高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 1 函的单调性(精讲)(含答案)

5.3.1.2函数单调性的应用【基础自测】1．函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(0,1] 【答案】D【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，令y ′＝1－1x ＝x －1x ≤0，解得x ∈(0,1]，又x >0，所以x ∈(0,1]．2．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3) 【答案】B【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意知3x 2＋a ≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，所以a ≥－3x 2在x ∈(1，＋∞)上恒成立．所以a ≥－3.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (e)<f (3)<f (2) B ．f (3)<f (e)<f (2) C ．f (e)<f (2)<f (3) D ．f (2)<f (e)<f (3) 【答案】D【解析】f ′(x )＝12x ＋1x所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数 又2<e<3所以f (2)<f (e)<f (3)，故选D.4．函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥13【解析】f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由题意知3ax 2－2x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－2)2－4×3a ×1≤0，解得a ≥13.题型一 利用导数求函数的单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－3x ＋8.(2)f (x )＝x ＋bx(b ≠0)．【解析】(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )>0，则3x 2－3>0. 即3(x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－1.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令f ′(x )<0，则3(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1. 所以函数f (x )的单调递减区间为(－1,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋b x ′＝1－b x2， ①若b >0时，令f ′(x )>0，则x 2>b ，所以x >b 或x <－b . 所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则x 2<b ，所以－b <x <b ，且x ≠0. 所以函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．②若b <0时，f ′(x )>0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 【方法归纳】(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．【跟踪训练1】求下列函数的单调区间： (1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2；(2)y ＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)．【解析】(1)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.令y ′>0，解得－32<x <－1或x >－12.所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 令y ′<0，解得－1<x <－12，所以函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)由于f (x )＝12x 2＋a ln x ，所以f ′(x )＝x ＋ax.①当a >0时，函数的定义域是(0，＋∞)，于是有f ′(x )＝x ＋ax>0，所以函数只有单调递增区间(0，＋∞)．②当a <0时，函数的定义域是(0，＋∞)，由f ′(x )＝x ＋ax >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax<0，得0<x <－a .所以当a <0时，函数的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．综上所述：当a >0时，f (x )只有单调递增区间(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )． 题型二 利用导数求参数的取值范围【例2】若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时， h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．令G (x )＝1x 2－2x ，则由题意可知，只需a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 【变式训练1】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上单调递增”，实数a 的取值范围如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【变式训练2】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，实数a 的取值范围又如何？【解析】因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，所以h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．【变式训练3】本例中的条件“h (x )在[1,4]上单调递减”改为“h (x )在[1,4]上不单调，”则实数a 的取值范围又如何呢？【解析】因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1<m (x )<－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 【方法归纳】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【跟踪训练2】(1)若f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1)m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)【解析】(1)f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2) 令f ′(x )>0，得x >2或x <－1 令f ′(x )<0，得－1<x <2.∴f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减． 若f (x )在[m ，m ＋4]上单调 ∴m ＋4≤－1或m ≥2即m ∈(－∞－5]∪[2，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a >0，若f (x )在(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为________． 【解析】(2)由题意知f ′(x )＝2a －3x 2，且方程f ′(x )＝0的根为有限个，则f (x )在(0,1]上为增函数等价于f ′(x )＝2a －3x 2≥0对x ∈(0,1]恒成立．即a ≥32x 2对x ∈(0,1]恒成立，只需a ≥⎝⎛⎭⎫32x 2max 即可．由x ∈(0,1]得32x 2∈⎝⎛⎦⎤0，32，从而a ≥32.所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 题型三 利用导数解决不等式问题 探究1 比较大小【例3】(1)若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π6的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π6 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π6 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6 D ．不确定 【答案】(1)C【解析】(1)f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12∴f ′(x )＝－sin x ＋1≥0∴f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数又－π3<π6∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π6，故选C. (2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b ＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b【答案】(2)D【解析】(2)设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0. 即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减． 因为f (x )为R 上的偶函数，且2<e<3， 可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D. 探究2 解不等式【例4】(1)已知函数f (x )＝x －sin x ，则不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－1,4)D ．(－4,1)【答案】(1)C【解析】(1)由题意可知，函数f (x )的定义域是R .因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )是定义域上的单调递增函数．因为f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． 因为不等式f (1－x 2)＋f (3x ＋3)>0可转化为f (1－x 2)>－f (3x ＋3)＝f [－(3x ＋3)]， 所以1－x 2>－(3x ＋3)，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4， 即不等式的解集为(－1,4)，故选C.(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为________．【答案】(2)(－∞，－3)∪(0,3) 【解析】(2)令F (x )＝f (x )g (x )∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴F (x )＝f (x )g (x )是定义在R 上的奇函数 又∵当x <0时F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0成立 ∴F (x )在区间(－∞，0)上是增函数， 可得它在区间(0，＋∞)上也是增函数． ∵g (－3)＝0，可得F (－3)＝0,∴F (3)＝0.当x >0时，F (x )＝f (x )g (x )<0，即F (x )<F (3)，∴0<x <3 当x <0时，F (x )＝f (x )g (x )<0故不等式f (x )g (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 【方法归纳】(1)含有“f ′(x )”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数． (2)常见的构造函数思路①已知f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )型；联想构造函数F (x )＝f (x )g (x )． ②已知“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝f (x )g (x ).