高三9月月考(数学文)

江苏省奔牛高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．若集合{32}P x x =∈-<≤N∣，{}29Q x x =∈≤Z ∣，则P Q =I （ ） A ．{}3,0,1,2- B ．{|02}x x ≤≤ C ．{}0,1,2 D ．{|12}x x -≤≤ 2．已知复数z 满足()1i 2i z -=，且()i z a a +∈R 为实数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．−23．已知函数()e e 2x xa f x x-+=为偶函数，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-4．设向量11(1,0),,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，则下列结论中正确的是（ ） A ．||||a b =r r B ．1a b ⋅=r rC ．//a b r rD ．a b -r r 与b r 垂直5．已知函数()25,1,,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是是（ ） A ．30a -≤≤ B ．32a --≤≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤6．若1sin cos 3x x +=，(0,)x π∈，则sin cos x x -的值为（ ） A．BC ．13 D7．已知函数()f x 的导函数()()()22f x x x x m '=+++，若函数()f x 有一极大值点为2-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．(]4,2--C ．(),4-∞-D ．(),2-∞- 8．2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY 手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形ABCDEF 的中心为O ，1A ，1B ，1C ，1D ，1E ，1F 为圆O 上的点，如图（2）所示．1A AB △，1B BC V ，1C CD V ，1D DE △，1E EF △，1F FA △分别是以AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A 为折痕折起1A AB △，1B BC V ，1C CD V ，1D DE △，1E EF △，1F FA △，使1A ，1B ，1C ，1D ，1E ，1F 重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF 的边长为（ ）A ．12cm 5B ．25cm 4C ．24cm 5D ．5cm二、多选题9．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．4ln ln y x x =+B ．222x x y -=+C ．14|sin ||sin |y x x =+ D ．225x y +=10．已知函数2()2cos 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．直线5π6x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．ππ87f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心11．已知四面体,A BCD AB AB -=⊥平面,BCD BE AC ⊥，垂足为,E BF AD ⊥，垂足为F ，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC CD ⊥，则AC EF ⊥B ．若BC CD ⊥，则AD ⊥平面BEFC ．若BC BD =，则EF ∥CDD ．若2BC BD ==，则四面体A BEF -体积的最大值为27三、填空题12．若正数x ，y 满足221+-=x y xy ，则2x y +的最大值是.13．已知函数()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()()()222g x f x a f x a =-++，若函数()g x 恰有三个零点，则a 的取值范围是.14．已知在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为；若P 为AB 的中点，过点P 的平面截该四面体ABCD 的外接球所得截面面积为S ，则S 的最小值为．四、解答题15．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠.(1)若()f x 在区间1,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求实数a 的值； (2)若函数22()2x x a g x -+=的值域为[2,)+∞，求不等式log (1)1a t -≤的实数t 的取值范围. 16．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．17．如图，正四棱锥P ABCD -所有棱长为2，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，点M ，Q 分别在侧棱PB ，PD 上，31,,44PM PB PQ PD N ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 为底面ABCD 内一点，且MN ⊥平面QEF .(1)证明：直线//PB 平面QEF ；(2)求直线MN 与底面ABCD 所成角的大小.18．已知函数2()e ,()ln x f x a x g x x x x =-=-.(1)判断()f x 和()g x 的单调性；(2)若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.19．如图，点(),Z a b ，复数()i ,R z a b a b =+∈可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数i z a b =+都可以表示成()cos isin r θθ+的形式，即cos ,sin ,a rb r θθ=⎧⎨=⎩其中r 为复数z 的模，θ叫做复数z 的辐角（以x 非负半轴为始边，OZ u u u r 所在射线为终边的角），我们规定02πθ≤<范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作()arg .cos isin z r θθ+叫做复数i z a b =+的三角形式．复数三角形式的乘法公式：()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r rr θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦．棣莫佛提出了公式：()()[cos isin ]cos isin n n r r n n θθθθ+=+，其中*0,r n >∈N .(1)已知12z w ==，求3zw zw +的三角形式； (2)已知0θ为定值，00πθ≤≤，将复数001cos isin θθ++化为三角形式；(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为1220,,,z z z L ，求复数2024202420241220,,,z z z L 所对应不同点的个数．。

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。

安徽省六安市毛坦厂中学2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（ ） A ．n ∀∈N ，22n n ≤ B ．n ∃∈N ，22n n ≤ C ．n ∀∈N ，22n n <D ．n ∃∈N ，22n n <2．已知函数y =f x （x ∈R ）的图象如图，则不等式()0xf x '<的解集为（ ）A ．()10,2,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．11,,233∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1,0,23∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭D ．()()1,01,3-⋃3．若1x >，1y >，则“1->x y ”是“ln ln 1x y ->”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是365365(11%) 1.01+=；如果每天的“退步率"都是1%，那么一年后是355365(11%)0.99-=．一年后“进步者”是“退步者”的3653653051.01 1.0114810.990.99⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：lg1.010.00432,lg0.990.00436≈≈-，lg 20.3010≈） A ．33B ．35C ．37D ．395．已知583log 2,log 3,log 5a b c ===，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<6．已知函数()f x 在[)2,+∞上单调递减且对任意x ∈R 满足()()13f x f x +=-，则不等式()()235f x f ->的解集是（ ）A ．()(),14,∞∞-⋃+B ．(),4∞-C ． 1,+∞D ．1,4 7．已知x 1、x 2分别是函数f （x ）=ex +x -4、g （x ）=ln x +x -4的零点，则12ln xe x +的值为（ ）A ．2ln3e +B ．ln3e +C ．3D ．48．若函数2()2ln 4f x x ax x =--存在极大值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,∞-+B ．()1,0-C ．()0,∞+D ．(),1∞-二、多选题9．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，0x >时，()0f x >，()23f =，则（ ）A ．()11f =B ．函数()f x 在区间()0,∞+单调递增C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 的一个解析式为()21xf x =-10．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 11．已知1,1x y >>，且4xy =，则（ ）A ．45x y ≤+<B ．220log log 1x y <⋅≤C ．