八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版
- 格式:doc
- 大小:316.00 KB
- 文档页数:10
新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标:1.知识与技能:掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理,能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.过程与方法:通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观:在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐。
教学重点:知道勾股定理的结果,并能运用于解题。
教学难点:进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学准备:彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。
教学过程:一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开,出示了本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
今天我们就来一同探索勾股定理。
二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。
他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
讨论:32+42与52有何关系?52+122和132有何关系?通过计算得到32+42=52,52+122=132,于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗?用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形,其等量关系为:4S△+S小正=S大正,即4×ab+(b-a)2=c2,化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。
下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。
已知:如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
数轴表示根号13教学目标:1.熟练掌握勾股定理,并能灵活的运用勾股定理解决数学中的实际问题。
2.能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步体会数形结合的思想及数轴上的点与实数一一对应的理论。
重点与难点:重点:运用勾股定理解决数学中的问题。
难点:勾股定理的灵活运用。
一、课前预习1.叙述勾股定理的内容。
2、(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3, b=4, 求c(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=2, b=3,求c3.什么是数轴?实数与数轴上的点具有什么关系?4.在数轴上画出表示下列各数的点:3、1、0、-2.5、-45.你能在数轴上表示出√13 的点吗?点拨:①:由于在数轴上表示的点到原点的距离为√13,所以只需画出长为√13的线段即可.②长为√13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c=√13,两直角边为a,b,根据勾股定理a2+b3=c2即a2+b2=13.若a,b为正整数,则13必须分解为两个正整数的平方和,即13=22+32 所以长为√13的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边.二、自主学习请在数轴上作出√13 ,完成作图步骤:1、在数轴上找到点A,使OA=3;2、作直线l⊥OA,在l上取一点B,使AB=2;OA=33、以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为表示√13的点。
三、合作探究类似地,利用勾股定理,可以作出长为√2 ,√3,,√5……的线段。
按照同样方法,可以在数轴上画出表示√1,√2 ,√3 ,√4 ,√5……的点。
四、课堂练习1、在数轴上作出表示√17的点(不写作法,保留作图痕迹)2、已知:如图,等边三角形的边长是6,求: A(1)高AD的长。
(2)这个三角形的面积。
五、课堂小结 C1.本节课你有些收获?2.预习时的疑难问题解决了吗?你还有那些疑惑?3.你认为本节还有哪些需要注意的地方?六、课后作业必做题:教材第29页习题17.1第11、12题.选做题:教材习题17.1第14题.七、课后反思:151、你能在数轴上找出表示的点吗?请作图说明。
17.1《勾股定理》教学设计1、教学目标.【教学内容解析】本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时.本节之前学生已经学习了三角形一些知识,勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系,将形与数密切联系起来,是解直角三角形的主要依据,在生产和生活实际中应用广泛.本节课我从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生自主地经历一条由观察猜想到实践验证到推理论证的科学探索之路.我期望通过本节课达成四个一,为此我确定本节课教学目标为:【教学目标】知识与技能:掌握一个定理——勾股定理,并会用定理解决简单问题.过程与方法:(1)、经历一次由特殊到一般的探索过程,通过观察、思考、尝试猜想结论,发展合情推理能力.(2)、体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想,感受数学思维的严谨性.情感与态度:通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增添一份民族自豪感. 在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神.2、学情分析.【学生学情】八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力,已经学习了一些几何图形的面积的计算方法,但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够,对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.3、重点难点.【教学重点】勾股定理的证明与运用.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.【教学策略】本节课主要采用启发式、探究式教学,由浅入深,由特殊到一般的提出问题,引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法,使学生主动获得知识并发展能力.4、教学过程.【导入】.教师出示情景图片提出问题,学生实践思考、探索交流等.一、设置情景引发思考从A地到B地有两条路,并且AC垂直于BC.问题一:哪条路近?为什么?问题二:你能知道走第一条比走第二条近几米吗?为什么?那么在Rt△ABC中,已知AC=8,BC=6,能否求出AB的长呢?带着这个问题我们开始第十八章《勾股定理》的学习.本章我们将探索直角三角形三边之间特有的数量关系,并运用所得的结论解决问题.今天我们学习第十八章第一节——勾股定理.从简单的生活实例入手,引领学生预知本章的研究主题,引出课题.二、探索定理获得知识勾股定理给同学们设了三关,大家有没有信心冲过这三关!冲过这三关,我们就能获得知识,解决问题.