③已知“f (x )＋f ′(x )”型：联想构造函数F (x )＝e x f (x )． ④已知“f ′(x )ln x ＋f (x )x”型：联想构造函数F (x )＝f (x )ln x ．【跟踪训练3】(1)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)的大小关系为( ) A ．f (a )<e a f (0) B ．f (a )>e a f (0) C ．f (a )＝e a f (0) D ．不能确定 【答案】(1)B【解析】(1)令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )在R 上单调递增．∴当a >0时，则有F (a )>F (0)，即f (a )e a >f (0)e即f (a )>e a f (0)，故选B.(2)设定义域为R 的函数f (x )满足f ′(x )>f (x )，则不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为________． 【答案】(2)(1，＋∞)【解析】(2)设F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x∵f ′(x )>f (x )，∴F ′(x )>0，∴函数F (x )在R 上单调递增．∵e x －1f (x )<f (2x －1)，∴f (x )e x <f (2x －1)e2x －1即F (x )<F (2x －1) ∴x <2x －1，即x >1故不等式e x －1f (x )<f (2x －1)的解集为(1，＋∞)．【易错辨析】对函数单调递增(减)的充要条件理解不透致错【例5】已知函数f (x )＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为________【答案】[89，＋∞)【解析】f ′(x )＝6ax 2＋8x ＋3.∵f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a ≤0，a >0，解得a ≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．∴当a ≥89时，f (x )在R 上单调递增．一、单选题1．已知函数()()331132ln 1222x t x a f t x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．16,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】由()0f x '≥在R 上恒成立，整理成二次项系数为正的二次三项式，则其0∆≤对0t >恒成立，分离参数后，求出关于t 的函数的最小值，即得a 的范围． 【解析】由题意223313()(2)(ln 1)2222f x x t x t a '=-+-+-0≥在x ∈R 上恒成立，其中R t ∈，整理得2225(4ln 1)4(ln 1)04x t t x t t a -+-++--≥对R x ∈恒成立，所以222(4ln 1)5[4(ln 1)]0t t t t a ∆=+--+--≤对0t >恒成立， 222544(ln 1)8(ln 1)4(ln 1)a t t t t t t ≤+---=-+，令()ln 1g t t t =-+，11()1t g t t t-'=-=，01t <<时，()0g t '<，()g t 递减，1t >时，()0g t '>，()g t 递增， 所以min ()(1)2g t g ==，所以24(ln 1)t t -+的最小值是16，516,a ≤ 所以165a ≤． 故选：D ．2．已知数列{}{}{}{}n n n n a b c d 满足：11,!,,nnn n n n a n b n c n d n====.则对于任意正整数n >100，有（ ） A ．22n n n n a a b b -<- B ．22n n n n b b c c -<- C ．22n n n n c c d d -<- D ．22n n n n a a d d -<-【答案】C 【分析】根据题意，可知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><，即可排除B 、D,对于A 选项，对2n n b b -进行放缩，即可判断正误，对于C 选项，由22n n n n c c d d -<-得，11221(2)()122nn n n n ⎡⎤<-⎢⎥⎣⎦，转化为121()122n n n >+，再证12112ne n>+，即可判断正确.【解析】解：易知2220,0,0n n n n n n a a b b d d >---><， 下证ln xx的单调性: （令ln ()xf x x=，则()21ln 'x f x x -=，当100n >时，'()0f x <，ln n n 单调递减） 当100n >时，ln xx单调递减，则ln x x e 单调递减，则1x x 也单调递减，故20n n c c -<， 于是B 、D 不成立.对于A,()[]222!(12)(1)2)(2)n n n n n n n b n n b n b n ==⨯⨯⨯+-⨯⨯<⨯<()22221242n n n n nn nn n n n n n n a a ⎛⎫=⋅<-=-= ⎪-⎝⎭，故A 错. 对于C ，要证：1111222221(2)(2)()122n n n n n nn n n d d c c n n n n⎡⎤-=<-=-=-⎢⎥⎣⎦， 由12(2)1nn >，只需证 121()122n n n>+.由1002n e >>知，只需证11221()122n n n e n>>+得证.下证12112nen>+，令 ()1,'()1,x x g x e x g x e =--=- 当0x <时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当 0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g ≥=，即1xe x ≥+恒成立，当1x =取等号.又112n ≠，故12112n e n>+. 故选：C.3．已知()cos 2sin f x x x =+，则下列函数中在R 上单调增的是( ) A ．()y f x x =+ B ．2()y f x x =+C ．3()y f x x =+D ．4()y f x x =+【答案】C 【分析】对于选项ABD ：对函数求导，求出sin 2cos x x -+的范围，判断导函数是否有变号零点即可求解；对于选项C ：对函数求导，通过分类讨论自变量的取值范围，来确定导函数的符号，进而即可出答案. 【解析】对于选项A ：因为()cos 2sin y f x x x x x =+=++，所以'sin 2cos 1)1[1]y x x x ϕ=-++=++∈，因为10<10，从而'sin 2cos 1y x x =-++在R 上有变号零点， 从而()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故A 错误；对于选项B ：由题意可知，''2')sin 2(o 2)s (c y f x x x x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，2(,)x ∈-∞+∞， 所以'sin 2cos 2x y x x =-++必有变号零点，从而2()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故B 错误； 对于选项C ：由题意，''3'2()()sin 2cos 3y f x x x x x =+=-++，由sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，故对自变量x 分类讨论：①当[0,]4x π∈时，cos sin 0x x ≥≥，故'2sin 2cos 30y x x x =-++>；②当(,]42x ππ∈时，2233()14x π>⨯>，即23sin 0x x ->，从而'2sin 2cos 30y x x x =-++>；③当(,)2x π∈+∞时，2233()2x π>⨯>'2sin 2cos 30y x x x =-++>；④当[,0)2x π∈-时，sin 0x ->，cos 0x ≥，230x >，所以'2sin 2cos 30y x x x =-++>，⑤当(,)2x π∈-∞-时，因为2233()2x π>⨯->'2sin 2cos 30y x x x =-++>，综上所述，对于x R ∀∈，'2sin 2cos 30y x x x =-++>， 从而3()y f x x =+在R 上单调增；故C 正确；对于选项D ：由题意，'4'3')(sin 2c )o 4(s y x x x f x x =-++=+，因为sin 2cos )[x x x ϕ-+=+∈，34(,)x ∈-∞+∞， 所以3sin 2cos 4y x x x =-++'在R 上有变号零点， 从而4()y f x x =+在R 上不是单调递增的，故D 错误. 故选：C.4．已知函数()41sin 122x x f x e e x π+-=-++实数a ，b 满足不等式()()312f a b f a ++-<，则下列不等式成立的是（ ） A ．43a b +>- B ．43a b +<- C ．21a b +>- D ．21a b +<-【答案】B 【分析】 设41()e e sin 22x x g x x π+-=-+,则()()1f x g x =+,研究()g x 的对称性和单调性即可.【解析】 设41()ee sin 22x x g x x π+-=-+，则()()1f x g x =+.(3)(1)2f a b f a ++-<即(3)(1)0g a b g a ++-<. 因为4411(4)e e sin 2e e sin ()2222x x x x g x x x g x πππ-+-+⎛⎫--=-+--=--=- ⎪⎝⎭.即函数()g x 关于(2,0)-对称.442111()e e cos 2e e cos 2e cos 0424242x x x g x x x x ππππππ+-+'=++⋅=+>所以()g x 是增函数, 因为(3)(1)0g a b g a ++-<. 所以(3)(1)(3)g a b g a g a +<--=--. 则33a b a +<--,得43a b +<-故选：B 【点睛】关键点点睛:根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键. 5．已知数列{}n a 满足21e1n a n a -+=+（*n ∈N ，e 为自然对数的底数），且对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立，则数列{}n a 的首项1a 须满足（ ） A ．11a ≤ B ．112a ≤≤ C ．12a ≤ D ．12a ≥【答案】C 【分析】先判断数列{}n a 的单调性，再根据选项作取舍. 【解析】设()1x f x e x =--，令()10xf x e '=-=，得到0x =.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.故()(0)0f x f ≥=，即1x e x ≥+（当且仅当时0x =取等号）. 故21e1211n a n n a a -+=+≥-++（当且仅当时2n a =取等号）.即1n n a a +≥.要使对任意的0M >都存在*n ∈N ，使得2n a M -<成立， 显然12a =时，2n a =，一定能满足题意； 当12a >时，2n a >，如图此时不满足题意； 当12a <时，2n a <，如图此时满足题意； 综上，12a ≤. 故选：C6．已知212()2,,[1,)f x x ax x x ∀∞=+-∈+，若12x x <，恒有()()()211212x f x x f x a x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．(,4]-∞C ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[1,5]【答案】A 【分析】由已知得()()1212+<+f x a a f x x x ，令()22+-+=x a xx x ag ，可得()g x 是单调递增函数，根据双勾函数的性质可求实数a 的取值范围. 