2020届四川省阆中中学高三下学期第一次在线考试（3月）数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由z （1﹣i ）=2，得z=()()()2121111i i i i i +==+--+， ∴1z i =-．则z 的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】首先求解方程组3y x y x ⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B I 有3个元素，故选B. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题． 3．“()ln 10x +<”是“220x x +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】转化条件得()ln 1010x x +<⇔-<<，22020x x x +<⇔-<<，再根据充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】Q ()ln 1001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，22020x x x +<⇔-<<，∴“()ln 10x +<”是“220x x +<”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的解法和充分不必要条件，属于基础题.4．已知7log 10a =，2log b ==c ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】利用对数函数的性质，结合“1”的分段比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】313222821log log 10log 10log 10log 103b =====，所以788log 10log 10log 81>>=，而()0,1c =.所以a b c >>. 故选：C 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查对数函数的性质，考查对数式、指数式比较大小，属于基础题.5．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A【解析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即S =其中1()2p a b c =++.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S =∆应该是（ ） A ．2()2a cb ++B ．2a c b+- C ．2222c a b +- D ．2a b c++ 【答案】C【解析】首先根据三角形面积公式1sin 2S ca B =,确定∆应该等于cos ca B ,再根据余弦定理得到答案. 【详解】因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==.选C. 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题. 7．若4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则()4y f x π=-是（ ）A ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称B ．偶函数且图像关于直线2x π=对称 C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称【答案】D【解析】【详解】试题分析：4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值,∴4π+ϕ=2k π-2π,ϕ=2k π-34π,∴f （x ）=Asin （324x k ππ+-）=Asin （x-34π）,y=f （4π-x ）=Asin （-x-2π）=-Acosx,选D.【考点】y=Asin （ωx+φ）的性质点评：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+ϕ）的性质求解析式，同时考查了y=Asin （ωx+ϕ）的性质．8．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =u u u v（ ）A ．AC AD -u u u v u u u vB ．22AC AD -u u u v u u u vC ．AD AC -u u u v u u u vD ．22AD AC -u u u v u u u v【答案】D【解析】本题是用,AC AD u u u r u u u r 当基底向量，来表示AB u u u r，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD u u u r u u u r 表示CD uuu r ，再探究CD uuu r 、AB u u u r的线性关系即可．【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()2222AB CD AD AC AD AC ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.10．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且12AF AD a==，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）A．66B．3C．63D．3【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，通过直线GB的方向向量和平面AGC的法向量，计算出线面角的正弦值.【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，()()(),,0,0,2,0,0,2,2G a a B a C a a，所以(),,0GB a a=-u u u r.设平面AGC的法向量为(),,n x y z=r，则220n AG ax ayn AC ay az⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u vvu u u vv，令1x=，则1,1y z=-=，所以()1,1,1n=-r.设直线GB与平面AGC所成角为θ，则06sin326n GB a aan GBθ⋅--+====⋅⋅r u u u rr u u u r.故选：C【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ） A ．4 B ．43C ．46D ．63【答案】C【解析】由已知条件，结合抛物线性质求出A 点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B ，由|PO |＝|PB ，|知|P A |+|PO |的最小值为|AB |，由此能求出结果． 【详解】抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，∴A 到准线的距离为6，即A 点的横坐标为4，∵点A 在抛物线上，不妨设为第一象限， ∴A 的坐标A （4，42）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （-4，0）， ∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|=()()22444246++= ．故选C ．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 12．设函数()f x 是定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数，()'f x 是函数()f x 的导函数，若()()tan f x xf x <'，πf 16⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e 为自然对数的底数)，则不等式()f x 2sinx <的解集是( )A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】令()()sin f x g x x=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出函数的导数，由()()tan f x xf x <'可得()0g x '>，()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递增，根据函数的单调性求出x 的范围即可．【详解】 令()()f x g x sinx=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()tan f x xf x <'， 则()()()()()220f x sinx f x cosxf x tanx f xg x cosx sin xsin x--=='⨯'>'，故()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递增，而ππ6g 2π6sin 6f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，故()2f x sinx <，即()2,sin f x x <即()g 6x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故π06x <<，即不等式的解集为π0,6⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题13．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，方差是4，则xy =__________. 【答案】55【解析】由平均数和方差的概念可得()()()()()()222221789851788898+8+845x y x y ⎧++++=⎪⎪⎨⎪⎡⎤-+-+---=⎣⎦⎪⎩，化简后即可得解. 【详解】由题意得()()()()()()222221789851788898+8+845x y x y ⎧++++=⎪⎪⎨⎪⎡⎤-+-+---=⎣⎦⎪⎩，化简得22161616110x y x y x y +=⎧⎨+--=-⎩， 所以()()2216110x y xy x y +--+=-，解得55xy =. 故答案为：55. 【点睛】本题考查了平均数和方差的概念，属于基础题.14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 的图象关于直线2x =对称，()g x 的图象关于点()2,2-中心对称，且()()333x f x g x x -=++，则()4f =_______. 【答案】74【解析】根据()()333xf xg x x -=++，求出()()00f g -，()()44f g -，由对称性可得()()0, 4f f 间的关系，()()0,4g g 间的关系，利用他们之间的关系通过计算可求得()4f . 【详解】由条件知()()004f g -=，①()()4481643148f g -=++=.②由()f x ，()g x 图象的对称性，可得()()0 4f f =，()()044g g +=-，结合①知，()()()()444004f g f g ++=-=，即()()440f g +=.