高中数学选择性必修三 精讲精炼 本册综合测试(基础)(含答案)

6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。

高中数学选修三综合测试题题型总结及解题方法单选题1、有甲､乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票3张有奖票，乙箱中有4张无奖票2张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，则最后抽到有奖票的概率是（ ） A ．27B ．514C ．730D ．57 答案：B分析：先分为在甲箱中抽出一张有奖票放入乙箱和在甲箱中抽出一张无奖票放入乙箱，进而结合条件概率求概率的方法求得答案.记B 1表示在甲箱中抽出一张有奖票放进乙箱，B 2表示在甲箱中抽出一张无奖票放进乙箱，A 表示最后抽到有奖票.所以P (B 1)=36=12,P (A|B 1)=37，P (B 2)=36=12,P (A|B 2)=27，于是P (A )=37×12+27×12=514. 故选：B.2、某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ） A ．0.2B ．0.25 C ．0.4D ．0.8 答案：B分析：根据正态分布的对称性得到对称轴为ξ=4，得到摄像头在4年内能正常工作的概率为12，再计算概率得到答案.P (ξ≥2)=0.8，P (ξ≥6)=0.2，所以P (ξ<2)=P (ξ>6)=0.2. 所以正态分布曲线的对称轴为ξ=4，即P (ξ≤4)=12，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为12.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12=14.故选：B.3、某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X∼N(μ1,σ12)，Y∼N(μ2,σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值答案：A分析：根据正态分布密度曲线的对称轴为x=μ，图像越瘦高数据越稳定可得.由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A4、在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A．11位B．12位C．13位D．14位答案：B，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n 分析：设参赛选手共有n位，则总场次为n(n−1)2值，并判断n值的合理性即可.设参赛选手共有n位，则总比赛场次为C n2，即n(n−1)场，且n∈N+，n≥2，2由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为n(n−1)分且为偶数，∴当n(n−1)=132，得n=12；当n(n−1)=134，n无整数解；∴n=12(位).故选：B.小提示：关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.5、(1+x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：先求出项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，进而可以求出(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项，由此即可求出结果.因为二项式(1+x)5的展开式的通项为C5r x r，所以(1+x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为1×C54x4+x2×C52x2=15x4，所以x4的系数为15.故选：C．6、第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75B．0.7C．0.56D．0.38答案：A分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得：P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.7，P(A2|B1)=0.8，则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.故选：A.7、某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（ ）A ．r 4<r 2<r 1<r 3B ．r 2<r 4<r 1<r 3C ．r 2<r 4<r 3<r 1D ．r 4<r 2<r 3<r 1 答案：C分析：根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.由图可知：r 3，r 1所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且r 1对应的相关性比r 3对应的相关性要强，故0<r 3<r 1，r 2，r 4所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知r 2<r 4<0,因此r 2<r 4<r 3<r 1， 故选：C8、在(x2−y)(x +y )6的展开式中，x 3y 4的系数是（ ） A ．20B ．152C ．−5D ．−252 答案：D解析：根据(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，转化为求(x +y )6的展开式x 2y 4和x 3y 3的系数，求出通项即可得到答案.(x2−y)(x +y )6=x2(x +y )6−y (x +y )6，(x +y )6的展开式的通项是T r+1=C 6r x 6−r y r ，令6−r =2，则r =4，则(x +y )6的展开式中x 2y 4的系数为C 64=15， 令6−r =3，则r =3，则(x +y )6的展开式中x 3y 3的系数为C 63=20，故(x 2−y)(x +y )6展开式中x 3y 4的系数是12×15−20=−252. 故选：D.小提示：本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题. 多选题9、对于m,n ∈N ∗关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）A ．C n m =C n n−mB ．C n+1m =C n m−1+C n m C ．A n m =C n m A m m D ．A n+1m+1=(m +1)A n m答案：ABC分析：利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.对于A ，由组合数的性质知，C n m =C nn−m 成立，A 正确； 对于B ，C n m−1+C n m =n!(m−1)!(n−m+1)!+n!m!(n−m)!=m⋅n!m!(n−m+1)!+(n−m+1)⋅n!m!(n−m+1)! =(n+1)!m!(n−m+1)!=C n+1m ，B 正确；对于C ，因C n m =A n m A mm ，因此A n m =C n m A m m成立，C 正确；对于D ，因A n+1m+1A nm =(n+1)!(n−m)!⋅(n−m)!n!=n +1≠(m +1)，即A n+1m+1=(m +1)A n m不成立，D 不正确.故选：ABC10、“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm ）服从正态分布，其密度函数为φ(x)=10√2π−(x−100)2200,x ∈(−∞,+∞)，则下列说法正确的是（ ）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．该地水稻株高在120cm 以上的数量和株高在80cm 以下的数量一样多D ．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)（单位：cm ）的概率一样大 答案：AC解析：根据密度函数为φ(x)=10√2π⋅e−(x−100)230，易知μ=100,σ=10可判断AB ，根据正态曲线的对称性可判断CD.因为密度函数为φ(x)=10√2πe−(x−100)230，所以μ=100,σ=10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．11、为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多B．被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关不会受到被调查的男女生人数影响D．是否有99%的把握认为喜欢登山和性别有关会受到被调查的男女生人数影响答案：BD分析：根据统计图，结合图中所提供的数据逐一判断即可.