准则）；运算；4、两个常用不等式和两个重要函数极限（1sin lim 0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim ）； 5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性）；初等函数的连续性。

专题勒贝格积分及相关理论主要内容1.勒贝格积分的研究背景2.点集的勒贝格测度3.可测函数4.勒贝格积分的概念及相关理论1902年“积分、长度、面积”第1讲勒贝格积分的研究背景勒贝格: 1902年博士论文“积分、长度、面积”(Lebesgue, 法,1875－1941)求积问题四边形求积问题八边形求积问题十六边形一、定积分的进展概述柯西的积分理论是对于闭区间上连续函数来定义的, a b x y o ?A a b x yo 不足: 若闭区间上具有无限多不连续点, 柯西积分就不适用了.重新定义定积分为一个分割的和的极限 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857)()[,].f x a b 设是定义在上的有界函数 1854年黎曼 (Riemann, 德, 1826－1866) 重新定义定积分(后也称黎曼积分)01:,i n T a x x x x b =<<<<<=step1.分割区间 1max{}i i n T x ≤≤=∆1,i i i x x x -∆=-step2. 近似作和黎曼和1()n ii i f x ξ=∆∑=(,)i S T ξ记作依赖于划分T , 以及点的取法 i ξ01()d lim ().n bi i a T i f x x f x ξ→==∆∑⎰step3. 求极限得黎曼积分,0,,()[,],i T T f x a b ξ→不论和如何选择 当时黎曼和都趋于同一个值则称该值为函数在区间上的积分即达布大和 1[,]sup {()}.i i i x x x M f x -∈=1,nT i i i S M x ==∆∑ 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 提出了达布大和、小和达布小和1[,]inf {()}.i i i x x x m f x -∈=1,nT i i i S m x ==∆∑上积分与下积分()d inf ,bT a Tf x x S =⎰()d sup .b T a T f x x S =⎰结论 1 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰()d ()d .bb a a f x x f x x =⎰⎰01lim 0,ni i T i x ω→=∆=∑1()[,i i i i i M m f x x x ω-=-其中为在]上的振幅.结论 2 黎曼可积 ( 存在) 的充要条件 ()d ba f x x ⎰x i -1 x i(1) 对被积函数和积分域要求过于严格 要求积分域为区间,对一般点集而言, R 积分无定义;二、 黎曼积分的局限性 (一维情形为例)01()[,]lim 0ni i T i f x a b x ω→=⇔∆=∑函数在区间上可积 要求被积函数在区间[a , b ]上的变化不能太快, 至少急剧变化的点不能太多, 可积函数是“差不多连续”.(黎曼积分意义下可积的函数类太小)例1 [0,1]上的狄利克雷函数1,[0,1]()0,[0,1]\x D x x ∈⎧=⎨∈⎩不是R 可积的. 证明 对任意的划分T , 1,i ω=总有从而0011lim lim 1n ni i i T T i i x x ω→→==∆=∆=∑∑故D (x )在[0,1]上不是R 可积的..0≠狄利克雷( Dirichlet, 德, 1805－1859)在很强的条件下(可积函数列一致收敛)才能交换极限运算与积分运算次序(见数学分析教材);(2)积分与极限可交换的条件太严格问题⇒？ O y x()y f x =()n y f x =ba ()y f x ε=-()y f x ε=+一致收敛的几何直观例210lim (d ).n n f x x →∞=⎰所以1x εyxO 2x 113x ε- 函数列一致收敛的要求过分强.10(d im )l n n f x x →∞⎰1231231,{,,,,}(),1,2,3,0,[0,1]\{,,,,}n n n x r r r r f x n x r r r r ∈⎧==⎨∈⎩例3 设{r n }为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集, 故可把它排成序列), 构造[0,1]上的函数列 1,[0,1]lim ()()0,[0,1]\n n x f x D x x →∞∈⎧==⎨∈⎩不R 可积. 可积函数列的极限函数(逐点收敛)未必可积. {()}[0,1]R ,n f x 则在上可积但(3)关于微积分基本定理()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件1 在上是连续的.' 1821年柯西 (Cauchy, 法, 1789－1857) ()d ()(),[,]xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰()[]()[](),,(),a f x a b b f x a b 假设在上是可微的 条件2 在上是可积的.' 1875年达布 (Darboux, 法, 1842－1917) 在满足以下条件之一下是成立的:()[](),,,f x a b f x 假设在上是可微的 且是有界的'⇒？ ()d ()(),[,].xa f t t f x f a x ab '=-∈⎰ 1881年沃尔泰拉 (Volterra, 意, 1860－1940) 为了扩充可积函数类, 拓宽积分与其它运算交换的条件, 需要将传统的黎曼积分定义推广.做出了一个可微函数, 其导函数有界, 但导函数不是R 可积的.假设 (b )的必要性？问题感谢大家的聆听！。