【解析】由()()()211212x f x x f x a x x -<-，得()()1212+<+f x a a f x x x ， 令()()222a g x x f x a x ax x a x xa ++--=++==+， 则12,[1,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 恒有()()1212+<+f x a a f x x x ，所以()g x 是单调递增函数， 当2a ≤时，()g x 在[1,)+∞为增函数，故符合； 当2a >1，故23a <≤ 综上，3a ≤， 故选：A.7．关于函数()cos xf x ae x =-，(),x ππ∈-，下列说法错误的是（ ）A ．当1a =-时，函数()f x 在(),ππ-上单调递减B ．当1a =时，函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点C ．若函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则0a =D ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立 【答案】D 【分析】分别在0x π-<≤和0πx <<得到()0f x '<，由此可知A 正确；在平面直角坐标系中作出x y e =与cos y x =图象，由图象可确定B 正确； 将问题转化为sin x x a e =-在(),ππ-上恰有一个解，令()sin xxg x e =-，利用导数可确定()g x 单调性并得到其图象，数形结合可确定0a =，C 正确； 令1a =，由B 中结论可确定D 错误. 【解析】对于A ，()cos x f x e x =--，则()sin xf x x e '=-，当0x π-<≤时，sin 0x ≤，0x e >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减； 当0πx <<时，sin 1x ≤，e 1x >，()0f x '∴<，()f x ∴单调递减； 综上所述：()f x 在(),ππ-上单调递减，A 正确；对于B ，()cos xf x e x =-，令()0f x =，得：cos x e x =；在平面直角坐标系中，作出x y e =与cos y x =的图象如下图所示，由图象可知：当x ππ-<<时，x y e =与cos y x =有且仅有两个不同交点，∴函数()f x 在(),ππ-上恰有两个零点，B 正确；对于C ，由()cos x f x ae x =-得：()sin xf x ae x '=+，若()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，则()f x '在(),ππ-上恰有一个变号零点， 即sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解， 令()()sin x xg x x eππ=--<<，则()cos sin 4xxx x x g x e e π⎛⎫- ⎪-+⎝⎭'==； 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>；当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<；()g x ∴在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0g π-=，()00g =，()0g π=，可得()g x 大致图象如下，若sin xxa e =-在(),ππ-上恰有一个解，则0a =， 此时函数()f x 在(),ππ-上恰有一个极值，C 正确； 对于D ，当1a =时，由B 选项可知，()0,0x π∃∈-，使得00cos x ex =，当()0,0x x ∈时，cos x ex <，即()cos 0xf x e x =-<，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数判断函数单调性、零点个数和极值的问题；根据极值点个数求解参数值的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为方程解的个数或两函数交点个数问题，通过数形结合的方式来解决. 8．已知函数2()1x a f x x -=+，设12,x x 为方程1()2f x x =的两个非零实数根，若函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则12x x -的取值范围是（ ） A． B ．5[2,]2C．[1,D ．5[1,]2【答案】B 【分析】根据函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，则222(21)()0(1)x ax f x x ---=≥+'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立求得a 的范围，然后12,x x 为方程1()2f x x=的两个非零实数根求解.【解析】因为函数()f x 在区间11[,]22-上是增函数，所以()()()()()()'22'22222()1(1)2111x a x x a x x ax f x x x -+--+---==≥++'成立，即2()210g x x ax =--≤在11[,]22x ∈-上恒成立，∵g （0）=-1<0，结合二次函数y =g （x ）的图象， 只需11()102411()1024g a g a ⎧=--≤⎪⎪⎨⎪-=+-≤⎪⎩，解得：3344a -≤≤，方程22121012x a x ax x x-=⇔--=+有两个非零实根， 则2(2)40a ∆=-+>，且12122,1x x a x x +==-，125[2,]2x x ∴-====，故选：B二、多选题9．（多选）已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．()f x 在e x =处取得极大值 B ．()f x 有两个不同的零点 C ．()f x 的极小值点为e x = D．()2ff f <<【答案】AD 【分析】()f x 的定义域为()0,∞+，求()f x '判断单调性，求得极值可判断A ，C ；根据单调性以及()10f =可判断B 、D ，进而可得正确选项. 【解析】由题意可得函数的定义域为()0,∞+，由()ln x f x x=可得()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ， 令()0f x '=，解得：e x =当0e x <<时，()0f x '>，则()f x 在()0,e 上单调递增； 当e x >时，()0f x '<，则()f x 在()e,+∞上单调递堿． 所以当e x =时，函数()f x 取得极大值为()1e ef =，无极小值，故选项A 正确，选项C 不正确； 因为()ln1101f ==，且()f x 在()0,e 上单调递增， 所以函数()f x 在()0,e 上有一个零点．当e x ≥时，ln 0x >，0x >，所以()0f x >，此时无零点． 综上所述：()f x 有一个零点，故B 不正确；e <<<，()f x 在()0,e上单调递增，所以()2f f f <<，故选项D 正确． 故选：AD ．10．函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）A ．若直线y kx =与曲线()g x 相切，则12k e=B ．当211x x e>>时，有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+C ．函数()g x 有两个零点D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥ 【答案】BD 【分析】对于A ，通过求曲线()g x 过原点的切线方程，可以直接求出k .对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()12f x f x <.再通过求导，判断()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调性即可证得.对于C ，令()0g x =，方程的解的个数即为函数()g x 零点个数. 对于D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2mh x x x x =-，用导数研究单调性. 【解析】对于A ，由题意得()1ln xg x x+=，设过原点的直线与曲线()g x 的切点为()00,x y ，则0001ln x y x +=，又()2ln x g x x -'=所以切线斜率为020ln x k x -=，又因为切线过原点，所以切线斜率还可以表示为002001ln y x k x x +==，所以0022001ln ln x x x x +-=，解得01ln 2x =-，120x e -=，所以2e k =，故A 错误.对于B ，首先当211x x e>>时，将不等式()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+变形为()()()()121122x x f x x x f x ->-，再由211x x e>>可得120x x -<，进一步化简不等式可得()()12f x f x <.所以将问题转化为，当211x x e >>时，()()12f x f x <.又()1ln f x x '=+，令()0f x '>解得1x e >，所以()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以211x x e>>时，()()12f x f x <成立，故B 正确.对于C ，由题意得()1ln xg x x+=，令()0g x =，则1ln 0x +=，解得1x e -=，只有一个解，所以函数()g x 只有1个零点，故C 错误.对于D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m h x x x x =-，()()12h x h x >，对任意的120x x >>恒成立，故()h x 在()0,∞+单调递增，则()ln 10h x mx x '=--≥，()0,x ∈+∞恒成立，也即ln 1x m x+≤在区间()0,∞+恒成立，即()max 1g x m =≤，故D 正确. 故选：BD.11．若实数a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．若1a >，则log 2a ab > B ．224555baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若()5,,1,33m a b >∈，则()()3322103a b m a b a b ---+->【答案】ACD 【分析】根据对数函数的单调性得到A 正确，取0a =得到B 错误，构造()3g x x x =+得到函数单调递增得到C 正确，构造函数()3213f x x mx x =-+得到函数单调递减得到D 正确，得到答案.【解析】log log log 1log 2a a a a ab a b b =+=+>，A 正确；取0a =，则24551a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，B 错误；要使2211b a a b >++，即33b b a a +>+，()3g x x x =+，则()2310g x x '=+>，函数单调递增，故()()g b g a >，即33b b a a +>+，故C 正确；设()3213f x x mx x =-+，则()221f x x mx =-+'，二次函数对称轴为x m =，()1220f m '=-<，()31060f m '=-<，故()2210f x x mx '=-+<在()1,3上恒成立.故函数()f x 单调递减，故()()f a f b >，即()()3322103a b m a b a b ---+->，D 正确. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________. 【答案】[)0,1 【分析】画出()f x 的图象，根据图象特点，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点. 【解析】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，0f x ，()1x e f x x-=单调递增，当01x <<时，0fx，()1x e f x x-=单调递减，在1x =时，()f x 取得最小值，()11f =画出()f x 的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，结合()f x的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤< t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．