2log y x 的最大值为2D ．21log log 2x x y ≤+<三、填空题12．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买x 台设备的总成本为()21800200f x x x =++（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备台．13．已知函数()2lg 4f x x x =+-的零点在区间()(),1k k k Z +∈上，则k =.14．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为．四、解答题15．已知函数2()1,f x ax ax a R =+-∈其中． （Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()0f x <的解集为R ，求实数a 的取值范围． 16．已知函数2()ln ,R f x ax x x a =+-∈．(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()y f x =在区间[]1,3上是减函数，求实数a 的取值范围． 17．给定函数()(2)e x f x x =+．(1)判定函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)画出()f x 的大致图像；(3)求出方程()(R)f x a a =∈的解的个数． 18．设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，试判断()f x 零点的个数；（Ⅲ）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k 的最大值.19．定义在R 上的函数f （x ）满足：如果对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （122x x +）()()122f x f x +≤，则称函数f （x ）是R 上的凹函数，已知二次函数f （x ）＝ax 2+x （a ∈R ，a ≠0）（1）当a ＝1，x ∈[﹣2，2]时，求函数f （x ）的值域；（2）当a ＝1时，试判断函数f （x ）是否为凹函数，并说明理由；（3）如果函数f （x ）对任意的x ∈[0，1]时，都有|f （x ）|≤1，试求实数a 的范围．。

2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。

上海市宝山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷一、填空题1．若()i 1i z =⋅-（其中i 表示虚数单位），则Im z =．2．在等差数列{}n a 中，前7项的和714S =，则35a a +=.3．已知()22f x x x =+，则曲线()1y f x x ==在处的切线方程是.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为．5．已知直线()1:2310l m x y ---=与直线()2:210l mx m y +++=相互平行，则实数m 的值是． 6．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为． 7．已知平面向量a r ，b r 满足3,4a b ==r r 且向量a r ，b r 的夹角为 π3，则 2a b +r r 在a r 方向上的投影数量为.8．已知,R a b ∈且0a ≠，则4||a b b a++-的最小值是． 9．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知357a b c ===，，，则ABC V 的面积为．10．已知01a <<， 函数 1(2)41,2,2,2x a x a x y a x --++≤⎧=⎨>⎩若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是11．已知曲线C 由抛物线24x y =及抛物线24x y =-组成，若(4,3)A ，(4,3)B -，D ，E 是曲线C 上关于x 轴对称的两点，A ，B ，D ，E 四点不共线，其中点D 在第一象限，则四边形ABED 周长的最小值为 ．12．设 a n 与 b n 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若 a n 与 b n 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若 a n 与 b n 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若 a n 为等差数列， b n 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若 a n 为递增数列， b n 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.二、单选题13．已知,R a b ∈， 则“a b >”是“33a b >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 14．设α、β为两个平面，m 、n 为两条直线， 且m αβ=I .下述四个命题: ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥③若//n α且//n β，则//m n ④若n 与α、β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④15．设函数πsin()(05)6y x ωω=+<<图像的一条对称轴方程为π12x =，若12,x x 是该函数的两个不同的零点，则12x x -不可能取下述选项中的（ ）.A ．π4B ．π3C ．π2D ．π16．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()131,0212,23x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()()()2220R f x m f x m m ⎡⎤-++=∈⎣⎦恰有4个不相等的实数根，则实数m 的值是（ ） A ．23- B ．23 C ．0 D ．23±三、解答题17．已知2()2cos 2f x x x =,(1)求函数()y f x =的单调递减区间;(2)若π[0,]2x ∈,求函数()y f x =的值域. 18．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，直线AD 与平面BCD 所成的角为30︒，且2AB BC ==.(1)求三棱锥A BCD -的体积；(2)设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）19．2024年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了500名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：(1)求x 的值，并估计这500名观众每个月阅读时长的平均数和中位数；(2)用分层抽样的方法从[)[)20,40,80,100这两组观众中随机抽取12名观众，再若从这12名观众中随机抽取4人参加抽奖活动，求所抽取的4人中两组均有的概率.20．已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为 ()2,0F F N -₁、₂，为椭圆的一个顶点，且右焦点 F ₂到双曲线. ²²2x y -=渐近线的距离为 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于 A 、B 两点.①若直线l 过椭圆右焦点F ₂，且△AF ₁B 的面积为 求实数k 的值； ②若直线l 过定点P (0,2)， 且k >0， 在x 轴上是否存在点T (t ,0)使得以TA 、TB 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t 的取值范围； 若不存在，请说明理由.21．设函数()()2e x f x x ax =+，其中a 为常数．对于给定的一组有序实数(,)k m ，若对任意1x 、2x ∈R ，都有[][]1122()()0kx f x m kx f x m -+⋅-+≥，则称(,)k m 为()f x 的“和谐数组”．(1)若0a =，判断数组(0,0)是否为()f x 的“和谐数组”，并说明理由；(2)若a =()f x 的极值点；(3)证明：若(,)k m 为()f x 的“和谐数组”，则对任意x ∈R ，都有()0kx f x m -+≤．。

忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,22.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.23.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.236.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.17.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165 B.167C.169 D.1718.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f = B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.17.已知函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x fx f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3m n的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ==.（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240e f x -<<忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,2【答案】B【分析】根据题意求集合,A B ，进而求交集即可.【详解】令20x ->，解得2x <，则{}|2A x x =<，令240x -≥，解得22x -≤≤，则{}{}|220,1,2B x x =∈-≤≤=N ，所以{}0,1A B = .2.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等求,a b ，即可得结果.