勒贝格可积但不黎曼可积的例子勒贝格可积但不黎曼可积是数学分析中的一个重要概念，它涉及到函数的可积性和积分的性质。

在这里，我将介绍勒贝格可积和黎曼可积的概念，并举例说明勒贝格可积但不黎曼可积的情况。

首先，我们要了解什么是勒贝格可积和黎曼可积。

勒贝格可积是指在勒贝格测度空间中，函数的积分存在且有限。

勒贝格积分在数学分析中占据着重要地位，它的定义更加一般化，可以应用于更广泛的函数类别。

而黎曼积分是针对有界闭区间上的函数而言的，它的定义相对简单，但是只能适用于某些特定的函数。

对于黎曼可积的函数，它必须满足黎曼可积的必要条件，即在有界闭区间上连续或仅有有限个间断点。

而对于勒贝格可积的函数，它的定义更加一般化，可以适用于更广泛的函数类别，不受限于有界闭区间上的函数。

现在，我们来举一个勒贝格可积但不黎曼可积的例子。

考虑函数f(x)=1/x在区间[1,∞)上的情况。

首先，我们来判断它是否是勒贝格可积的。

根据勒贝格可积的定义，我们需要计算函数f(x)=1/x的勒贝格积分。

在区间[1,∞)上，f(x)=1/x是一个连续且非负的函数，它的积分可以表示为：∫[1,∞) (1/x) dx= lim(n→∞) ∫[1,n] (1/x) dx= lim(n→∞) [ln(n) - ln(1)]= lim(n→∞) ln(n)从上面的计算可以看出，函数f(x)=1/x在区间[1,∞)是勒贝格可积的，它的勒贝格积分存在且有限，等于正无穷。

但是，对于黎曼积分而言，函数f(x)=1/x在区间[1,∞)上是不黎曼可积的。

因为在这个区间上，函数f(x)=1/x在x=1处有一个无穷间断点。

根据黎曼积分的性质，对于有无穷间断点的函数而言，它是不黎曼可积的。

因此，我们可以得出结论：函数f(x)=1/x在区间[1,∞)上是勒贝格可积的，但不黎曼可积。

这个例子展示了勒贝格可积和黎曼可积的区别，同时也说明了勒贝格积分的更广泛适用性。

在实际问题中，勒贝格积分的性质和定义更加一般化，能够适用于更广泛的函数类别，为数学分析提供了更加丰富的工具和方法。

勒贝格可积性研究勒贝格可积性（Lebesgue integrability）是数学分析中的一个重要概念，由法国数学家亨利·勒贝格在20世纪初提出。

勒贝格可积性是测度论的核心内容之一，并在实分析、概率论和数论等领域中有着广泛的应用。

具体地说，假设我们有一个定义在测度空间上的函数f：E→R，其中E是测度空间，R是实数集。

我们想要判断f是否是可积的，也就是说，我们想要找到一个值来“衡量”f在E上的积分是否存在。

∫f*(x)dx = sup{∫g(x)dx ， g是一个简单函数，且0≤g(x)≤f(x)}而f的上积分（upper integral）定义为：∫f*(x)dx = inf{∫g(x)dx ， g是一个简单函数，且f(x)≤g(x)}如果f的下积分和上积分都相等且有限，我们则称函数f是可积的，其积分等于下积分或上积分的值。

这就是勒贝格可积性的定义。

勒贝格可积性的实质是通过数列逼近来对函数进行近似。

简单函数可以看作是定义在有限测度空间上的分段常值函数，通过对定义域进行分割，并在每个子集上取常值来近似原函数。

我们用这些简单函数的积分值的下确界和上确界来近似原函数的积分值，如果这两个值相等且有限，那么我们就认为原函数是可积的。

勒贝格可积性的研究主要涉及了对可积函数的性质和定理的探讨。

例如，勒贝格可积性具有线性性质，即两个可积函数的线性组合仍然是可积的。

此外，如果一个函数在一些测度为零的集合上取值为零，则它是可积的。

还有，如果一个函数是有界的，则它也是可积的。

另一个与勒贝格可积性相关的重要结果是勒贝格收敛定理（Lebesgue convergence theorem）。

该定理认为，如果一个函数序列在测度空间上逐点收敛于另一个函数，并且这个函数序列都可积，则收敛函数也是可积的，并且其积分等于逐点收敛的函数序列的积分值。

总而言之，勒贝格可积性是测度论的重要内容，它为实分析、概率论和数论等领域中的积分理论提供了坚实的基础。

勒贝格积分的性质与应用摘要：在函数勒贝格积分存在的条件下，对勒贝格积分的性质进行思考和证明，将勒贝格积分性质进行扩展和进一步的研究。

同时，对勒贝格积分性质的应用进行整理，突出勒贝格积分的优点，从而对勒贝格积分性质和应用形成更加清晰的认识，促进与积分性质相关问题的解决，提高应用实变函数理论分析问题与解决实际问题的能力。