已知函数321,0()5691,0xx f x x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩，给出下列四个结论: ①函数()f x 在区间(1,1)-上单调递减； ②1和3是函数()f x 的极值点；③当[,3]x a ∈时，函数()f x 的值域是[1,5]，则11a -≤≤；④函数2()[()](1)()g x f x a f x a =-++的零点至少有2个，至多有6个． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】作出函数()f x 的大致图象，根据图象即可判断出①②③，对于④，[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-的零点，等价于方程()1f x =和方程()f x a =的根的个数，对a 分类讨论，利用数形结合法即可判断出正误. 【解析】解：当0x >时，32()691f x x x x =-++，则2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，令()0,f x '=，得1x =或3，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,3)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增，作出函数()f x 的大致图象，如下图所示：对于①，由图象得，()f x 在(1,1)-上先减后增，故①错误；对于②，由图象得，1x =是函数()f x 的极大值点，3x =是函数()f x 的极小值点，故②正确；对于③，当0x ≤时，令155x⎛⎫⎪⎭=⎝得1x =-，所以若当[],3x a ∈时，函数()f x 的值域为[]1,5，则11,a -≤≤故③正确；对于④，由[][][]2()()(1)()()1()g x f x a f x a f x f x a =-++=-⋅-，得函数g (x )的零点，等价于方程f (x ) = 1和方程f (x ) = a 的根的个数，即等价于y = 1和y = a ，与函数y = f (x )的图象的交点个数， 由图象得y = 1与函数f (x )的图象有2个交点，当a < 1时，y = a 与函数f (x )的图象没有交点，所以函数g (x )的零点有2个； 当a = 1时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有2个； 当1<a < 5时，y = a 与函数f (x )的图象有4个交点，所以函数g (x )的零点有6个； 当a = 5时，y = a 与函数f (x )的图象有3个交点，所以函数g (x )的零点有5个； 当a > 5时，y = a 与函数f (x )的图象有2个交点，所以函数g (x )的零点有4个； 所以函数g (x )=[f (x )]2-(a + 1)f (x ) + a 的零点至少有2个，至多有6个，故④正确. 故答案为：②③④.14．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3 上有两解，则实数a 的取值范围是___________【答案】(]0,5 【分析】令()13log f x x a +=，将x a =可得134log a a +=，解得3a =，即可得13()3log f x x-=-，设()32694g x x x x a =-+-+，利用导数判断单调性作出32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象，结合图象可得0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩即可求解. 【解析】因为定义在()0,∞+的单调函数()f x 满足()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦， 所以必存在唯一的正实数a ，满足()13log f x x a +=，()4f a = ①， 令x a =，可得()13log f a a a += ②，由①②得：13log 4a a =-即413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为y a =单调递增，413a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以方程413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭有唯一解， 所以413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：3a =．故13()3log f x x=-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解， 即3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()()()23129313g x x x x x '=-+=--，当13x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以()g x 在1x =处取得最大值a ，()04g a =-，()34g a =-， 分别作出13|log |y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，若32694y x x x =-+-的图象以及13|log |y x =的图象有2个交点，则0(3)41a g a >⎧⎨=-≤⎩，解得05a <≤，所以当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解． 故答案为：(]0,5．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题15．已知函数1()xx f x ax e +=-． （1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，求实数a ，b 的值；（2）若函数()f x 在区间(0,2)上存在．．单调增区间，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在区间(0,2)上存在极大值，求实数a 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）1,1a b ==-（2）1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 【分析】（1）求导1(1)()x x x x f x a a e e'-+=-=+，再根据曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+求解； （2）根据函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间，又()0x x f x a e='+>在(0,2)上有解求解；（3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e （1） 解：因为1(1)()x x x xf x a a e e '-+=-=+， 所以(0)f a '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+，所以切线斜率为1，即1a =，(0)1f b =-=，所以1,1a b ==-．（2）因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间， 所以()0xx f x a e ='+>在(0,2)上有解， 即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可． 令1()(),()x xx x h x f x a h x e e -==+=''， 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '>为增函数，当(1,2)x ∈时，()0,()h x h x '<为减函数，所以，当1x =时，()h x 取最大值1a e+， 故只需10a e+>，即1a e >-． 所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （3）212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 16．已知函数()2lnf x x ax =-在2x =处的切线与直线230x y +-=平行.（1）求a ；（2）设()()212g x f x x bx =+-，若函数()g x 存在单调递减区间，求b 的取值范围. 【答案】（1）3（2）(3)-++∞【分析】(1)结合已知条件，求出直线230x y +-=的斜率，然后利用导数的几何意义和两直线平行时斜率相等即可求解；(2)结合(1)中结论求出()g x 解析式，由已知条件可知'()0g x <在(0,)+∞上有解，然后结合均值不等式即可求解.（1） 由题意，'2()f x a x=-，直线230x y +-=的斜率为2-， 因为函数()f x 在2x =处的切线与直线230x y +-=平行，所以'(2)12f a =-=-，解得3a =.（2）由(1)中结论可知，()2ln 3f x x x =-，从而()21(3)2ln 2g x x b x x =-++， 故'2()(3)g x x b x=+-+， 因为函数()g x 存在单调递减区间， 所以'2()(3)0g x x b x =+-+<在(0,)+∞上有解，即23b x x+>+在(0,)+∞上有解，当0x >时，由均值不等式可知，2x x +≥当且仅当2xx=时，即x 2x x +取得最小值从而3b +>3b >-+故b 的取值范围为(3)-++∞.17．已知函数()()e 1x f x ax a R =--∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()ln e 1ln x g x x =--，且[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）(],1-∞.【分析】（1）利用导数，通过分0a ≤和0a >两种情况，即可求出函数的单调区间；（2）首先利用（1）的结论及导数证明0()g x x ；然后分0a ≤和0a >两种情况，将不等式大小之间的关系转化为自变量的比较，从而可得出答案.（1）因为()()e 1x f x ax a R =--∈，所以()x f x e a '=-，①若0a ≤，()0x f x e a '=->，所以()f x 在R 上单调递增；②若0a >，由()0f x '>，得ln x a >，所以函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，由()0f x '<，得ln x a <，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）下面证明：0x ∀>，有0()g x x ，先证：0x ∀>，有()0>g x ，由（1）可知当1a =时，min ()(0)0f x f ==，即当0x >时，1x e x ->，故0x ∀>，()1()ln 1ln ln ln10x xe g x e x x ⎛⎫-=--=>= ⎪⎝⎭， 再证0x ∀>，()g x x <；要证0x ∀>，()g x x <，只需证明0x ∀>，1x x e e x-<， 即证0x ∀>，即证1x x e xe -<，即证0x ∀>，10x x xe e -+>.令()1(0)x x H x xe e x =-+>，因为()0x H x xe '=>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()H x 在(0,)+∞上单调递增，故有()()00H x H >= ，即0x ∀>，10x x xe e -+>恒成立，即0x ∀>，有0()g x x ，①当1a ≤时，由（1）得，()f x 在(0,)+∞单调递增，则由上结论可知，[()]()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立，符合题意；②当1a >时，由（1）得，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，此时当0ln x a <<时，0()ln [()]()g x x a f g x f x <<<⇔>，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(],1-∞.。