【详解】因为()()2i 1i 2i a b +-=+，则()212i 2i a a b ++-=+，可得2212a a b +=⎧⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以1a b +=.3.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.【详解】由题意可知：20,2x x x ∃>>的否定为20,2x x x ∀>≤.4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+【答案】B【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得.【详解】由2AP PB = ，则22AP AB AP =-，即23AP AB =uu u r uu u r ，则23PA AB =-，故23PD PA AD AB AD =+=-+.5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.23【答案】D【分析】根据期望的性质可得()4E ξ=，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可.【详解】因为()()3312E E ξξ==，即()4E ξ=，又因为随机变量(),B n p ξ~，且()43D ξ=，则()4413np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得623n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.6.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.1【答案】D【分析】根据题意利用基本不等式可得2()422x y x y xy +--=≤，解得2x y +≥，结合题意整理即可得最小值.【详解】因为0,0,24x y x y xy >>++=，则2()422x y x y xy +--=≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，解得2x y +≥或4x y +≤-（舍去），所以()342122x y x y x y xy x y +--+-=+-=-≥.7.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165B.167C.169 D.171【答案】B【分析】由题意整理可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得121n a n =+，即可得结果.【详解】因为1122n n n n a a a a ++++=，可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又因为12121a a a =+，即121121112a a a a +==+，即21112a a -=，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是2为公差的等差数列，且317a =，则131122743a a =-⨯=-=，可得()132121n n n a =+-=+，即121n a n =+，所有10031320167a ==.8.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 【答案】D【分析】根据题意同构可得()()22eln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e xax ≥，参变分析可得2e x a x ≤，构建()2e ,0xh x x x=>，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：()()2e2ln ln 0xf x a x x a =+---≥，整理可得()()22e ln e ln x x ax ax +≥+，设()ln ,0g x x x x =+>，则()110g x x=+>'，可知()g x 在0,+∞内单调递增，由题意可知：()()2exg g ax ≥，则2exax ≥对任意∈0,+∞内恒成立，可得2e xa x ≤对任意∈0,+∞内恒成立，设函数()2e ,0x h x x x =>，则()()2221exx h x x -'=，令ℎ'>0，解得12x >；令ℎ'<0，解得102x <<；可知ℎ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递增，可知ℎ的最小值为12e 2h ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得02e a <≤，所以a 的取值范围为(]0,2e .【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得()()22e ln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e x ax ≥.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()(12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣【答案】AD【分析】由题意可得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解出即可得A ；借助整体思想与正弦函数的单调性可得B ；由题意可得21x x -的最小值为原函数的最小正周期，即可得C ；结合原函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及其性质可得D.【详解】对A ：由题得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，所以()ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，所以π6ϕ=，故A 正确；对B ：当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7ππ13π2666x ≤+≤，所以()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误；对C ：21x x -的最小值为最小正周期π，故C 错误；对D ：当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2663x ≤+≤，所以a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣，故D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f =B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑【答案】ACD【分析】对A ：结合奇函数的性质，负值0x =代入计算即可得；对B ：由()1f x '+为奇函数可得()1f x +为偶函数，再利用偶函数的性质结合A 中所得可得()()2f x f x +-=；对C ：由B 中所得()()22f x f x ++=，即可得()()4f x f x =+，对其左右求导后结合周期性即可得；对D ：由C 中所得可得()f x 的周期，结合赋值法计算出一个周期内的和即可得.【详解】对A ：由()g x 为奇函数，可得()()21210f x f x +-+-+-=，即()()222f x f x ++-+=，令0x =，解得()21f =，故A 正确；对B ：由()1f x '+为奇函数可得，则()1f x +为偶函数，所以1+=1−，所以()()2f x f x =-，又()()222f x f x -++=，所以()()22f x f x ++=，又()()2f x f x -=+，所以()()2f x f x +-=，故B 错误；对C ：由()()22f x f x ++=可得，()()242f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，求导可得，()()4f x f x ''=+，故'的一个周期为4，故C 正确；对D ：由()()4f x f x =+，故()f x 的一个周期为4，因为()()222f x f x -++=，令1x =可得，()()132f f +=，令2x =可得，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，所以202412024()420244k f k ==⨯=∑，故D 正确.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.【答案】2【分析】根据题意关系可得R r=，再结合侧面积公式运算求解即可.【详解】设球的半径为R ，由题意可知：234ππ3r R ⨯=⨯，解得R r =，223622R r ⎫===⎪⎭.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.【答案】【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得tan 3α=，然后利用正切函数定义即可得解.【详解】π1tan 5tan tan tan 41tan 2ααααα-⎛⎫+-=+=⎪+⎝⎭，整理得()()tan 32tan 10αα-+=，因为π02α<<，所以tan 0α>，所以tan 3α=，则310sin 10α==.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.【答案】2242133x y +=【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据垂直关系的坐标运算以及两点斜率公式，即可求解4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可求解.