关键词：勒贝格积分性质应用0.引言黎曼积分的出现，使得一大类在牛顿积分意义下或柯西积分意义下不可积的函数进行积分变成了可能,从而使得常见的积分问题基本上都能得到完满的解决,但黎曼可积的函数主要的还是连续函数,或者说不连续点不太多的函数[1]。

针对Riemann积分中存在的缺陷,法国数学家勒贝格成功的引入了一种新的积分,即Lebesgue积分。

勒贝格积分是实变函数论的中心内容，积分理论建立在勒贝格测度论的基础上，是黎曼积分理论的升华，它不仅包含了黎曼积分理论的成果，而且很大程度上摆脱了黎曼积分的困境。

勒贝格意义上的积分，使得可积函数类大大增加，而且具有良好的性质，积分与极限交换顺序的条件也大大减弱，使积分运算更加便捷，更适合数学各分支及很多实际问题的需要[2][3]。

1.勒贝格积分的双向性[4]在黎曼积分中，函数黎曼可积与函数具有黎曼积分值是等价的。

但在勒贝格积分中，函数勒贝格可积与函数具有勒贝格积分值并不等价。

勒贝格可积与勒贝格积分的定义区别：勒贝格积分存在:设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分不同时为+∞，则称f(x)在E上有积分，并定义f(x)在E上的积分为∫f(x) E dx=∫f+(x)Edx−∫f−(x)Edx。

积分值为有限数或±∞。

勒贝格可积：设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分都为有限数时，即当f+(x)与f−(x)均在E上可积时，称f(x)在E上可积，其积分值为有限数。

2.勒贝格积分的性质目前关于勒贝格积分的诸多性质，大多都是在函数勒贝格可积的条件下给出的，然而有很多实际问题当中出现的函数虽然具有勒贝格积分，但不是勒贝格可积的，这类积分就不能用勒贝格可积条件下的诸多性质。

勒贝格定理的有趣证明与函数黎曼可积性勒贝格定理在数学界是一个极具争议的定理，它有许多有趣的证明方法。

最近在函数空间中，黎曼可积性也发挥了重要作用，用于证明勒贝格定理。

本文着重介绍勒贝格定理的有趣证明方法及其与黎曼可积性的关系。

首先，本文介绍勒贝格定理及其有趣的证明方法。

勒贝格定理是一个在数学界有争议的定理，它声称每一个有限的，连续的函数在其给定区域上都是可导的，其导数满足一个不等式。

若果函数服从增函数、减函数或者双调函数性质，那么它的导数就一定满足这个不等式，这就是所谓的勒贝格定理。

它的证明有许多种，其中有理论证明以及几何证明，并且可以借助图形话证明的方式来证明它的正确性。

接下来，本文介绍了勒贝格定理的黎曼可积性证明方法及其原理。

黎曼可积性是在函数空间中的一种性质，它可以用来证明函数在某一区域内是可积的。

有一种基于此性质的证明方法，即用黎曼可积性来证明勒贝格定理，它是把函数看作整体，然后假设它们在某个区域内是可积的，由此可以证明函数在此区域内是可导的。

即使函数服从增函数、减函数或者双调函数性质，也可以借此方法来证明它的正确性。

综上所述，勒贝格定理是一个极具争议的定理，有许多有趣的证明方法可以用来验证它的正确性。

最近，黎曼可积性也发挥了重要作用，用来证明勒贝格定理，即使函数服从增函数、减函数或者双调函数性质，也可以借此方法来证明它的正确性。

本文介绍了勒贝格定理的证明方法及其与黎曼可积性的关系，以期能帮助读者更加了解勒贝
格定理。

复合函数的黎曼可积性
作者：吴亚敏， WU Ya-min
作者单位：鄂东职业技术学院,湖北,黄冈,438000
刊名：
重庆文理学院学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF CHONGQING UNIVERSITY OF ARTS AND SCIENCES(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：2008,27(4)
被引用次数：1次
1.钱吉林数学分析题解精粹 2003
2.华东师范大学数学系数学分析 2001
3.孟爱秋论复合函数可微性与可积性[期刊论文]-辽宁师专学报（自然科学版） 2001(03)
4.蒋逢海复合函数的黎曼可积 1989(03)
5.华中师范大学数学系数学分析 2000
1.吴亚敏复合函数的勒贝格可积性研究[期刊论文]-重庆文理学院学报（自然科学版） 2010(1)
本文链接：/Periodical_yxxyxb-z200804008.aspx。