三重积分的计算方法及经典例题

例．计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由球面
x2 y2 z2 R2所围成的空间闭区域。
解： {(x, y, z) x2 y2 R2 z2, c z c}，
z2dxdydz R Rz2dzdxdy,
D (z)
故
z 2 dxdydz
RR
z
2
(R2
z2
)dz
4 15
R3
。
课堂练习题：
2．设f(x,y,z)在有界闭区 上域连续 ，且关 于 原 点 对称。若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为奇函数，即
f (x,y,z)f (x,y,z)，则f(x,y,z)dxdydz0 ；
若f(x,y,z) 关于变量x，y，z为偶函数，即 f(x,y,z)f(x,y,z) ，则三重积分等于其一半对称
（ 1 ） 求 y z d， x d 由 z yR d 2 z x 2 y2，
x 2 y2 R及 z y 0所 围 成 。
z
R
o
Ry
x
解 ： 在 x面 o 上 的 投 y 影 区 域 为 D x ： y x 2 y 2 R ，
R2x2y2
yzdxdydydz x0dy
zdz
Dxy
1 2
y(R2x2y2)dxdy
当函 f(x,y 数 ,z)在 上连 ,则 续得 时
f(x,y,z)d v [z2(x,y)f(x,y,z)d]d z
D xyz1(x,y)
（ 先 一 后 二 法 ） 。
若 D x 可 用 y 不 等 式 y 1 ( x ) y y 2 ( x ) ， a x b 表 示 ， 则
f(x ， y ， z )d v b dy x 2 (x )dz 2 y (x ,y )f(x ， y ， z )dz

x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称

z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz

0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,

由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,


则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性

v1, v2,…, vn,
其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。
在每个vi上任取一点( i , i, i) ，作乘积 f (
i
,
i,

i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
i 1
如果当各小闭区域直径的最大值趋于零时
1
1)
dv, 其中
:
x2 y2 z2 1 。
13
解 (1) ( x y z)dv 空间区域 如图所示。
z C (0,0,1)
由于空间区域 对三个变量
是对称的, 并且被积函数也是对
o
称的。因此有 :
x A (1,0,0)
xdv ydv zdv
6
f (x, y, z)
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

a
1 ( x )
z1( x , y )
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最 后对x的三次积分。
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
化为三次积分形式, 其中 为
(1) : x2 z2 R2 , y 0, y H;
(2) : x 1 y2 z2 , x 0 。
解 (1)及在zox面上的投影如下图
z
z
R
o x
Hy
Dzx
o Rx
10
z R o x
Hy
z
Dzx
o Rx

f

z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,