③由②③解得()474f =. 故答案为：74.【点睛】本题考查函数对称性的应用，注意赋值法的使用，本题是中档题.15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时__________． 【答案】2.5【解析】B 是台风中心，移动时间为t ，40BC t =，由余弦定理求出AC ，解不等式350AC ≤可得结论．【详解】如图，B 是台风中心，BC 上正北方向，设台风移动时间为t 小时，则40BC t =，又60ABC ∠=︒，400AB =，∴222222cos 60400(40)40040AC AB BC AB BC t t =+-⋅︒=+-⨯， 由2222400(40)40040350AC t t =+-⨯≤，解得152544t ≤≤， 45152.544-=． 故答案为：2.5.【点睛】本题考查解三角形的应用，根据图形选择恰当的公式是解题关键．16．在边长为23ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,ABCD 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π【解析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解.【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=o . 在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ， 易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅=o ， ∴227OC GC GO =+∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π 【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--，21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 18．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[)[)[)[)[)[)[]80,90,90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150.其中a ，b ，c 成等差数列且2c a =.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X 的分布列和期望值.【答案】（1）平均分117.8（2）中位数为75分（3）详见解析【解析】（1）利用频率之和为1列方程，结合等差中项的性质和已知条件，求得,,a b c 的值.用每组中点值乘以对应的频率，然后相加求得数学成绩的平均分.（2）由物理成绩统计表，判断出中位数所在的区间，并估计出物理成绩的中位数. （3）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）根据频率分布直方图得，()20.0240.0200.04101a b c +++++⨯= 又因 2 +=a c b ，2c a =，解得0.008=a ，0.012=b ，0.016c =， 故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08117.8=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ，（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[)70,80， 所以物理成绩的中位数为75分.（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X 的取值为0、1、2、3.()33361020C P X C ===，()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()33361320C P X C ===. 所以分布列为：期望值为：()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数，考查根据频数表估计中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于中档题.19．如图，三棱锥D-ABC 中，2,AB AC ==23,BC =3DB DC ==，E ，F 分别为DB ，AB 的中点，且90EFC ︒∠=.（1）求证：平面DAB ⊥平面ABC ； （2）求二面角D-CE-F 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 37028-. 【解析】（1）取BC 的中点G ，可得BC AG ⊥，BC DG ⊥，从而得到BC ⊥平面DAG ，得到BC DA ⊥，由DA EF ∥，EF CF ⊥，得到DA CF ⊥，从而得到DA ⊥平面ABC ，所以平面DAB ⊥平面ABC ；（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120BAC ︒∠=，5DA =，得到DCE 的法向量1n u r，平面FCE 的法向量2n u u r，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角D CE F --的余弦值【详解】（1）如图取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，因为2AB AC ==，所以BC AG ⊥， 因为DB DC =，所以BC DG ⊥，又因为AG DG G =I ，所以BC ⊥平面DAG ，DA ⊂平面DAG所以BC DA ⊥.因为E ，F 分别为DB ，AB 的中点，所以DA EF ∥. 因为90EFC ︒∠=，即EF CF ⊥， 则DA CF ⊥.又因为BC CF C =I ， 所以DA ⊥平面ABC ， 又因为DA ⊂平面DAB ， 所以平面DAB ⊥平面ABC .（2）因为DA ⊥平面ABC ，则以A 为坐标原点，过点A 与AC 垂直的直线为x 轴，AC 为y 轴，AD 为z 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系.因为2,AB AC ==3,BC =3DB DC ==， 在ABC ∆中，222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅4412222+-=⨯⨯12=-， 所以120BAC ︒∠=.在Rt DAB ∆中，2232DA =-5=所以点(0,0,0)A ，5),D (0,2,0),C 3,1,0)B -，315,,222E ⎛- ⎝⎭31,022F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCE 的法向量为()1111,,,n x y z =u r(0,2,5),DC =u u u r 315,,222DE ⎛=-- ⎝⎭u u u r .所以1100DC n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即1111125031502y z x y z ⎧=--=， 可取1(15,5,2)n =u r.设平面FCE 的法向量为()2222,,,n x y z =u u r35,0,2FC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r 5FE ⎛= ⎝⎭u u u r . 所以2200FC n FE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u v u u u v u u v ，即222350250x y z ⎧+=⎪⎪=， 可取23,0)n =u u r，则12222221555320cos ,155253n n ⨯+⨯+⨯<>=++⨯+u r u u r370=因为二面角D CE F --为钝二面角，所以二面角D CE F --的余弦值为37028-. 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.20．如图，已知抛物线2:2C y px =的焦点是F ，准线是l ，抛物线上任意一点M 到y轴的距离比到准线的距离少2.（1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A B 、（均与P 不重合），直线PA PB 、分别交l 于点M N 、，求证：MF NF ⊥.【答案】（1）焦点为()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（2）详见解析.【解析】（1）由已知得抛物线的准线方程为2x =-，从而得抛物线方程，焦点坐标； （2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()()1122,,,A x y B x y ,直线方程代入抛物线方程，整理后由韦达定理得12y y ，由直线,PA PB 方程求出,M N 的坐标，计算MF NF ⋅u u u r u u u r即可证得结论．【详解】解：（1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线2x =-的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为28y x =，所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()()1122,,,A x y B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，由根与系数的关系得：1216y y =-直线PB 方程为：()222222288888,8888888y y x y x y x y y x y -+--==-+=--+-，当2x =-时，228168y y y -=+，∴228162,8y N y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭， ∴21218168164,,4,88y y FN FM y y ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，∴()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----=+⨯=++++u u u r u u u u r g()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++， ∴FN FM ⊥u u u r u u u u r，∴MF NF ⊥.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题．设出直线方程，设出交点坐标，由韦达定理得出12y y ，代入MF NF ⋅u u u r u u u r证明其为0．这就是设而不求思想． 21．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析【解析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1x e x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。