使教学内容富有挑战性.观察猜想首先由毕达哥拉斯带领我们进入第一关.(学生读题)2500年前,古希腊著名数学家毕达哥拉斯非常善于观察和思考,经常能够从平淡的生活现象中发现数学问题.(教师提问,学生发表见解)观察:这个地面是由什么图形拼成的?观察:这些直角三角形都什么关系?毕达哥拉斯发现以直角三角形三边为边长都可做出一个正方形.观察:图中两个小正方形与大正方形的面积之间有什么关系?如果中间直角三角形的两直角边分别为a, b,斜边为c,思考:直角三角形三边之间有什么关系?问题:对于任意直角三角形如果两直角边分别为a, b,斜边为c,那么三边之间是否也有a2+b2=c2这样的关系呢?得出猜想,猜想之后进入第二关.从观察生活中常见的地砖入手,让学生感受到数学就在身边.通过设计问题串,让探索过程由浅入深,使学生从观察中得到猜想.适时穿插毕达哥拉斯这一人文背景,使学生获得新知,同时也感染学生养成善于观察勤于思考的科学的学习品质.2、实践验证:图中每个小方格的面积均为1,请分别算出正方形A,B,C的面积,利用面积关系验证三边关系.(同样的图形学案中有,让学生先独立完成,再小组交流,然后全班展示) 给学生充分的自主探索、合作交流的空间,鼓励学生尝试用不同的方式解决问题.学生活动:分别求出图1、图2中三个正方形的面积.学生动脑思考,动手做,动口说想法.师生总结:图1:9 + 16 = 25图2: 4 + 9 = 13所以: SA + SB = SC所以: a2 +b2=c2讨论中发表自己的看法,提高语言表达能力. 通过交流总结出用面积割补法求大正方形的面积,为定理的证明做铺垫,突破本节课的难点.3、推理论证特殊数据不能代表一般规律,我们猜想的这个结论要作为定理必须经过推理论证.学生活动:通过动手合作拼正方形,并利用所拼的图形完成此猜想的证明.学生探索交流之后展示自己的拼图,解释自己的想法.由猜想到验证到论证,有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体,经历知识的形成过程.4、总结定理学生总结:定理的文字表达形式,和符号推理形式.教师介绍:我国古代学者把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.早在3000年前的《周髀算经》就记载勾三股四弦五的说法。
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;3.了解利用拼图验证勾股定理的方法..【教学重点】1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法.【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究知识点一:勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:(1)AC的长;(2)S△ABC;(3)CD的长.解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=AB2-BC2=12cm;(2)S△ABC=12CB·AC=12×5×12=30(cm2);(3)∵S△ABC=12AC·BC=12CD·AB,∴CD=AC·BCAB=6013cm.方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC 的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=152-122=9.在Rt△ACD中,CD=AC2-AD2=132-122=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC 的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究:方法1:如图:对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ,所以∠BAE =90°,且四边形ACFD 是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的,你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗?解析:方法1:根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答;方法2:根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答.解:方法1:S 正方形ACFD =S 四边形ABFE =S △BAE +S △BFE ,即b 2=12c 2+12(b +a )(b -a ),整理得2b 2=c 2+b 2-a 2,∴a 2+b 2=c 2;方法2:此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°,再向下平移得到.∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ,S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD ,∴S △ABC +S △ACD=S △ABD +S △BCD ,即12b 2+12ab =12c 2+12a (b -a ),整理得b 2+ab =c 2+a (b -a ),b 2+ab =c 2+ab -a 2,∴a 2+b 2=c 2.方法总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.知识点二:勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E 的面积是________.解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.故答案为10.方法总结:能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性.让学生满怀激情地投入到数学学习中,提高数学课堂教学效率.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,设计一些拼图活动,并自制精巧的课件让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究突破本节课的难点.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程,了解关于勾股定理的一些文化历史背景,会用面积法来证明勾股定理,体会数形结合的思想;2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理,体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算.【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗?你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢?AB CCBA方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形):左图:S c=__________________________;右图:S c=__________________________.方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形):左图:S c=__________________________;右图:S c=__________________________.二、合作探究考点1:勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前,毕达哥拉斯去老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面,联想到了正方形A,B和C面积之间的关系,你能想到是什么关系吗?2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?3.