【详解】由已知条件可知,,0,a b a b >≠，联立2211x y ax by +=⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得：()2210a b x bx b +-+-=，设1,1,2,2，则1212Δ021b x x a b b x x a b ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,则()()()1212121222111a y y x x a b a y y x x a b ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=--=⎪+⎩，由OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，又因为2OM k =，所以1212121222220OM y y a k x x b a b x x y y a b +⎧⎪===⎪+⎪⎨⎪+-⎪+==⎪+⎩，解得4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以椭圆的方程为2242133x y +=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面11BB C C ，即可得1AC BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【小问1详解】侧面11BCC B 为正方形，11BC B C ∴⊥，直三棱柱1111,ABC A B C AC CC -∴⊥，111,,,,AC CC AC BC BC CC C BC CC ⊥⊥⋂=⊂ 平面11BB C C ，AC ∴⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ，1AC BC ∴⊥1111,,,BC B C AC B C C AC B C ⊥=⊂ 平面1AB C1BC ∴⊥平面1AB C ；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系1C ABC -，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2C A B B C .又由()()11,2,0,0,2,2AB BC =-=- ，设平面1ABC 的一个法向量为 =s s ，则有120220n AB x y n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，则2,1x z ==，于是()2,1,1n =，又由()1111,2,2,2,3,AB AB n AB n =-⋅=== 设直线1AB 与平面1ABC 所成的角为θ，所以1116sin cos ,9AB n AB n AB n θ⋅===⋅ ，故直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值为9.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.【分析】（1）根据周期求解2ω=，利用对称可得π3ϕ=，即可求解；（2）平移可得()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可利用整体法，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】设()f x 的最小正周期为T ，则ππ22T ω==，所以2ω=，因为()π2π3k k ϕ⨯+=∈Z ，所以()2ππ3k k ϕ=-∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】依题意，()ππππsin 2sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m ≤+≤+，当π6m <时，()g x 的最大值为()g m ，最小值为()102g =，不符题意；当π6m ≥时，()g x 的最大值为1，所以()g x 的最小值为1-，所以π3π262m +≥，解得2π3m ≥，所以m 的最小值为2π3.17.已知函数()f x 是()(0x g x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x f x f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3mn的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.【分析】（1）由题意可得()log a f x x =，()()2log 2log 1a a F x x x =--，结合题意解得2a =，进而可得22log 6,log 3m n ==，结合换底公式运算求解；（2）换元令log a t x =，根据二次函数值域结合t 的值域特征分析可得[]2,2t ∈-，列式求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，则()log a f x x =，即()()2log 2log 1a a F x x x =--，则()()24log 42log 411a a F =--=-，解得log 42a =或log 40a =（舍），可得2a =，即()2log f x x =，()2x g x =，又因为()()26log 6,23nf mg n ====，即22log 6,log 3m n ==，所以232log 6log 6log 33336mn ===.【小问2详解】由（1）可知：()()2log 2log 1a a F x x x =--，且1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令log a t x =，则[]log 2,log 2,(01a a t a ∈-<<时)或[]log 2,log 2,(1a a t a ∈->时），可得221y t t =--，若函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，可知221y t t =--的最小值2-，最大值7，令2212y t t =--=-，解得1t =；令2217y t t =--=，解得2t =-或4t =；且log 2a 与log 2a -互为相反数，可知[]2,2t ∈-，则log 22a -=或log 22a =，解得22a =或a =，综上所述，a =或.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ== .（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN λμ=+ ，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,λμ表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A B C A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC ∈，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+ ，又因为23CG CD = ，所以11113333CG CA CB CM CN λμ=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11133λμ+=，所以113λμ+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C λμ=++，所以12C C =由113λμ+=可得，3λμλμ=+≥（当且仅当λμ=时等号成立），解得49λμ≥，所以124293C C λμ=++，所以CMN 和ABC V 的周长之比的最小值为23.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240ef x -<<.【分析】（1）求导，利用导数求()f x 的单调性和极值；（2）（i ）求导可得()()()1ln f x x a x a x x a ⎡⎤=+++⎣⎦+'，构建()()()ln g x x a x a x =+++，由题意可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i ）可知，121e a x a -<<-，且()()()2111ln f x x a x a =-++，构建()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，利用导数求最值即可.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =，可知()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当()0f x '>；可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 的极小值为11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】（i ）由题意可得：()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()()()1ln ln x f x x a x a x a x x a x a⎡⎤=++=+++⎣⎦++'，设()()()ln g x x a x a x =+++，可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，则()()2ln g x x a =++'，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<；当21,e x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；可知()g x 在21,e a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在21,e a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递增，则()g x 的最小值为2211e e g a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，则()0,ln 0x a x a +>+<，可得()()ln 0x a x a ++<，可得()()()ln g x x a x a x x a =+++<<-，即当x 趋近于a -时，()g x 趋近于a -，可得210e 0a a ⎧--<⎪⎨⎪->⎩，解得210e a -<<，所以实数a 的取值范围为21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）可知，121ea x a -<<-，且()()111ln 0x a x a x +++=，所以()()()()211111ln ln f x x x a x a x a =+=-++，设()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()()ln 2ln h x x x =-+'，因为210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h x '<，可知210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，且2214e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()240e h x -<<，所以()1240e f x -<<.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解。

