椭圆讲解+性质+习题 (一)定义部分（重点掌握）一．椭圆基本定义（必须掌握）1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|，即21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c a 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，21A B A B ==3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+b y a x 和12222=+bx a y )0(>>b a 其中222b a c -=椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a c e =a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a（通径长的一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，焦半径：21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c=-=-.4.21F PF ∆中经常利用余．弦定理．．．、三角形面积公式．．．．．．．12212tan2PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ∙2PF 等关系.二． 第二定义（拓展掌握，有些题目用第二定义做会有事半功倍的效果）：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e ca e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
高中数学椭圆定义讲解教案
一、教学目标：
1. 理解椭圆的定义；
2. 掌握椭圆的性质；
3. 能够应用椭圆解决实际问题。
二、教学重点：
椭圆的定义与性质。
三、教学难点：
如何确定椭圆的方程。
四、教学过程：
1. 引入：通过让学生观察椭圆的形状，引出椭圆的定义。
2. 概念讲解：讲解椭圆的定义，即平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合称
为椭圆。
3. 性质讲解：讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。
4. 示例分析：通过实例讲解如何确定椭圆的方程，以及如何应用椭圆解决实际问题。
5. 练习巩固：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
6. 拓展延伸：让学生思考椭圆在现实生活中的应用，如椭圆形的运动轨迹等。
五、课堂总结：
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于定值的点的集合，具有特定的性质和方程形式。
通过本节课的学习，我们对椭圆有了更深入的了解，能够解决相关问题。
六、作业布置：
布置相关练习题，巩固所学知识。
七、教学反思：
本节课通过引入、讲解、示例分析等环节，达到了教学目标。
但是在课堂练习环节的设置
上可以更具体一些，以加深学生对椭圆的理解。
星海学校2015年秋季 大邑 校区3L 个性化一对一 名师培优精讲学 科 年 级 学生姓名 授课教师 上课时间 课 次 数学高二吴 老师2015. .第 讲学习目标：1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 3．理解数形结合的思想.重点：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解坐标法的基本思想.难点：椭圆的标准方程的推导与化简，坐标法的应用.知识要点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；椭圆的方程及其性质注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
专题8.4 椭圆【考纲要求】1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程；2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率．【考向预测】1. 椭圆的定义应用．2. 求椭圆的标准方程．3. 求椭圆的主要几何量．4. 求椭圆的离心率．5.直线与椭圆的位置关系．【知识清单】1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b3.直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y (或x )得到一个一元二次方程.4．直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2__|x 1－x 2|__＝1＋1k2__|y 1－y 2|__，一般地，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2用根与系数关系求解.【考点分类剖析】考点一 椭圆的定义例1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段【变式探究】1．设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．2C ．23D ．32. 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)、C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A ．x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B ．x 29＋y 28＝1(x ≠0)C ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)D ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)考点二 求椭圆的标准方程例1. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(3)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．【方法归纳】 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a 、b 、c 的方程(组)，求出参数a 、b 、c ；(3)写出标准方程．2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．【变式探究】1.根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)经过点P (1，32)，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．2.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1考点三 椭圆的主要几何量例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【方法归纳】由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a 、b 、c ，写出其几何性质．【变式探究】求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 考点四 椭圆的离心率例1. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ． 12【变式探究】1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝12. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A ．13B ．12C ．33D ．22考点五 直线与椭圆的位置关系例1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；【变式探究】当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．专题8.4 椭圆【考纲要求】1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程；2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率．【考向预测】1. 椭圆的定义应用．2. 求椭圆的标准方程．3. 求椭圆的主要几何量．4. 求椭圆的离心率．5.直线与椭圆的位置关系．【知识清单】1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b3.直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y (或x )得到一个一元二次方程.4．直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2__|x 1－x 2|__＝1＋1k2__|y 1－y 2|__，一般地，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2用根与系数关系求解.【考点分类剖析】考点一 椭圆的定义例1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( A ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，由椭圆定义，动点M 轨迹为椭圆．【变式探究】1．设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( A )A ．4B ．2C ．23D ．3[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴选A ．2. 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)、C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y 28＝1(x ≠±3)B ．x 29＋y 28＝1(x ≠0)C ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)D ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＋|AC |＝8－|BC |＝6>|BC |＝2，∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝3，b ＝2 2.又∵A 、B 、C 三点不共线，∴顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．考点二 求椭圆的标准方程例1. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(3)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析] (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a 2＝1，∴a ＝3．∵2a ＝3×2b ，∴b ＝1．∴方程为x 29＋y 2＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3．又2a ＝3×2b ，∴a ＝9．∴方程为y 281＋x 29＝1．综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1．(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得m ＝115，n ＝15．故椭圆方程为x 215＋y 25＝1．(3)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，将点(2，－3)代入，得t ＝224＋(－3)23＝2．故所求方程为x 28＋y 26＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ＞0)代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求方程为y 2253＋x 2254＝1．综上可知椭圆方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. [解析] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.综上可知椭圆方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1. 【方法归纳】 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a 、b 、c 的方程(组)，求出参数a 、b 、c ；(3)写出标准方程．2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．【变式探究】1.根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过点P (1，32)，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，又椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.2.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( C )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．考点三 椭圆的主要几何量例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解析] 把已知方程化成标准方程x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)、(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)． 【方法归纳】由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a 、b 、c ，写出其几何性质．【变式探究】求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．[解析] 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a ＝10,2b＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标F 1(0，－3)、F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)、A 2(0,5)、B 1(－4,0)、B 2(4,0)．考点四 椭圆的离心率例1. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是( D )A ．32B ．22C ．13D ． 12[解析] 由椭圆x 24＋y 23＝1可知，a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，故选D ．【变式探究】1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1[解析] 由椭圆的右焦点为F (1,0)知，椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ．2. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( D ) A ．13B ．12C ．33D ．22[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 考点五 直线与椭圆的位置关系例1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝x ＋m ，消去y 得，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， ∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. 【变式探究】当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 9x 2＋16y 2＝144，消去y 得， 9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400.(1)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点．(2)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点．(3)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点．。