在网格中一般的直角三角形,以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系?(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系?思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律?你能结合字母表示出来吗?猜测:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”=________,证明:∵S大正方形S小正方形=________,S大正方形=___·S三角形+S小正方形,∴________=________+__________.要点归纳:勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形:222222, ,=+--.a cb bc a c a b知识点2:利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a=b=5,求c;(2)若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a:b=1:2 ,c=5,求a;(2)若b=15,∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时,要运用方程思想设未知数,根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中,AB=4,AC=3,求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时,其中一较长边可能是直角边,也可能是斜边,这种情况下一定要进行分类讨论,否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积,它常与勾股定理联合使用.【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值:三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图,Rt△ABC(∠C=90°)的主要性质:(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系:____________________.(2)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中,∠C=90°.(1)若a=15,b=8,则c=_______.(2)若c=13,b=12,则a=_______.6.若直角三角形中,有两边长是5和7,则第三边长的平方为_________.7.如图所示,所有的四边形都是正方形,三角形是直角三角形,其中最大的正方形的边长为6,则正方形A,B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠B=45°,∠C=30°,AD=1,求△ABC的周长.10.如图,将长为10米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为6米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
17.1勾股定理(第三课时)【教学目标】1.能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的思想。
2.会用勾股定理解决简单的实际问题。
【重点难点】学习重点:运用勾股定理解决数学和实际问题学习难点:勾股定理的综合应用。
【教学过程设计】问题引入思考题:在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?先画出图形,再写出已知,求证如下已知:如图,在RT△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,AB=A’B’,AC=A’C’求证:△ABC △A’B’C’师生活动:学生板演证明过程,教师点评探究我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示13的点吗?教师讲解作图步骤小组活动每个小组分别在数轴上画出1234... 的点练习题:图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为多少?C D A BFE 展示提升完成书上27页练习题1.和2例3 再来看一道古代名题:这是一道成书于公元前一世纪,距今约两千多年前的,《九章算术》中记录的一道古代趣题: 原题:“今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺。
引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”例4 台风是一种自然灾害,它一台风中心为圆心,在周围数十千米内形成气旋风暴,由极强的破坏力,据气象观测,居沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级 ,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级。
该台风中心现正以 图1-3-1215千米/时的速度沿北偏东30方向往C 移动,且台风中心风力不变。
若城市所受风力达到或超过四级,则成为受台风影响。
(如图1-3-12)(1)城市是否会受到这次台风影响?请说明理由。
(2)若会受台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?(1)如图1-3-23,由点A 作AD ⊥ BC,垂足为D因为AB=220, ∠B=300所以AD ≈140(千米),即A 点距台风中心的最近距离。
人教版数学八年级下册17.1第1课时《勾股定理》教案一. 教材分析《勾股定理》是中学数学中的一个重要定理,它揭示了直角三角形三边之间的一种简单而美妙的关系。
人教版八年级下册第17.1节《勾股定理》主要介绍了勾股定理的证明和应用。
通过这一节的学习,学生可以加深对勾股定理的理解,提高解决几何问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经掌握了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等基础知识。
但勾股定理的证明和应用需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的学习基础,针对不同学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解勾股定理的证明过程,掌握勾股定理的内容。
2.能够运用勾股定理解决实际问题,提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程。
2.勾股定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实例,引发学生对勾股定理的思考,激发学生的学习兴趣。
2.演示教学法:通过几何画板等软件,直观地展示勾股定理的证明过程。
3.问题驱动法:引导学生通过解决问题,深入理解勾股定理的内涵。
4.小组合作法:鼓励学生分组讨论,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作勾股定理的课件,包括证明过程的动画演示。
2.几何画板:用于展示勾股定理的证明过程。
3.练习题:准备一些有关勾股定理的应用题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些生活中的实例,如篮球架、自行车等,引导学生思考这些实例中是否存在勾股定理的应用。