广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|(1)(3)0A x x B x x x =>=+-<，则()A B =R I ð（ ） A ．()3,+∞B ．()1,-+∞C ．()1,3-D ．(]1,1-2．若复数()13i 3i z -=-（i 为虚数单位），则z z -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uu u r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．54B ．1C ．78D ．585．若两个等比数列{}{},n n a b 的公比相等，且1234,2b a a ==，则{}n b 的前6项和为（ ） A ．578B ．638C ．124D ．2526．若函数()sin f x x x ωω=(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．27．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB V 面积的最小值为（ ）A ．6B ．112C ．92D ．6 8．已知函数y =f x 的定义域为R ，且f −x =f x ，若函数y =f x 的图象与函数()2log 22x x y -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+ B ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C ．若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D ．若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，内角A 的平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD △11．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >三、填空题12．在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =13．如果一个直角三角形的斜边长等于积为.14．已知函数()()0e 23xf x f x =-++'，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线e xxy =上，则PQ 的最小值为．四、解答题15．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．(1)若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值； (2)求ABC V 面积的最大值．16．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y ，求Y 的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠=o ，点D 是棱11A B 的中点．(1)证明：AD BC ⊥；(2)求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ,，直线l 经过点F ，且与C 相交于A ，B 两点，记l 的倾斜角为α. (1)求C 的方程；(2)求弦AB 的长（用α表示）；(3)若直线MN 也经过点F ，且倾斜角比l 的倾斜角大π4，求四边形AMBN 面积的最小值.19．如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()11,2,,i n i a a i n -+==L ，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.(1)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等差数列，且253,5==b b ，依次写出数列{}n b 的每一项；(2)设数列{}n c 是项数为21k -(k *∈N 且2k ≥)的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和.①若1c ，2c ，…，k c 构成单调递增数列，且2023k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值? ②若12024=c ，且212024k S -=，求k 的最小值.。

2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。

2019-2020学年湖北省襄阳四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x=3k.k∈N}.B={x|x=6z.z∈N}.则下列结论正确的是（）A.A∩B=AB.A∩B=BC.A=BD.以上均不对2.（单选题.5分）在复平面内.复数：z=|√3−i|1+i的共轭复数z应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题.5分）设实数x.y满足{x−2y≥0x+y≤1x+2y≥1.则z=x-y的最大值为（）A. −13B. −12C.2D.14.（单选题.5分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图.阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查）.现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人.则抽取的男生人数为（）A.8B.12C.16D.245.（单选题.5分）设函数f （x ）=log 2x.在区间（0.5）上随机取一个数x.则f （x ）＜1的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 456.（单选题.5分）已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称.则圆C 中以 (a2，−a2) 为中点的弦长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.（单选题.5分）已知{a n }为等差数列.a 1+a 2+a 3=165.a 2+a 3+a 4=156.{a n }的前n 项和为S n .则使得S n 达到最大值的是（ ） A.19 B.20 C.21 D.228.（单选题.5分）在直角梯形ABCD 中.AB=8.CD=4.AB || CD.AB⊥AD .E 是BC 的中点.则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =（ ）A.32B.48C.80D.649.（单选题.5分）将函数f （x ）=3sin2x 的图象向左平移 π12 个单位长度后得到g （x ）的图象.若函数g （x ）在区间 [0，2a 3] . [4a ，7π6] 上单调递增.则a 的取值范围是（ ）A. [π12，π4]B. [π6，π4]C. [π12，π6]D. [π8，3π16]10.（单选题.5分）过双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线.所作的这4条直线所围成的四边形的周长为12a.则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=±xB. y=±√3xC. y=±√2xD.y=±2x11.（单选题.5分）已知a=2019-2018.b=log20182019.c=log20192020.则a.b.c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞b＞aD.b＞c＞a12.（单选题.5分）设函数f(x)=√x .点O(0，0)，A(0，1)，A n(n，f(n))，n∈N∗ .设∠AOA n=αn.对一切n∈N*都有不等式sin2α112+sin2α222+sin2α332…sin2αnn2＜t2−2t−7成立.则正整数t的最小值为（）A.3B.4C.5D.613.（填空题.5分）曲线y=xlnx+3x在点（1.3）处的切线方程为___ ．14.（填空题.5分）已知椭圆y2+mx2=1（m＞0）的离心率为12.则m=___ ．15.（填空题.5分）已知α∈（0. π2）.且cos2α=sin(α−π2) .则tanα2=___ ．16.（填空题.5分）如图.在四棱锥P-ABCD中.顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB=2√2 .设点M.N分别为线段PD.PO上的动点.已知当AN+MN取得最小值时.动点M 恰为PD的中点.则该四棱锥的外接球的表面积为___ ．17.（问答题.12分）某市环保部门对该市市民进行了一次动物保护知识的网络问卷调查.每位市民仅有一次参加机会.通过随机抽样.得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据.统计结果如表所示：组别[40.50）[50.60）[60.70）[70.80）[80.90）[90.100）男 2 3 5 15 18 12 女 5 10 15 5 10非“动物保护关注者”是“动物保护关注者”合计男10 45 55 女15 30 45 合计25 75 100（2）若问卷得分不低于80分的人称为“动物保护达人”．现在从本次调查的“动物保护达人”中利用分层抽样的方法随机抽取6名市民参与环保知识问答.再从这6名市民中抽取2人参与座谈会.求抽取的2名市民中.既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的概率．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).其中n=a+b+c+d．P（K2≥K0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818.（问答题.12分）已知数列{a n}地公比为q的正项等比数列.{b n}是公差d为负数的等差数列.满足1a2−1a3=da1.b1+b2+b3=21.b1b2b3=91．（1）求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式；（2）求数列{|b n|}的前10项和S10．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.底面ABC为正三角形.AA1⊥底面ABC.AA1=3AB.点E在线段CC1上.平面AEB1⊥平面AA1B1B．（1）请指出点E 的位置.并给出证明；（2）若AB=1.求B 1E 与平面ABE 夹角的正弦值．20.（问答题.12分）过抛物线C ：y 2=2px （p ＞0））的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M.N 两点.且|MN|=2． （1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点Q （x 0.1）.