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勾股定理预习

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勾股定理
1、探索发现勾股定理
你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
归纳发现：---------------------------------------------------------------------------------------------- 2、由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：
3．议一议：
内容：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？（第一页）
勾股定理（gou-gu theorem ）：
如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么
222c b a =+．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
1、（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。

=
A
S
=
B
S
=
C
S=
D
S
例1、如图，已知直角三角形两个直角边长12
,5=
=b
a,求斜边c的长。

3、在△ABC中，∠C=90°。

（1）若a=2，b=5，则c= 。

（2）若c=61，b=60，则a= 。

（3）若:3:4
a b=，10
c=，则a= ，b=
4．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
例2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
例3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形
的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm
例4、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，
弦
股
勾
?
225
100
x
15
17
b
这个图形被称为弦图．从图中可以看到：
大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而 c 2
＝ ＋ ． 化简后即为 c 2
＝ ．
5、．如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试说明勾股定理?
小测验
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来
一架高为 2.5米的木梯，准备把拉花挂到 2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．
3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）
4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ． 5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．
6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．
7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是 cm 2．
8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）．
（A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2
a
b
c
C
第5题
C
B 7cm
D
A
C
B 25
7
9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．
（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定
10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．
知识拓展
11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
3
2
1
S S S 3
2
1
68埋宝藏点
登陆点
8
6C
B
A
C
D
E。

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第十七章 勾股定理学案

第十七章 勾股定理学案

- 1 -18.1 勾股定理（一） （一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

（二）、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵爽弦图证明呢？1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a 、b 、c 。

求证： 222a b c +=勾股定理的内容是： 。

（三）学以致用 在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值； 练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（ ） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（ ） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。

注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边； （四）当堂检测：1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．2．在Rt△ABC，∠C=90°；⑴ 已知a =b =5，求c ；⑵已知c =17，b =8，求a ；⑶ 已知a ∶b =1∶2，c=5，求a ； ⑷已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

3．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，求斜边的长？4.一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm ，求第三边的长？5.已知，如图在正ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ．求ΔABC 的面积．BDbaD C C A- 2 -EFDCBA18.1 勾股定理（二）（一）回顾复习：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。

八年级数学｜下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析

八年级数学｜下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析

八年级数学｜下册勾股定理预习，知识点归纳+五大题型解析八年级数学学习的勾股定理是初中数学当中为数不多的涉及几何与代数相结合的知识板块之一。

它利用三角形三边的关系与角度的问题相结合，中考当中勾股定理的考点，主要体现在勾股定理的实际应用当中。

由于勾股定理中涉及其三边的关系，所以在涉及到求边长的直角三角形当中，都可以利用三角形作为基础的解题方法。

预习的同学，不仅要了解勾股定理所涉及的内容还要了解其学习中的难点及勾股定理的实际应用，特别是勾股定理涉及到的五大题型当中，最后两种是大家重点关注的内容，它在勾股定理的实际应用当中具有非常典型的代表性。

下面唐老师将带领大家对勾股定理的基础知识归纳以及五大典型题型解析两部分进行综合的讲解与认识，通过这些基础知识的学习，在典型的例题当中该如何进行解答与运用，都是大家在学习勾股定理时应当掌握技巧的具体展现。

一、勾股定理知识点归纳勾股定理主要的知识点就是勾股定理的具体内容，以及勾股定理的逆定理的理解，我们可以通过几何图形的方式，也就是勾股定理的证明，这个过程当中涉及到几种方法，这些方法大家一定要去一一的去整理思路，明白其证明的过程是从何而来的。

虽然在考试当中，勾股定理的证明并不需要大家去掌握，考试也不会考，但是其中涉及到的证明方法可以从代数的方向，左手也可以利用数形结合的方式来进行证明，这种思想对于拓宽大家数学学习的思路都是非常好的，所以对于证明的过程，大家一定要从头到尾理解其证明的思路。