让学生感受到勾股定理在现实生活中的重要性。
2.呈现(10分钟)利用几何画板,演示勾股定理的证明过程。
首先,展示一个直角三角形,然后通过动态变化,引导学生发现直角三角形三边之间存在的关系。
最后,给出勾股定理的数学表达式。
3.操练(10分钟)让学生分组讨论,运用勾股定理解决一些实际问题。
17.1 勾股定理(第一课时)【教学目标】1.经历勾股定理的探究过程,了解关于勾股定理的一些文化历史背景,通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍,培养学生的民族自豪感。
2.能用勾股定理解决一些简单问题。
【重点难点】重点:探索和证明勾股定理。
难点:应用勾股定理解决实际问题。
【教学过程设计】【活动一】(一)创设问题情境1、你听说过“勾股定理”吗?(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的,西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理(2)在中国,相传4000多年前,大禹曾在治理洪水的过程中,利用勾股定理来测量两地的地势差(3)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。
书中记载有“勾广三,股修四,径隅五。
”这作为勾股定理特例的出现。
2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。
(1)现在请你一观察一下,你能发现什么?(2)一般直角三角形是否也有这样的特点吗?(二)师生行为教师讲故事(勾股定理的发现)、展示图片,参与小组活动,指导、倾听学生交流。
针对不同认识水平的学生,引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。
学生听故事发表见解,分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位,采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。
阐述自己发现的结论。
(三)设计意图①通过讲故事,让学生了解历史,培育学生爱国主义情操,激发学习的积极性。
②渗透从特殊到一般的数学思想,为学生提供参与数学活动的时间与空间,发挥学生的主体作用;培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力,使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
③鼓励学生用语免得数学活动的困难,尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。
并通过方法的反思,获得解决问题的经验。
在本次活动中教师用重点关注:①学生能否将实际问题(地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形)转化成数学问题(探索直角三角形的特性三边关系)。
勾股定理(1)知识与技能:掌握勾股定理和他的简单的应用,理解定理的一般探究方法。
过程与方法:在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动,让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数与形结合的数学思想。
情感态度与价值观:在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。
教学重点:经历探索和验证勾股定理的过程,会利用两边求直角三角形的另一边的长。
教学难点:拼图法验证勾股定理,会利用两边求直角形另一边的长。
教具准备:方格纸、4个全等的三角形,小黑板等。
教与学互动设计:一、创设情境导入新课引导学生观察课本第64页的地面图形,说说你发现了什么?提问:①图中有些什么形状?②三个正方形之间有什么关系?③通过②的结论你能有什么猜想?说说看。
二、实验操作探求新知1.数格子(1)要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。
观察三个正方形的面积之间有什么关系。
(2)要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。
观察三个正方形的面积之间有什么关系。
(3)要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。
观察三个正方形的面积之间有什么关系。
讨论、得出结论:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.证明猜想。
要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形,推理得出a2+b2=c210c20cm3.得出结论定理:经过证明被确认的命题叫做定理。
勾股定理:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、应用迁移例1.求下图中的字母A ,B 所代表的正方形的面积。
例2.一个文具盒的尺如 图,一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒,为什么?练习:填空(1)在Rt ∆ABC 中,∠C=90°,a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ∆ABC 中,∠B=90°,a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ∆ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,AC :BC :AB= (4)在Rt ∆ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC :AC :AB= 探究2.如图,一个3 m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上,这时AO 的距离为2.5m ,如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ,那么梯子的底端B 也外移0.5m 吗?练习:1.如图,阴影部分是一个正方形,求此正方形的面积。
(单位:cm)四、拓展应用在Rt ∆ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c 。
(1)a=6,b=8,求c 及斜边上的高; (2)a=40,c=41,求b ; (3)a :b=3:4,c=15,求b 。
设计意图:在学生能熟念掌握新知识后,为进一步培养学生对知识的运用能力,也为进一步发展学生的几何思维,从而设计了这一习题对所学内容进行训练。
五、课堂小结1.本节的教学内容是勾股定理及它的应用。
2.你认为在勾股定理的应用中要注意什么? 板书设计:勾股定理(1)定理:经过证明被确认的命题叫做定理。
1213勾股定理:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理(2)知识与技能1.掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股定理解决一些实际问题.过程与方法1.经历用拼图的方法验证勾股定理,•培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图的过程中,鼓励学生大胆联想,培养学生数形结合的意识.情感态度与价值观1.利用拼图的方法验证勾股定理,是我国古代数学家的一大贡献,•借助此过程对学生进行爱国主义的教育.2.经历拼图的过程,并从中获得学习数学的快乐,提高学习数学的兴趣.教学重点:经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值.教学难点:经历用不同的拼图方法证明勾股定理.教具准备:方格纸、4个全等的三角形,多媒体课件演示.教学过程:一、知识回顾(活动1)上节课我们已经认识的勾股定理,请大家说说勾股定理的内容。