直线l ：y=kx+m （其中k≠0）与抛物线C 交于A.B 两个不同的点（A.B 均与点Q 不重合）．设直线QA.QB 的斜率分别为 k 1，k 2，k 1k 2=−12 ． （i ）直线l 是否过定点？如果是.请求出所有定点；如果不是.请说明理由；（ii ）设点T 在直线l 上.且满足 OT ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .其中O 为坐标原点．当线段|OT|最长时.求直线l 的方程．21.（问答题.12分）已知函数 f (x )=e x −e x sinx ，x ∈[0，π2] （e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的值域；（2）若不等式f （x ）≥k （x-1）（1-sinx ）对任意 x ∈[0，π2] 恒成立.求实数k 的取值范围； （3）证明： e x−1＞−12(x −32)2+1 ．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 的参数方程为 {x =−1+2cosθy =1+2sinθ （θ为常数）．以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为θ= 23π （ρ∈R ）．若直线l 与曲线C 相交于M.N 两点．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为P.求|OP|的值．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-2a|+|x-4a+3|．（1）当a=1时.求不等式f（x）≤9的解集；（2）当a≠1时.若对任意实数x.f（x）≥4都成立.求a的取值范围．2019-2020学年湖北省襄阳四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x=3k.k∈N}.B={x|x=6z.z∈N}.则下列结论正确的是（）A.A∩B=AB.A∩B=BC.A=BD.以上均不对【正确答案】：B【解析】：集合A为自然数中3的倍数构成的集合.集合B为自然数中6的倍数构成的集合.由此能求出结果．【解答】：解：∵集合A={x|x=3k.k∈N}.∴集合A为自然数中3的倍数构成的集合.∵B={x|x=6z.z∈N}.∴集合B为自然数中6的倍数构成的集合.∴B⊆A．∴A∩B=B．故选：B．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基知识.考查运算求解能力.是基础题．的共轭复数z应的点位于（）2.（单选题.5分）在复平面内.复数：z=|√3−i|1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：A【解析】：求出| √3−i |.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵ z =|√3−i|1+i = 21+i=2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i .∴ z =1+i .∴复数 z 应的点的坐标为（1.1）.位于第一象限． 故选：A ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的代数表示法及其几何意义.考查复数模的求法.是基础题．3.（单选题.5分）设实数x.y 满足 {x −2y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1 .则z=x-y 的最大值为（ ）A. −13B. −12C.2D.1【正确答案】：D【解析】：画出约束条件的可行域.利用目标函数的几何意义求解最值即可．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −2y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1 的可行域.如图△ABC 内部（含边界）.作出直线l ：x-y=0.平移直线l.当l 过C （1.0）时.z=x-y 取得最大值1． 故选：D ．【点评】：本题考查线性规划的简单应用.数形结合的应用.是基本知识的考查．4.（单选题.5分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图.阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查）.现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人.则抽取的男生人数为（ ）A.8B.12C.16D.24【正确答案】：D【解析】：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为0.2.男生喜欢篮球运动的频率为0.6.从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人.利用分层抽样性质能求出抽取的男生人数．【解答】：解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为0.2.男生喜欢篮球运动的频率为0.6.从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人.=24．则抽取的男生人数为：32× 0.60.2+0.6故选：D．【点评】：本题考查等高条形图、分层抽样的应用.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（单选题.5分）设函数f（x）=log2x.在区间（0.5）上随机取一个数x.则f（x）＜1的概率为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：B【解析】：求出f（x）＜1时x的取值范围.再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】：解：由f（x）＜1.得log2x＜1. 解得0＜x＜2；根据几何概型的概率公式可得.从区间（0.5）内随机选取一个实数x.f（x）＜1的概率为：P= 2−05−0=25．故选：B．【点评】：本题考查几何概型的概率计算问题.是基础题．6.（单选题.5分）已知圆C：x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称.则圆C中以(a2，−a2)为中点的弦长为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：D【解析】：求出圆心.得到a.然后利用弦心距.半径.半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】：解：依题意可知直线过圆心（1.-2）.即3+4a-11=0.a=2．故(a2，−a2)=(1，−1)．圆方程配方得（x-1）2+（y+2）2=5.（1.-1）与圆心距离为1.故弦长为2√5−1=4．故选：D．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用.考查转化思想以及计算能力．7.（单选题.5分）已知{a n}为等差数列.a1+a2+a3=165.a2+a3+a4=156.{a n}的前n项和为S n.则使得S n达到最大值的是（）A.19B.20C.21D.22【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的定义与性质.求出公差d 和首项a 1.写出通项公式a n ；由此判断前n 项和的最大值是什么．【解答】：解：因为{a n }为等差数列.所以3d=（a 2+a 3+a 4）-（a 1+a 2+a 3）=156-165=-9. 解得d=-3.又a 1+a 2+a 3=3a 1+3d=165. 解得a 1=58.所以a n =58+（n-1）•（-3）=61-3n ； 由a n =61-3n≥0.解得n≤20. 所以S 20最大． 故选：B ．【点评】：本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题.也考查了前n 项和定义与应用问题.是基础题．8.（单选题.5分）在直角梯形ABCD 中.AB=8.CD=4.AB || CD.AB⊥AD .E 是BC 的中点.则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =（ ）A.32B.48C.80D.64【正确答案】：C【解析】：化简向量的数量积.利用向量的数量积的几何意义.转化求解即可．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .由数量积的几何意义可得： AB⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向投影的乘积. 又 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影为 12AB =4 .∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =32 . 同理 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =8×6=48 . ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32+48=80 ．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.考查转化思想以及计算能力．9.（单选题.5分）将函数f（x）=3sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到g（x）的图象.若函数g（x）在区间[0，2a3] . [4a，7π6]上单调递增.则a的取值范围是（）A. [π12，π4]B. [π6，π4]C. [π12，π6]D. [π8，3π16]【正确答案】：B【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式.再利用正弦函数的单调性.解不等式.求得a的范围．【解答】：解：将函数f（x）=3sin2x的图象向左平移π12个单位长度后得到g（x）=3sin（2x+ π6）的图象由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ .求得kπ- π3≤x≤kπ+ π6.可得g（x）的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k∈Z．要使得g（x）在区间[0，2a3]，[4a，7π6]单调递增.则[0，2a3]⊆[−π3，π6] . [4a，7π6]⊆[2π3，7π6] .所以2a3≤π6. 4a≥2π3.即a≤ π4.且a≥ π6.故选：B．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的单调性.不等式的解法.