5.3.1函数的单调性（精练）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023春·河北沧州·高二校考阶段练习）函数()25ln 4f x x x =--的单调递减区间是（）A ．()0,3B ．()3,+∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·山西大同）设()a f x x a x =-+在()1,+∞上为增函数，则实数a 取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[)1,+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞3．（2023秋·江西吉安）已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()311f x f x -<-的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2023春·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数()ln f x x a x =+在区间()1,2内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-5．（2023·全国·高三专题练习）已知5ln 9a =，6ln8b =，7ln 7c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>6．（2023秋·陕西）已知函数()f x 的定义域是()5,5-，其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x ----->-的解集是（）A ．()2,+∞B ．()2,6C ．()4,6-D ．()2,47．（2023·云南）函数()()e e -=-x x f x x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2023秋·陕西榆林）若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（）A ．21e B ．1e C ．1D ．e二．多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）10．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为()e,+∞C ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-D ．()f x 的单调递增区间为()e,+∞11．（2023秋·云南昆明）已知函数()e e sin x x f x x -=-+，若()()130f t f t +-<，则实数t 的值不可能是（）A ．12B ．1C ．2D ．012．（2022秋·江苏连云港）定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立；则下列正确的是（）．A ππ43⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()π12sin16f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ππ64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．（2023秋·河北）下列大小关系正确的是（）A ．2ln2ln2<B ． 2.222 2.2<C ．2 3.33.32>D ．4 3.33.34<三．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2022秋·西藏拉萨）若函数()()ln 1f x ax x =-+在()1,x ∈+∞是严格增函数，则实数a 的最小值是．14．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，且有()33f =，则()33ex f x ->的解集为.15．（2023·北京）已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是．16．（2023春·福建泉州·高二校考期中）已知函数21()ln 22f x x x x =+-满足2(2)(412)f a a f a -≤+，则实数a 的取值范围是.四．解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023春·河北沧州·高二校考阶段练习）已知函数()2ln f x x x =-，()0x >.点()()1,1P f 是函数()f x 图象上一点.(1)求函数()f x 图像在点P 处的切线方程；(2)求函数()y f x =的单调递减区间.18．（2023·湖北）已知函数()2ln 3f x x x =+.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 过点1(,0)2-的切线方程.19．（2023秋·贵州遵义）已知函数()323f x x x ax =+-.(1)若7a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；(2)若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围.20．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数()()1ln f x x a x =-，a R ∈.(1)当0a ≥时，讨论()f x 的单调性；(2)若10,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦时，都有()1f x <，求实数a 的取值范围.21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23e 22x a f x x x ax a R =-+-∈,(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程;(2)讨论函数()f x 的单调性.22（2023秋·安徽亳州）已知函数()()()2e x f x x a x =--.(1)当4a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性.。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精练)【题组一 极值(点)】1．(2021·全国高二课时练习)下列函数中存在极值的是( ) A ．1y x= B ．e x y x =- C ．2y = D ．3y x =【答案】B【解析对于A ：1y x=在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，不存在极值；故选项A 不正确；对于B ：由e x y x =-可得1e x y '=-，由1e 0x y '=->可得0x <；由1e 0x y '=-<可得0x >；所以e x y x =-在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以在0x =处取得极大值，故选项B 正确；对于C ：2y =是常函数，不具有单调性，所以不存在极值，故选项C 不正确； 对于D ：3y x =在R 上单调递增，不存在极值，故选项D 不正确； 故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．1－e C ．－1 D ．0【答案】C【解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0， 故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.故选：C2．(2021·全国高二单元测试)已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在区间(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在区间(,)a b 上的极大值点的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】极大值点在导函数()f x '的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.故选:B.3．(2021·全国高二课时练习)设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ； 当()2,0x ∈-时，()0f x '>，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>， 所以函数()y xf x '=的图象可能是C ． 故选：C4．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+的极大值为________，极小值为________.【答案】2333- 【解析】f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3. 5(2021·全国高二课时练习)求下列函数的极值：(1)()e xf x x -=；(2)()2221xg x x =-+． 【答案】(1)极大值1e，无极小值；(2)极小值为3-；极大值为1-．【解析(1)由()e x f x x -=求导得()()1e xf x x -'=-，令()0f x '=，得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：观察表格可得：函数()f x 在1x =处取得极大值()11e f =，无极小值，所以函数()f x 极大值为1e，无极小值；(2)由()2221xg x x =-+求导得()()()()()()22222221421111x x x x g x xx+-+-'==++，令()0g x '=，解得11x =-，21x =，当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：观察表格可得：当1x =-时，()g x 取得极小值()13g -=-，当1x =时，()g x 取得极大值()11g =-， 所以()g x 极小值为3-，极大值1-. 【题组二 已知极值(点)求参数】1．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3【答案】A【解析】()'232f x ax bx c =++.依题意'2111320f a b c a a a ⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，32023b acac b a++=⇒+=-.故选：A 2(2021·全国高二单元测试)函数321()213f x x ax x =+-+在()1,3x ∈内存在极值点，则( )A ．7162a -≤≤B ．7162a -<<C ．12a ≤-或12a ≥D ．12a <或12a > 【解析】()'222f x x ax =+-，2480a ∆=+>，令()'2220f x x ax =+-=，由于()1,3x ∈，所以2222x a x x x-==-，2=-y x x 在()1,3上递减，当1x =时，1y =；当3x =时，73y =-. 由于函数321()213f x x ax x =+-+在()1,3x ∈内存在极值点，所以77121362a a -<<⇒-<<.故选：B3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))若0a >，0b >，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处取得极值，则ab 的最大值为( ) A ．9 B ．6 C ．3 D ．2【答案】A【解析】∵ 函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处取得极值，∴ ()01f '= 又()21222f x x ax b '=--∴ 12220a b --= ∴ 6a b +=又0a >，0b >，由基本不等式可得a b +≥ ∴ 9ab ≤(当且仅当3a b ==时等号成立)， ∴ ab 的最大值为9 故选：A.4．(2021·全国高二课时练习)已知函数2()()e ()x f x x mx m m R =--∈在0x =处取得极小值，则m =________，()f x 的极大值是_______.