因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能确定喜欢登山的男生人数比不喜欢登山的女生人数多，因此选项A不正确；由统计图中可以确定被调查的男生中喜欢登山的人数的百分比为80%，所以被调查的男生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多，因此选项B正确；因为不知道被调查的学生中，男生与女生的人数，所以不能由卡方公式进行计算判断，所以选项C不正确，选项D正确，故选：BD 填空题12、若二项式(1+2x )n (n ∈N*)的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x 3项的系数为__________． 答案：80解析：令x =1，可得3n =243解得n =5，再写出二项式展开式的通项，令x 的指数位置等于3即可求解. 令x =1，可得3n =243，解得：n =5，所以(1+2x )5的展开式通项为：T k+1=C 5k 2k x k， 令k =3可得T 4=C 5323x 3=80x 3，所以该二项式展开式中含有x 3项的系数为80. 所以答案是：80.13、某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值） 答案：37200分析：根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答. 计算不同的安排数有两类办法：(1)甲、乙、丙中只选两人，有C 32种选法，再从余下6人中任选4人有C 64选法，将选取的6人安排到周一到周六有A 66种，因此，共有不同安排种数为:C 32C 64A 66，(2)当甲、乙、丙三人都参加时，从余下6人中任选3人有C 63选法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有C 63A 22种，另3天安排所选3人有A 33种，共有不同安排数为：C 63(C 63A 22)A 33，由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为C 32C 64A 66+C 63(C 63A 22)A 33=3×15×720+20×20×2×6=37200． 故答案为:37200.14、随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________． 答案：572分析：根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名，比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意可知满足二项分布，根据二项分布概率公式计算即可.首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为C 52×2A 55=20120=16， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P =16，故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为C 32×(16)2×56=572.所以答案是：572． 解答题15、某药厂主要从事治疗某种呼吸道慢性疾病B 的药物的研发和生产.在研发过程中，为了考察药物A 对治疗慢性呼吸道疾病B 的效果，对200个志愿者进行了药物试验，根据统计结果，得到如下2×2列联表.(2)该药厂研制了一种新药，宣称对治疗疾病B 的有效率为90%，随机选择了5个病人，经过该药治疗后，治愈的人数不超过3人，你是否怀疑该药厂的宣传？并说明理由. 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n =a +b +c +d .答案：(1)列联表答案见解析，没有90%的把握，理由见解析；(2)可以不怀疑，理由见解析.分析：（1）完善2×2列联表，计算K2的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）根据随机事件的定义可得出结论.(1)解：2×2列联表如下：K2=≈2.667<2.706，50×150×100×100所有没有90%的把握认为药物A对治疗慢性呼吸道疾病B有效.(2)解：因为治愈人数不超过3人为一个随机事件，在某一次试验中可能发生.所以，可以不怀疑.。

7.1 条件概率及全概率（精讲）考法一条件概率【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于（ ） A ．23B ．59C ．12D ．13（2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】（1）B （2）C【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5”，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()59P N M =.故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（ ） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个. 则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B .2．（2020·河北沧州市·高二期中）盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（ ） A ．15B ．29C ．79D ．710【答案】C【解析】设第一次抽到的是合格品，设为事件A ，第二次抽到的是合格品，设为事件B ，则()()()()()877899P AB n AB P B A P A n A ⨯====⨯.故选：C3．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯== 所以()()()2127|469P AB P B A P A === 故选：A4．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ．25B ．89C ．811D ．911【答案】C【解析】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C考法二 全概率公式【例2】．（2020·全国高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 【答案】4751474【解析】设A 表示“被诊断为肺结核”，C 表示“患有肺结核”. 由题意得，()0.001,()0.999P C P C ==，()0.95,()0.002P A C P A C ==∣∣. 由贝叶斯公式知，()()475()()()()()1474P C P A C P CA P C P A C P C P A C ==+∣∣∣∣.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A . 【答案】19218【解析】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =， 因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅， 因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.。

7.3 离散型随机变量的数字特征(精练)【题组一 均值方差的性质(小题】1．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量ξ的分布列为则()54E ξ+等于( ) A ．2.2 B ．2.3C ．11D ．132．(2021·安徽·定远县育才学校高二期末(理))已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量31X η=-，则()E η为( ) A ．42． B ．189． C ．53．D ．随m 变化而变化3．(2021·全国·高二课时练习)将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则()E ξ、(21)E ξ+分别等于( ) A ．2516、258B ．2516、338 C ．32、3D ．32、44(2021·全国·高二单元测试)随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =( )A ．3881B ．139C ．152243D ．52275．(2021·全国·高二课时练习)若p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为则()E ξ的最大值为( ) A ．1 B ．32C ．23D ．26．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考)已知一组数据123456,,,,,x x x x x x 的方差是1，那么另一组数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -，621x -的方差是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．(2021·全国·高二课时练习)设随机变量X 的方差()1D X =，则()21D X +的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．