特别提醒，在勾股定理当中，我们都记住其三边的关系为c方等于a 方加b方。

但是在具体的应用过程当中，abc所代表的意义一定要明白，不能用固定的字母来代替，c代表的是直角三角形的斜边，a，b分别代表的是直角三角形的两条直角边，所以当字母发生变化时，我们要提高警惕，以防范低级错误。

二、勾股定理五大题型分类解析类型一、勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用其实就是对勾股定理概念的深刻理解，学会利用三边的关系求任意一边的长度，这是利用勾股定理进行其他的运算以及其应用的基础。

第17课第一章勾股定理2一定是直角三角形吗

第17课第一章勾股定理2一定是直角三角形吗

（1）仿照上述等式的规律写出：92= + = 2﹣ 2 （2）从上面的式子中，可以得到哪些勾股数？按此规律，你还能写出哪些勾股数？（至 少三个）
※7.赖老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
„
a„
b
4
6
8
10
„
c
22+1
32+1
42+1
52+1
„
（1）请你分别观察 a，b，c 与 n 之间的关系，并用含自然数 n（n＞1）的代数式表示：
三角形．
① 2 ， 3 ， 5 ； ②1，1，2；③5，12，13；④6，7，8；⑤3，4，5
其中能作为直角三角形三边长的是：
（填序号）．
6.如图，哪些是直角三角形，说说你的理由？
解：直角三角形有④，__________。
① ②
③
（1）由勾股定理可得三角形④的三边长的平方分
别为 10，10，20，得到 10+10＝20，即三角形的两 ④
△勾股定理的逆定理： 如果三角形的两边的平方和等于第三边的______，那么这个三角形是直角三角形。
几何表达：∵������������������ + ������������������＝������������������ ∴△ABC 是直角三角形（或∠C＝90°）
△满足������������ + ������������ = ������������的三个正整数，称为勾股数。 常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④5，12，13；⑤10，24，
66
三、巩固练习
8. 因为0.32 + 0.42＝0.52，所以以 0.3、0.4、0.5 为边长的三角形是直角三角形。
勾股定理逆定理预习学案

勾股定理逆定理预习学案

勾股定理逆定理预习学案一、学习目标1、探索并证明勾股定理的逆定理，2、能运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形二、本节重点：勾股定理的逆定理的应用三、预习要求认真阅读课本p56-59页，重点标注勾股定理逆定理部分，并会背勾股定理逆定理。

四、预习步骤：【一】请你把勾股定理写下来：【二】你会写勾股定理的逆命题吗？写下来。

【三】思考1：△ABC三边为AC=3、BC=4，AB=5，请你用尺规作图严格画出这个三角形。

这三边满足什么关系？△ABC是什么样三角形？【四】思考2：△ABC三边为，AC=5，BC=12，AB=13，它们这三边满足什么关系？△ABC是什么样的三角形？【五】归纳总结：如果△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么∠C是直角吗？五、勾股定理的逆定理的证明已知：如图，在△ABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，且a 2+b 2=c 2，求证：∠C=90°.重要结论：勾股定理的逆定理：六、例题精讲：例题1、下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①2,3,4②.321，，;③3n,4n,5n.（n 大于0）它们分别以每组数为三边长作出三角形，是否构成直角三角形？【变式训练】下面以a,b,c 为边长的三角形是不是直角三角形？(1)a=1b=2c=5（）(2)a=5b=4c=6（）(3)a=1b=3c=22（）七、勾股数1、下列每组数的特点是什么？并说一下以每组数为三角形的三边是否都可以构成直角三角形的三边长①3、4、5②6、8、10③9,12,15④12,16,20ACB15，12,13②10,24,26③15、36、39八、例题精讲：例题2、如图，是一个机器零件示意图，∠CAD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4cm ，BC=3cm ，AD =12cm ，CD =13cm ，∠ABC=90°.根据这些条件，这个零件是否合格？（提示能否证明∠CAD =90°?）九、拓展与延伸：一个三角形的两边长是15和20，当第三边是多长时这个三角形是直角三角形？十：课堂小结ABCD。