【答案】0 24e -【解析】解：由题意知，2'()[(2)2]e x f x x m x m =+--，'(0)20f m =-=解得0m =，2()e x f x x ∴=，2'()(2)e x f x x x =+，令'()0f x >，解得2x <-或0x >，令'()0f x <，解得20x -<<，则函数()f x 在区间(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减，所以函数()f x 的极大值为2(2)4e f --=.故答案为：0；24e -．5．(2021·全国高二课时练习)若f (x )＝e x －kx 的极小值为0，则k ＝________． 【答案】e【解析】因为f (x )＝e x －kx 的定义域为R ，所以f ′(x )＝e x －k ，当k ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增， 所以f (x )无极值．当k >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝ln k ； 令f ′(x )>0，得x >ln k ，此时函数单调递增； 令f ′(x )<0，得x <ln k ，此时函数单调递减， 所以f (x )的极小值为：f (ln k )＝e ln k－k ln k ＝k (1－ln k )＝0，所以1－ln k ＝0，即k ＝e . 故答案为：e6．(2021·全国高二专题练习)若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则a 的取值范围为________．【答案】()0,1【解析】由()331f x x ax =-+可得()233f x x a '=-，当0a ≤时，()2330f x x a '=->恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增，无极值；当0a >时，令()2330f x x a '=->可得x >x <令()2330f x x a '=-<可得：x <所以0a >时，()331f x x ax =-+在x =若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则01<<，解得01a <<， 综上所述：a 的取值范围为()0,1 故答案为：()0,1.7．(2021·全国)若函数()2ln 21y x ax a x =+-+，0a >在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】1(,)2+∞【解析】由题意，函数()2ln 21,0y x ax a x a =+-+>的定义域与(0,)+∞，且()()()2121221112221a x x ax a x a y ax a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭=+-+='=，0x >， 当112a>时，即102a <<时，令0y '>，可得()10,1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；令0y '<，可得11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以函数在()10,1,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，此时函数()2ln 21x ax y a x +-+=在1x =取得极大值，不满足题意；当112a =时，即12a =时，可得()210x y x-'=≥恒成立，可得函数y 在(0,)+∞上单调递增，函数不存在极值，不满足题意； 当1012a <<时，即12a >时， 令0y '>，可得()10,1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令0y '<，可得1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以函数在()10,,1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，此时函数()2ln 21x ax y a x +-+=在1x =处取得极小值，满足题意，综上可得，实数a 的取值范围是1(,)2+∞．故答案为：1(,)2+∞．8．(2021·全国)已知函数()1ln x f x x +=在区间()2,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()2ln xf x x -'=，令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点．又函数()f x 在区间()2,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，所以213a a <<+，解得113a <<，即实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭.9．(2021·全国)若函数()()3213532a f x x x a x =-+-++在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为______．【答案】[]2,6-【解析】由题意，知()0f x '≥或()0f x '≤在定义域内恒成立．又()()23f x x ax a '=-+-+，所以()2430a a ∆=-+≤，解得26a -≤≤．故答案为：[]2,6-.10(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 【答案】0【解析】因为x >0，f ′(x )＝a －11ax x x-=， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点. 故答案为： 011．(2021·全国高二课时练习)已知a 为实数，函数3()3f x x x a =-++. (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？【答案】(1)极小值为a －2，极大值为a ＋2；图象见解析；(2)a ＝±2. 【解析】(1)由3()3f x x x a =-++，得2()33f x x '=-+， 令()0f x '=，得x ＝－1或x ＝1.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,1x ∈-)时，()0f x '>； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<.所以()f x 在(),1-∞-、()1,+∞上为减函数，在()1,1-上为增函数， 所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2，极大值为f (1)＝a ＋2. 由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象(如图所示)，(2)结合(1)图象可得：当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根.12．(2021·全国高二课时练习)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. 【答案】a＝2，b＝9.【解析】因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以()10(1)0ff⎧-=⎨-='⎩即2360130a ba b a-+=⎧⎨-+-+=⎩，解之得13ab=⎧⎨=⎩或29ab=⎧⎨=⎩，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，符合题意. 因此a＝2，b＝9.13．(2021·全国高二课时练习)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e x(x∈R)，当实数a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值.【答案】答案不唯一，见解析.【解析】()'f x＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x.令()'f x ＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，由a ≠23，知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论：①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3ae －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )ea －2.②若a <2，则－2a >a －2.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3ae －2a .14．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.【答案】(1)a ＝12，b ＝0，c ＝－32；(2)x ＝－1是极大值点，x ＝1是极小值点，理由见解析，极大值1，极小值－1.【解析】(1)()'f x ＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程()'f x ＝3ax 2＋2bx ＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得20313b ac a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴()'f x ＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，()'f x >0，当－1<x <1时，()'f x <0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数， 【题组三 最值】1．(2021·全国高二课时练习)函数()1f x x=，(]0,5x ∈的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．174D．12【答案】B【解析】由()3222110x x x f x -==='，得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(]1,5x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴当1x =时，()f x 取得最小值，且最小值为()13f =． 故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)函数()()()212f x x x =--在[]0,3上的最小值为( )A ．8-B ．4-C ．0D ．427【答案】B【解析】由()()()212f x x x =--，得()()()()()()22212234f x x x x x x '=-+-⋅-=--．()0f x '>，得2x >或43x <． 所以()f x 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭和(]2,3上单调递增，在4,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．又()04f =-，()20f =，所以()()()212f x x x =--在[]0,3上的最小值为4-．故选：B ．3．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+在[]4,4-上的最大值为________，最小值为________. 【答案】233583【解析】f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583. 4．(2021·全国)求下列函数的最值： (1)32()362f x x x x =-+-，[]1,1x ∈-； (2)()241xf x x =+，2,2x ；(3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 【答案】(1)最小值为12-，最大值为2；(2)最大值为2，最小值为2-； (3)最大值为1ln2-，最小值为0.【解析】(1)由题意，知()()()222366322313f x x x x x x '=-+=-+=-+，[]1,1x ∈-．