二、探索研究(活动2)我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系,拼一拼,完成下列问题:例1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。
其间让充分放手让学生自主完成探究过程,进而得出结论。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:(2)4S △+S 小正=S 大正 4×21ab +(b -a )2=c 2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
活动3图(3)这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样,人们称它为“赵爽弦图”,赵爽利用弦图证明命题1•(即勾股定理)的基本思路如下,如图(7)。
把边长为a,b的两个正方形连在一起,它的面积为a2+b2,另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成.把图(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置,就会形成一个c为边长的正方形.活动4议一议:观察上图,用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.设计意图:前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢?学生通过数格子的方法可以得出:如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2.通过这个结论,学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识.师生行为:学生分小组讨论交流,得出结论:教师提出问题后,组织讨论,启发,引导.此活动教师应重点关注: ①能否积极参与数学活动;②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系. 师:上图中的△ABC 和△A ′B ′C ′是什么三角形?师:△ABC 的三边上“长”出三个正方形,•谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子.师:锐角三角形A ′B ′C ′中,如何呢?师:通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中,a ,b ,•c 三边才有a 2+b 2=c 2(其中a 、b 是直角边,c 为斜边)这样的关系。
三、课堂练习1、勾股定理的具体内容是:2、如图,直角△ABC 的主要性质是: ∠C=90°,(用几何语言表示) ⑴两锐角之间的关系: ;⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ; ⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ; ⑷三边之间的关系: 。
3、△ABC 的三边a 、b 、c ,若满足b 2= a 2+c 2,则 =90°; 若满足b 2>c 2+a 2,则∠B 是 角; 若满足b 2<c 2+a 2,则∠B 是 角。
4、已知在Rt △ABC 中,∠B=90°,a 、b 、c 是△ABC 的三边,则 ⑴c= 。
(已知a 、b ,求c ) ⑵a= 。
(已知b 、c ,求a ) ⑶b= 。
(已知a 、c ,求b )五、课时小结 活动5你对本节内容有哪些认识?会构造直角三角形,并理解构造原理,深刻理解勾股定理的意义.ABD设计意图:这种形式的小结,激发了学生的主动参与意识,调动了学生的学习兴趣,为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会,并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会,尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,从而使小结活动不流于形式而具有实效性,为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获.小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力,情感态度方面关注学生对课堂的整体感受.师生行为:由学生小组讨论小结.在活动5中,教师应重点关注:(1)不同层次的学生对本节知识的认同程序;(2)学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示,•树立学好数学的信心.板书设计:勾股定理(2)定理:经过证明被确认的命题叫做定理。
勾股定理:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理(3)一、教学目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
二、重点、难点1.重点:勾股定理的应用。
2.难点:实际问题向数学问题的转化。
三、例题的意图分析例1(教材P74页探究1)明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
例2(教材P75页探究2)使学生进一步熟练使用勾股定理,探究直角三角形三边的关系:保证一边不变,其它两边的变化。
四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。
勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题,今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,你可以吗?试一试。
五、例习题分析 例1(教材探究1)分析:⑴在实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理的使用条件,即门框为长方形,四个角都是直角。
⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形?图中标字母的线段哪条最长?⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,探讨以何种方式通过?⑷转化为勾股定理的计算,采用多种方法。
⑸注意给学生小结深化数学建模思想,激发数学兴趣。
例2(教材P75页探究2)分析:⑴在△AOB 中,已知AB=3,AO=2.5,利用勾股定理计算OB 。
⑵ 在△COD 中,已知CD=3,CO=2,利用勾股定理计算OD 。
则BD=OD -OB ,通过计算可知BD ≠AC 。
⑶进一步让学生探究AC 和BD 的关系,给AC 不同的值,计算BD 。
六、课堂练习1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是43米,则这两株树之间的垂直距离是 米,水平距离是米。
DA BC30ABOABCD2题图 3题图 4题图3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
4.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?七、课后练习1.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则江面的宽度为。
2.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为米。