属于中档题．10.（单选题.5分）过双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线.所作的这4条直线所围成的四边形的周长为12a.则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=±xB. y=±√3xC. y=±√2xD.y=±2x【正确答案】：C【解析】：求出过右焦点与渐近线平行的一条直线方程.然后求解四边形的周长为12a.列出方程.然后求解渐近线方程．【解答】：解：过右焦点与渐近线平行的一条直线方程为bx-ay-bc=0.令x=0. y=−bca.∵这四条直线所围成的四边形周长为12a.∴ 3a=√b2c2a2+c2∴ √2a=b .所以渐近线方程为y=±√2x .故选：C．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查．11.（单选题.5分）已知a=2019-2018.b=log20182019.c=log20192020.则a.b.c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞b＞aD.b＞c＞a【正确答案】：D【解析】：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】：解：0＜a=2019-2018＜20190=1.b−1=log20182019−1=log201820192018＞log20181=0.c−1=log20192020−1=log201920202019＞log20191=0.∵ log201820192018＞log201920202019.∴b＞c＞1.∴b＞c＞a．故选：D．【点评】：本题考查三个数的大小的判断.考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（单选题.5分）设函数f(x)=√x .点O(0，0)，A(0，1)，A n(n，f(n))，n∈N∗ .设∠AOA n=αn.对一切n∈N*都有不等式sin2α112+sin2α222+sin2α332…sin2αnn2＜t2−2t−7成立.则正整数t的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】：B【解析】：化简数列的通项公式.利用裂项消项法求出数列的和.然后利用和判断最值.转化求解不等式即可．【解答】：解：由题意知：sinαn=n|OA n|.|OA n|2=n2+ √n2 =n2+n∴ sinαn=√n2+n.∴ sin2αnn2=1n2+n=1n−1n+1. sin2α112+sin2α222+sin2α332…sin2αnn2=1−12+12−13−14+⋯1n−1n+1=1−1n+1.随n的增大而增大.∴ 12≤1−1n+1＜1 .∴t2-2t-7≥1.即t2-2t-8≥0.∴正整数t的最小值为4．故选：B．【点评】：本题考查数列与函数综合.数列求和的应用.不等式的解法.考查计算能力.是中档题．13.（填空题.5分）曲线y=xlnx+3x在点（1.3）处的切线方程为___ ．【正确答案】：[1]4x-y-1=0【解析】：对函数求导.得到函数在这一点对应的切线的斜率.利用点斜式写出直线的方程．【解答】：解：∵f（x）=xlnx+3x.f′（x）=lnx+4.f′（1）=4.∴切线的方程是y-3=4（x-1）.即4x-y-1=0.故答案为：4x-y-1=0．【点评】：本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程.本题是一个基础题.注意本题和其他的题目有点不同.这里的导函数做出来是一个定值.这样也不影响解题．14.（填空题.5分）已知椭圆y2+mx2=1（m＞0）的离心率为12.则m=___ ．【正确答案】：[1] 34或43【解析】：椭圆y2+mx2=1.化为标准方程为y2+ x21m =1.根据椭圆的离心率e= ca= √1−b2a2.分类讨论即可求出．【解答】：解：椭圆y2+mx2=1.化为标准方程为y2+ x21m=1.当0＜m＜1时.则椭圆的离心率e= ca = √1−b2a2= √1−11m= √1−m = 12.解得m= 34.当m＞1时.则椭圆的离心率e= ca = √1−b2a2= √1−1m1= √1−1m= 12.解得m= 43.故答案为：34或43【点评】：本题考查了椭圆的标准方程和离心率.属于基础题．15.（填空题.5分）已知α∈（0. π2）.且cos2α=sin(α−π2) .则tanα2=___ ．【正确答案】：[1] √33．【解析】：利用二倍角公式以及诱导公式.求出cosα的值.得到α.然后求解即可．【解答】：解：因为cos2α=sin(α−π2) .所以2cos2α+cosα-1=0.解得cosα=12 .cosα=-1而α∈(0，π2) .得α=π3 .故tanα2=tan(π6)=√33.故答案为：√33．【点评】：本题考查二倍角的三角函数以及诱导公式的应用.特殊角的三角函数求值.考查计算能力．16.（填空题.5分）如图.在四棱锥P-ABCD中.顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB=2√2 .设点M.N分别为线段PD.PO上的动点.已知当AN+MN取得最小值时.动点M 恰为PD的中点.则该四棱锥的外接球的表面积为___ ．．【正确答案】：[1] 64π3【解析】：将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段.求出侧棱的长度【解答】：解：如图.在PC上取点M'.使得|PM'|=|PM|∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心.∴△POC≌△POD≌POA≌△POB∴PA=PB=PC=PD.∴|M'N|=|MN|.∴AN+MN=AN+NM'∴当AM'⊥PC时AM'最小.∵M为PD的中点.∴M'为PC的中点.∴PA=AC=4∴ |PO|=2√3 .又∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心.∴外接球的球心在PO上.．设外接球的半径为r.则r2=(2√3−r)2+4．解得r=4√33．故外接球的表面积为4πr2=64π3．故答案为：64π3【点评】：本题考查了直线外一点与直线上一点连线中.垂线段最短求最短距离的方法.还考查了外接球半径的求法.属于难题17.（问答题.12分）某市环保部门对该市市民进行了一次动物保护知识的网络问卷调查.每位市民仅有一次参加机会.通过随机抽样.得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据.统计结果如表所示：组别[40.50）[50.60）[60.70）[70.80）[80.90）[90.100）男 2 3 5 15 18 12 女 5 10 15 5 10非“动物保护关注者”是“动物保护关注者”合计男10 45 55 女15 30 45 合计25 75 100（2）若问卷得分不低于80分的人称为“动物保护达人”．现在从本次调查的“动物保护达人”中利用分层抽样的方法随机抽取6名市民参与环保知识问答.再从这6名市民中抽取2人参与座谈会.求抽取的2名市民中.既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的概率．.其中n=a+b+c+d．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥K0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【正确答案】：【解析】：（1）将2×2列联表中的数据代入公式计算K2的观测值.对照临界值得出结论；（2）由分层抽样法抽取样本数据.利用列举法求出基本事件数.计算所求的概率值．【解答】：解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式计算得K2的观测值为k=100(45×15−30×10)225×75×55×45≈3.03＜3.841 .所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下.不能认为是否是“动物保护关注者”与性别有关．（2）由题意知.利用分层抽样的方法可得男“动物保护达人”4人.女“动物保护达人”2人．设男“动物保护达人”4人分别为A.B.C.D；女“动物保护达人”2人为e.f．从中抽取两人的所有情况为：AB.AC.AD.Ae.Af.BC.BD.Be.Bf.CD.Ce.Cf.De.Df.ef共15种情况．既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的情况有：Ae.Be.Ce.De.Af.Bf.Cf.Df共8种情况．故所求的概率为P=815．【点评】：本题考查了独立性检验的应用问题.也考查了列举法求古典概型的概率问题.是基础题．18.（问答题.12分）已知数列{a n}地公比为q的正项等比数列.{b n}是公差d为负数的等差数列.满足1a2−1a3=da1.b1+b2+b3=21.b1b2b3=91．（1）求数列{a n}的公比q与数列{b n}的通项公式；（2）求数列{|b n|}的前10项和S10．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出数列{b n}的公差与首项.然后求解通项公式.然后求解数列{a n}的公比q．（2）求出数列变号的项.然后求解数列{|b n|}的前10项和S10．【解答】：解：（1）由已知.b1+b2+b3=3b2=21.得b2=7．又b1b2b3=(b2−d)•b2•(b2+d)=(7−d)•7•(7+d)=343−7d2=91 . 得：d=-6或6（舍）.b1=7+6=13.b n=--6n+19.于是1a2−1a3=−6a1.又|a n|是公比为q的等比数列.故1a1q −1a1q2=−6a1.所以.6q2+q-1=0. q=−12（含）或q=13；综上. q=13.d=-6.b n=19-6n．（2）设{b n}的前n项和为T n；令b n≥0.19-6n=0.得n≤3.于是. S3=T3=3(b1+b3)2=21 .易知.n＞3时.b n＜0.|b4|+|b5|+…+|b10|=-b4-b5-…-b10=-（b4+b5+…+b10）=-（T10-T3）=-（-140-21）=161.所以S10=182．【点评】：本题考查等差数列以及等比数列的应用.数列求和.考查转化首项以及计算能力．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.底面ABC为正三角形.AA1⊥底面ABC.AA1=3AB.点E在线段CC1上.平面AEB1⊥平面AA1B1B．（1）请指出点E的位置.并给出证明；（2）若AB=1.求B1E与平面ABE夹角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取AB中点为F.AB1的中点为G.连接CF.FG.EG．推导出四边形FGEC为平行四边形．从而CF || EG．推导出CF⊥AB．AA1⊥CF．从而CF⊥平面AA1B1B．