(2021·全国·高二课时练习)已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X ，则D (X )＝( ) A ．316B ．54C ．2564D ．19649(2021·全国·高二课时练习)若随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( ) A ．0 B ．1 C ．4 D ．210．(2021·全国·高二课时练习)已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( )A ．6B ．8C ．18D ．2011．(2021·全国·高二课时练习)(多选)下列说法正确的有( ) A ．离散型随机变量X 的期望()E X 反映了X 取值的平均水平 B ．离散型随机变量X 的期望()E X 反映了X 取值的波动水平 C ．离散型随机变量X 的方差()D X 反映了X 取值的平均水平 D ．离散型随机变量X 的方差()D X 反映了X 取值的波动水平12．(2021·全国·高二学业考试)(多选)已知随机变量ξ满足()103P ξ==，()1P x ξ==，()223P x ξ==-，若203x <<，则( ) A ．()E ξ有最大值 B ．()E ξ无最小值 C ．()D ξ有最大值 D ．()D ξ无最小值13．(2021·全国·高二课时练习)(多选)若随机变量X 服从两点分布，且()104P X ==，则( ) A ．()()1P X E X == B ．()413E X += C ．()316D X = D ．()414D X +=14．(2021·江苏江都·高二月考)(多选)设随机变量X 的分布列为，其中0ab ≠，则下列说法正确的是( )A ．1a b +=B ．()E X b =C ．()D X 随b 的增大先增大后减小 D ．()D X 有最小值15．(2021·福建·浦城县第三中学高二期中)(多选)已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项错误的是( ) A ．()72E X =，()132D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X =【题组二 均值方差的应用(解答题】1(2021·全国·高二课时练习)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．2．(2021·全国·高二课时练习)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是国家重要的空间信息基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.如图是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值(单位：万元)的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；(2)在上述40个城市中任选2个，设Y 为产值小于500万元的城市个数，求Y 的分布列､期望和方差.3．(2021·全国·高二课时练习)袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有()1,2,3,4n n =个.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.求ξ的分布列､数学期望､方差和标准差.4．(2021·全国·高二课时练习)某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m ，n 的值；(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差.5．(2021·全国·高二课时练习)某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，随机抽取了100名高三学生的体育成绩进行调研，按成绩(单位：分)分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[]95,100，得到的频率分布直方图如图所示.现要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行复查.(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第4组，求学生甲和学生乙至少有1人进行复查的概率；(2)从抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第3组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求ξ的分布列、数学期望和方差..6．(2021·全国·高二课时练习)已知在某公司年会上，甲、乙等6人分别要进行节目表演，若采用抽签的方式确定每个人的演出顺序(序号：为1，2，，6)，求：(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两人之间的演出节目的个数ξ的分布列、数学期望与方差．【题组三均值方差做决策】1．(2021·江苏·南京市人民中学高二月考)某地已知6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.(1)求甲方案所通检测次数X和乙方案所需检测次数Y的概率分布；(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.2．(2021·全国·高二课时练习)某商店欲购进某种食品(保质期为两天)，且该商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品是刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：(1)根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(视样本频率为概率)(2)以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.3．(2021·全国·高二课时练习)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，35X ≤<为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数1X 的分布列如下表所示，且1X 的数学期望()16E X =，求a ，b 的值.(2)为分析乙厂产品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 7 53 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望.(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由.注：①产品的“性价比” 产品的等级系数的数学期望产品的售价；②“性价比”大的产品更具可购买性.4．(2021·全国·高二课时练习)1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府将8月1日作为中国工农红军成立纪念日．中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，根据答题情况确定参赛学生．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为23，A，B两名学生对每个问题回答的正确与否都是相互独立的．设学生A答对题数为X，学生B答对题数为Y，若让你投票选择参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．5．(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二月考)在某单位的职工食堂中，食堂每天以2元/个的价格从面包店购进面包，然后以4元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x (单位：个，60110x ≤≤)表示面包的需求量，T (单位：元)表示利润．(1)求T 关于x 的函数解析式；(2)根据直方图估计利润T 不少于120元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量[60,70)x ∈，则取65x =，且65x =的概率等于需求量落入[60,70)的频率)，求T 的分布列和数学期望．6．(2021·全国·高二课时练习)某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：盒，n *∈N )的函数解析式；(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．7．(2021·全国·高二课时练习)根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．8．(2021·全国·高二课时练习)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．。