∵fx 在[]1,1-上恒大于0，即()f x 在[]1,1-上单调递增，∴当1x =-时，()f x 取最小值为12-；当1x =时，()f x 取最大值为2． ∴()f x 的最小值为12-，最大值为2． (2)()()()()22222241244411x x xx f x xx+-⋅-+'==++，2,2x令0f x，得1x =或1-，又()12f =，()12f -=-，()825f =，()825f -=-，∴()f x 的最大值为2，最小值为2-． (3)∵()11ln 1ln x f x x x x x -=+=-+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()22111x f x x x x -'=-=，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令0f x ，得1x =．在1,22⎡⎤⎢⎥上，当x 变化时，f x 与()f x 的变化情况如下表： x()x∴在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，当1x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，且()10f =．又111ln 1ln 222f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()12ln 22f =-+，()()31311e 22ln 234ln 2ln 0222216f f ⎛⎫-=-=-=> ⎪⎝⎭∴()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值为()10f = 5．(2021·全国)求下列函数的最值：(1)()3232,[1,1]f x x x x =--∈-；(2)()241xf x x =+，[]2,2x ∈-； (3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． 【答案】(1)最小值为6-，最大值为2； (2)最大值为2，最小值为2-； (3)最大值为1ln2-，最小值为0.【解析】(1)由题意，函数()3232,[1,1]f x x x x =--∈-可得()()23632f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,1]x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()02f =-， 又由()16f -=-，()14f =-，所以函数的最小值为()16f -=-，所以()f x 的最小值为6-，最大值为2-．(2)由题意，函数()241xf x x =+，可得()()()()[]222222412444,2,211x x x x f x x x x +-⋅-+'==∈-++， 令()0f x '=，解得1x =或1-，又由()12f =，()12f -=-，()825f =，()825f -=-，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-． (3)由函数()11ln 1ln x f x x x x x -=+=-+，可得()22111x f x x x x-'=-=， 令()0f x '=，解得1x =，在1,22⎡⎤⎢⎥上，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： 所以在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，当1x =时()f x 取得极小值，也是最小值，且()10f =，又因为111ln 1ln 222f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()12ln 22f =-+，所以()()3131122ln 234ln 2ln 0222216e f f ⎛⎫-=-=-=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1ln2-，最小值为0．【题组四 已知最值求参数】1．(2021·全国)若函数()32231,0e ,0ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[]22-,上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],0-∞D ．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】当20x -≤≤时，()32231f x x x =++，则()()26661f x x x x x '=+=+．当21x -≤<-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =在1x =-处取得极大值，亦即最大值，即()()max 12f x f =-=．当0a >时，函数()ax f x e =在(]0,2上单调递增，由题意可知，()222af e =≤，得2ln 2a ≤，解得1ln 22a ≤，此时，10ln 22a <≤；当0a =时，且当02x <≤时，()12f x =≤合乎题意；当0a <时，函数()axf x e =在(]0,2上单调递减，此时，()()2012f f <=<，合乎题意．综上所述，实数a 的取值范围是1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D2．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________. 【答案】4-【解析】f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0. 即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，经检验符合题意，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，()()001;010f x x f x x ''>⇒<<<⇒-<<由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增 ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 故答案为：4-3(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，若函数f (x )在[1，e ]上的最小值是32，求a 的值．【答案】a 【解析】函数的定义域为[1，e ]，()221a x a f x x x x'-=-=， 令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1，e ]上是增函数，f (x )min ＝f (1)＝ln1＋a ＝32，∴a ＝32∉(－∞，1]，故舍去．②当1e a <<时，令f ′(x )＝0得x ＝a ，函数f (x )在[1，a ]上是减函数，在[a ，e ]上是增函数，∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋aa ＝32.∴a (1，e )，故符合题意．③当a ≥e 时，f ′(x )≤0，函数f (x )在[1，e ]上是减函数，f (x )min ＝f (e )＝ln e ＋e a＝32，∴a ＝1e 2∉[e ，＋∞)，故舍去，综上所述a 4(2021·全国高二课时练习)设函数()()212ln f x x k x =++. (1)若2k =-，求函数的递减区间；(2)当0k >时，记函数()()g x f x '=，求函数()g x 在区间(]0,2上的最小值．【答案】(1)()0,1；(2)当04k <<时，最小值为2；当4k ≥时，最小值为6k +. 【解析】(1)当2k =-时，()()214ln f x x x =+-，()()4220f x x x x'=+->． 由()0f x '<，得01x <<.故函数的递减区间为()0,1． (2)∵()()222k g x f x x x '==++，∴()222kg x x'=-. ∵0k >，(]0,2x ∈，∴当4k ≥时，()0g x '<，()g x 在(]0,2上为减函数． 因此，()g x 有最小值()26g k =+；当04k <<时，在(上()0g x '<，在2⎤⎦上()0g x '>，∴()g x 在(上为减函数，在2⎤⎦上为增函数．故g (x )有最小值2g=.综上，当04k <<时，()g x 在区间(]0,2上的最小值为2；当4k ≥时，()g x 在(]0,2上的最小值为6k +. 5．(2021·全国高二课时练习)已知函数32()39f x x x x c =--+，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．【答案】()(),1854,-∞-⋃+∞.【解析】由32()39f x x x x c =--+可得()()2()369313f x x x x x '=--=+-，当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2，6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴54c >； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴18c <-. ∴()(),1854,c ∈-∞-⋃+∞.6．(2021·全国高二课时练习)已知h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围． 【答案】k ≤－3.【解析】∵h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， ∴h ′(x )＝3x 2＋6x －9，令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，当x 变化时h ′(x )及h (x )的变化情况如下表．当x ＝－3时，取极大值28； 当x ＝1时，取极小值－4. 而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28， 则k ≤－3.7．(2021·全国高二单元测试)已知函数()3212232a f x x x ax +=++. (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()f x 的图象相切的直线方程； (2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值.【答案】(1)4y x =或y x =；(2)32536a a +.【解析】(1)当2a =时，()321243f x x x x =++，则()244f x x x '=++，设切点坐标为3200001,243x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则切线方程为：()()322000000124443y x x x x x x x ---=++-，又切线过原点()0,0，3232000000124443x x x x x x ∴---=---.即32002203x x +=，解得：00x =或03x =-. 当00x =时，切线方程为4y x =，当03x =-时，切线方程为y x =；综上所述：过坐标原点且与函数()f x 的图象相切的直线方程为4y x =或y x =. (2)()3212232a f x x x ax +=++，()()()()2222f x x a x a x x a '∴=+++=++，令()0f x '=，解得：1x a =-，22x =-，由()0,2a ∈可得2a ->-. ①若22a -≥-，即01a <≤时，当()2,x a a ∈--时，()0f x '<；当(),x a a ∈-时，()0f x '>；()f x ∴在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，()()(){}max max 2,f x f a f a ∴=-，()33223822244033f a a a a a a -=-++-=-<，()33223215230326a f a a a a a a =+++=+>，()()2f a f a ∴-<，()()32max 536f x f a a a ∴==+；②若22a -<-，即12a <<时， 当()()2,2,x a a a ∈---时，()0f x '>；当()2,x a ∈--时，()0f x '<；()f x ∴在()2,2a --，(),a a -上单调递增，在()2,a --上单调递减，()()(){}max max 2,f x f f a ∴=-，()84222442333f a a a -=-++-=-+<-，()32523366f a a a =+>，()()32max 536f x f a a a ∴==+.