EG⊥平面AA1B1B.由此推导出点E为线段CC1的中点时.平面AEB1⊥平面AA1B1B．（2）由AB=1.得AA1=3．点E到平面ABB1的距离为EG=CF=√32．记点B1到平面ABE的距离为h.由V B1−ABE =V E−ABB1.求出点B1到平面ABE的距离为32.由此能求出B1E与平而ABE夹角的正弦值．【解答】：解：（1）点E为线段CC1的中点．证明如下：取AB中点为F.AB1的中点为G.连接CF.FG.EG．所以FG || CE.FG=CE.所以四边形FGEC为平行四边形．所以CF || EG．因为CA=CB.AF=BF.所以CF⊥AB．又因为AA1⊥平面ABC.CF⊂平面ABC.所以AA1⊥CF．又AA1∩AB=A.所以CF⊥平面AA1B1B．所以EG⊥平面AA1B1B.而EG⊂平面AEB1.所以平面AEB1⊥平面AA1B1B．（2）由AB=1.得AA1=3．由（1）可知.点E到平面ABB1的距离为EG=CF=√32．而△ABB1的面积S△ABB1=12×1×3=32AE=BE=√132.等腰△ABE底边AB上的高为√134−14=√3 .记点B1到平面ABE的距离为h.由V B1−ABE =V E−ABB1=13×32×√32=13×ℎ×12×1×√3 .得ℎ=32.即点B1到平面ABE的距离为32．B1E与平而ABE夹角的正弦值3√1313．【点评】：本题考查满足面面垂直的点的位置的判断与求法.考查线面角的正弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识.考查运算求解能力.是中档题．20.（问答题.12分）过抛物线C：y2=2px（p＞0））的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C 于M.N两点.且|MN|=2．（1）求p的值；（2）抛物线C上一点Q（x0.1）.直线l：y=kx+m（其中k≠0）与抛物线C交于A.B两个不同的点（A.B 均与点Q 不重合）．设直线QA.QB 的斜率分别为 k 1，k 2，k 1k 2=−12 ． （i ）直线l 是否过定点？如果是.请求出所有定点；如果不是.请说明理由；（ii ）设点T 在直线l 上.且满足 OT ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .其中O 为坐标原点．当线段|OT|最长时.求直线l 的方程．【正确答案】：【解析】：（1）求得抛物线的焦点和准线方程.设出直线MN 的方程.联立抛物线方程.运用韦达定理和弦长公式.解得p ；（2）（i ）求得抛物线方程和Q 的坐标.设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立直线方程和抛物线方程.运用韦达定理和直线的斜率公式.结合直线恒过定点的求法.可得所求定点；（i i ）设动点T （x.y ）.由向量数量积的坐标表示可得T 的轨迹方程.结合圆内的点和弦长最短的情况.由两直线垂直的条件化简得到所求直线方程．【解答】：解：（1）抛物线的焦点为 F (p 2，0) .准线方程为x=- p 2.设直线MN 方程为y=x- p 2. 联立抛物线方程可得x 2-3px+ 14 p 2=0. 故x M +x N =3p.由抛物线的定义可得|MN|=x M +x N +p=3p+p=2. 解得p= 12；（2）（i ）由（1）知抛物线C 方程为y 2=x.从而点Q （1.1）. 设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）. 由 {y =kx +m y 2=x可得ky 2-y+m=0.△=1-4km ＞0（*）.∵k≠0.且 y 1+y 2=1k. y 1•y 2=m k． 由 k 1k 2=y 1−1x 1−1•y 2−1x 2−1=y 1−1y 12−1•y 2−1y 22−1=1y 1+1•1y 2+1=−12.可得y 1y 2+（y 1+y 2）+3=0.即 mk +1k +3=0 .从而m+1=-3k. 该式满足（*）式可得y=k （x-3）-1.即直线l 恒过定点H （3.-1）；（i i ）设动点T （x.y ）.∵ OT⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .∴（x.y ）•（x-3.y+1）=0.即x （x-3）+y （y+1）=0. ∴动点T 在圆x 2-3x+y 2+y=0上.故T 与H 重合时线段|OT|最长.此时直线l：y=3（x-3）-1.即：y=3x-10．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质.考查直线方程和抛物线的方程联立.运用韦达定理和直线的斜率公式.同时考查圆方程的求法.以及两直线垂直的条件.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f(x)=e x−e x sinx，x∈[0，π2]（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x-1）（1-sinx）对任意x∈[0，π2]恒成立.求实数k的取值范围；（3）证明：e x−1＞−12(x−32)2+1．【正确答案】：【解析】：（1）利用导数求函数的值域即可；（2）恒成立问题转化为最值即可；（3）构造函数可解决此问题．【解答】：解：（1）f'（x）=e x-e x（sinx+cosx）=e x（1-sinx-cosx）= e x[1−√2(sin(x+π4)] = −√2e x[sin(x+π4)−√22] .∵ x∈[0，π2] .∴ x+π4∈[π4，3π4] .∴ sin(x+π4)≥√22.所以f'（x）≤0.故函数f（x）在[0，π2]上单调递减.函数f（x）的最大值为f（0）=e0-e0sin0=1；f（x）的最小值为f(π2)=eπ2−eπ2sinπ2=0 .所以函数f（x）的值域为[0.1]．（2）原不等式可化为e x（1-sinx）≥k（x-1）（1-sinx）…（*）.因为1-sinx≥0恒成立.故（*）式可化为e x≥k（x-1）．令g（x）=e x-kx+k.则g'（x）=e x-k当k≤0时.g'（x）=e x-k＞0.所以函数g（x）在[0，π2]上单调递增.故g（x）≥g（0）=1+k≥0.所以-1≤k≤0；当k＞0时.令g'（x）=e x-k=0.得x=lnk.且当x∈（0.lnk）时.g'（x）=e x-k＜0；当x∈（lnk.+∞）时.g'（x ）=e x -k ＞0．所以当 lnk ＜π2 .即 0＜k ＜e π2 时.函数g （x ）min =g （lnk ）=2k-klnk=k （2-lnk ）＞0.成立；当 lnk ≥π2 .即 k ≥e π2 时.函数g （x ）在 [0，π2] 上单调递减. g (x )min =g (π2)=e π2−k π2+k ≥0 .解得 e π2≤k ≤e π2π2−1综上. −1≤k ≤e π2π2−1．（3）令 ℎ(x )=ex−1+12(x −32)2−1 .则 ℎ′(x )=e x−1+x −32．由 ℎ′(12)=e−12−1＜0，ℎ′(34)=e−14−34＞0 .故存在 x 0∈(12，34) .使得h'（x 0）=0即 e x 0−1=32−x 0 ．且当x∈（-∞.x 0）时.h'（x ）＜0；当x∈（x 0.+∞）时.h'（x ）＞0．故当x=x 0时.函数h（x ）有极小值.且是唯一的极小值.故函数 ℎ(x )m in =ℎ(x 0)=e x 0−1+12(x 0−32)2−1 = −(x 0−32)+12(x 0−32)2−1=12[(x 0−32)−1]2−32=12(x 0−52)2−32 .因为 x 0∈(12，34) .所以12(x 0−52)2−32＞12(34−52)2−32=132＞0 .故 ℎ(x )=e x−1+12(x −32)2−1＞0 . e x−1＞−12(x −32)2+1 ．【点评】：本题考查函数的值域的求法.恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化． 22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 的参数方程为 {x =−1+2cosθy =1+2sinθ （θ为常数）．以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为θ= 23π （ρ∈R ）．若直线l 与曲线C 相交于M.N 两点． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P.求|OP|的值．【正确答案】：【解析】：（1）将曲线C 的参数方程转化为普通方程.然后将普通方程转化为极坐标方程即可； （2）将直线l 代入曲线C 中.得到关于ρ的方程.设M （ρ1.α）.N （ρ2.α）.由根与系数的关系可得ρ1+ρ2的值.再根据条件可得|OP|= |ρ1+ρ22| ．【解答】：解：（1）因为曲线C 的参数方程为 {x =−1+2cosθy =1+2sinθ（θ为常数）.所以曲线C 的普通方程为（x+1）2+（y-1）2=4. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=2； （2）将直线l 的方程θ= 23π 代入曲线C 的方程中. 得 ρ2−(√3+1)ρ−2=0 .因为直线l 与曲线C 相交于M.N 两点. 设M （ρ1.α）.N （ρ2.α）.则 ρ1+ρ2=√3+1 . 又线段MN 的中点为P. 所以|OP|= |ρ1+ρ22| = √3+12．【点评】：本题考查了直角坐标方程.参数方程和极坐标之间的转化.考查学生的运算能力和转换能力.属中档题．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-2a|+|x-4a+3|． （1）当a=1时.求不等式f （x ）≤9的解集；（2）当a≠1时.若对任意实数x.f （x ）≥4都成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将a=1代入f （x ）中.根据f （x ）≤9.去绝对值解不等式可得解集； （2）分a ＞1和a ＜1求出f （x ）的最小值.根据对任意实数x.f （x ）≥4都成立.可得f （x ）min ≥4.然后解出a 的范围．【解答】：解：（1）当a=1时.f （x ）=|2x-2|+|x-1|=3|x-1|． 因为f （x ）≤9.所以-3≤x -1≤3.所以-2≤x≤4. 所以不等式的解集为{x|-2≤x≤4}；（2）当a ＞1时.a ＜4a-3.f （x ）= {3x −6a +3，x ＞4a −3x +2a −3，a ≤x ≤4a −3−3x +6a −3，x ＜a.则f（x）在（-∞.a）上单调递减.在（a.+∞）上单调递增. 所以f（x）min=f（a）=3a-3．因为对任意实数x.f（x）≥4都成立.所以f（x）min=3a-3≥4.所以a≥ 73.当a＜1时.同理可得a≤- 13.综上.a的取值范围为（-∞.- 13]∪[ 73.+∞）．【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题.考查了转化思想和分类讨论思想.属中档题．。