综上所述：当()0,2a ∈时，函数()f x 在[]2,a a -上的最大值为32536a a +.8．(2021·全国高二课时练习)函数()()()2ln 2f x x ax a x a =-+-∈R ，求函数()f x 在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值．【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】因为2a a <，所以01a <<．()()()211122x ax f x ax a x x-+'=-+-=-． 因为()0,x ∈+∞，所以10ax +>， 所以当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减．①当102a <≤时，()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()32max ln 2f x f a a a a a ==-+-； ②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即12a <<()f x 在21,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()max 11ln 224af x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③当212a ≤1a ≤<时，()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 所以()()2532max 2ln 2f x f a a a a a ==-+-．综上，当102a <≤时，函数()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当12a <<时，函数()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值是5322ln 2a a a a -+-． 【题组五 极值最值综合运用 】1．(2021·临海市西湖双语实验学校)若不等式2ln ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题设知：2ln xa x ≥恒成立，令2ln ()x f x x =且0x >，则432ln 12ln ()x x x x f x x x --'==，∴当()0f x '>时，0x <<()f x 单调递增；当()0f x '<时，x >()f x 单调递减；∴1()2f x f e≤=，故12a e ≥.故选：A2．(2021·福建省宁化第一中学高二期中)(多选)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零 【答案】BD【解析】由图像可知，当2x <-时，'()0f x >；当23x -<<时，'()0f x ≤， 从而()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,3)-上单调递减， 故()f x 有极大值点2x =-，故AC 错误，B 正确；又由图像可知，'(0)0f <，从而()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于零，故D 正确. 故选BD.3．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数()'f x 的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________. 【答案】15x －3y －2＝0【解析】∵()'f x ＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴()'f x max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴()'f x ＝－2x 2＋4x ＋3，(1)'f ＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y－133＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故答案为：15x－3y－2＝04．(2021·全国高二课时练习)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围. 【答案】(1)f(x)＝x3－3x2＋2；(2)答案见解析；(3)－2<c≤0.【解析】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)＝2，f(x)的最小值为f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)的最小值为f(2)＝－2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)的最大值为f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则(1)0,(2)0,(3)0,ggg≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩即132081220272720ccc-+-≥⎧⎪-+-<⎨⎪-+-≥⎩，解得－2<c≤0.5．(2021·全国高二课时练习)已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =处都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12a =-，2b =-；(2)()(),12,-∞-+∞．【解析】(1)由题设，()232f x x ax b '=++，又2440333f a b ⎛⎫'-=-+= ⎪⎝⎭，()1320f a b '=++=，解得12a =-，2b =-．(2)由(1)，知()32122f x x x x c =--+，即()()()232321f x x x x x '=--=+-，当[]1,2x ∈-时，f x ，()f x 随x 的变化情况如下表： x()f x∴()f x 在21,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增，∴当23x =-时，222327f c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭为极大值，又()22f c =+，则()22f c =+为()f x 在[]1,2-上的最大值， 要使2()f x c <对任意[]1,2x ∈-恒成立，则只需()222c f c >=+，解得1c <-或2>c ，∴实数c 的取值范围为()(),12,-∞-+∞．6．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学高二期末(理))已知函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++． (I)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； (II)求a 的范围，使得()1f x ≥恒成立．【答案】(I)()f x 的单调增区间为(0,1),(3,)∞+，减区间为(1,3)；(II)12a ≤-【解析】(I)函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()()1af x x a x'=-++， 因为3x =是()f x 的极值点，所以()()33103af a =-++='，解得a =3， 当a =3时，()()()()13331x x f x x x x--=-++'=， 令()0f x '>，得01x <<或3x >；令()0f x '<，得13x <<，所以函数()f x 的单调增区间为(0,1),(3,)∞+；单调减区间为(1,3). (II)要使得()1f x ≥恒成立，即0x >时21(1)ln 02x a x a x -++≥恒成立，设21()(1)ln 2g x x a x a x =-++，则()()1a g x x a x'=-++(1)()x x a x --=，当0a ≤时，由()0g x '<得单调减区间为(0)1，，由()0g x '>得单调增区间为(1)+∞，， 故min 1()(1)02g x g a ==--≥，得12a ≤-； 当01a <<时，由()0g x '<得单调减区间为(1)a ，， 由()0g x '>得单调增区间为(0)a ，，(1)+∞，；此时1(1)02g a =--<，不合题意； 当1a =时，()f x 在(0)+∞，上单调递增，此时1(1)02g a =--<，不合题意； 当1a >时，由()0g x '<得单调减区间为(1)a ，，由()0g x '>得单调增区间为(0)1，，()a +，∞，此时1(1)02g a =--<，不合题意；综上所述：12a ≤-时，()1f x ≥恒成立.∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 7．(2021·全国)设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围； (2)若对任意的x ∈(0，3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围． 【答案】(1)()()19∞∞-，-，+；(2)(][)19-∞∞，-，+．【解析】(1)()2)61812()6(12f x x x x x '---+＝＝．∴ 当)1(0x ∈，时，()0f x '＞，()f x 单调递增； 当(12)x ∈，时，()0f x '＜，()f x 单调递减； 当(23)x ∈，时，()0f x '＞，()f x 单调递增． ∴ 当1x ＝时，()f x 取极大值()158f c +＝． 又()()3981f c f +＝＞，∴]3[0x ∈，时，()f x 的最大值为()398f c +＝． ∵ 对任意的]3[0x ∈，，有()2f x c ＜恒成立，∴298c c +＜，即1c <-或9c >． ∴ c 的取值范围为()()19∞∞-，-，+． (2)由(1)知()()398f x f c +＜＝， ∴298c c +≤，即1c ≤-或9c ≥，∴ c 的取值范围为(][)19∞∞－，－，+．8．(2021·全国高二专题练习)设函数3()65f x x x =-+，x ∈R . (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()y f x =的图象与函数y a =的图象恰有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (5-+. 【解析】(1)由题意可得，'2()36f x x =-，当'()0f x >时，x >x <当'()0f x <时，x所以f (x )的单调递增区间为(,-∞和)+∞；单调递减区间为(，()f x 在x =()f x 的极大值为(5f =+()f x 在x =()f x 的极小值为5f =-(2) 若函数()y f x =的图象与函数y a =的图象恰有三个不同的交点，结合(1)中()f x 的单调性以及极值点可知，55a -<<+故实数a 的取值范围(5-+.9(2021·全国高二专题练习)已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． (1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程()0f x b +=的区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)2；(2)(2ln 2,22ln 3]--．【解析】(1)'2()21f x x x a=--+，当0x =时，()f x 取得极值， 所以'(0)0f =，解得，2a =；(2)令2()()2ln(2)g x f x b x x x b =+=+--+，则'52()22()2122x x g x x x x +=--=-++，(2)x >-， ()g x ，'()g x 在(2,)-+∞上的变化状态如下表：由上表可知函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为2ln 2b +. 要使()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，只需(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩所以2ln222ln3b -<≤-，故实数b 的取值范围是(2ln 2,22ln 3]--．。