(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple

Integral

姓名：蒋晓颖

学号： 1007012048

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：蒋新荣（副教授）

完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结

蒋晓颖

【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。

【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral

Jiang Xiaoying

【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．

【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

目录

1 引言 (1)

2 三重积分的概念和性质 (1)

2.1 三重积分的概念 (1)

2.2三重积分的性质 (2)

3 三重积分的计算方法 (3)

3.1 化三重积分为累次积分 (3)

3.1.1 投影法 (3)

3.1.2 截面法 (4)

3.1.3 三重积分化为累次积分的应用 (4)

3.2 三重积分换元法 (7)

3.2.1 一般坐标变换 (7)

3.2.2 柱面坐标变换 (7)

3.2.3 球面坐标变换 (7)

3.2.4 三重积分坐标变换的应用 (8)

3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分 (10)

3.3.1 积分区域关于某平面对称的情形 (10)

3.3.2 积分区域关于积分变换轮换对称的情形 (14)

3.3.3 三重积分对称性的应用 (14)

3.4 利用曲面积分计算三重积分 (15)

4 小结 (19)

参考文献 (20)

1 引言

三重积分的计算是初学者的一个难点．计算三重积分即要将它化成累次积分，教材中给出了计算公式、换元法和定限法，但要具体地实现这一点，既要有较强的几何直观能力，以便于将积分体表示成适当的形式，又需要灵活的选择计算公式和方法，以便于计算．其中的方法和技巧学生难以把握，为了更快更好地培养学习者在这方面的能力，本文总结出三重积分计算中的若干处理方法．

2 三重积分的概念和性质

2.1 三重积分的概念

类似于第一型曲线积分，求一个空间立体V 的质量M 就可导出三重积分．设密度函数为(x,y,z)f ，为了求V 的质量，我们把V 分割成n 个小块V 1，V 2，…, Vn ，在每个小块V i 上任取一点(,,)i i i ξηζ ，则

1

lim (,,),n

i i i i T i M f V ξηζ→==?∑

其中i V ? 为小块i V 的体积，{}1max i

i n

T V ≤≤=的直径 ．

设(x,y,z)f 是定义在三维空间可求体积的有界区域V 上的有界函数．现用若干光

滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，它把V 分成n 个小区域V 1，V 2，…, Vn ，记V i 的

体积为i V ?（i =1,2,…,n ），{}1max i

i n

T V ≤≤=

的直径．在每个

V i 中任取一点

(,,)i i i ξηζ，作积分和

1

(,,)n

i

i

i

i

i f V ξηζ=?∑ ．

定义：设(x,y,z)f 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一

个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T δ<，属于分割T 的所有积分和都有

1

(,,)n

i

i

i

i f J

ξηζε=-<∑，

则称(x,y,z)f 在V 上可积，数J 称为函数(x,y,z)f 在V 上的三重积分，记作

(,,)(,,)dxdydz V

V

J f x y z dV J f x y z ==?????? 或

其中(x,y,z)f 称为被积函数，x,y,z 称为积分变量，V 称为积分区域．

当(x,y,z)f ≡1时，

V

dV ???在几何上表示V 的体积．

2.2 三重积分的性质

三重积分具有与二重积分相应的有关性质．类似于二重积分，有

１、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，k 为常数，则(,,z)kf x y 在Ω上也可积，且

(,,)(,,).kf x y z dV k f x y z dV Ω

Ω

=??????

２、若(x,y,z)f ，g(x,y,z)在区域Ω上可积，则(x,y,z)(x,y,z)f g ±在Ω上也可

积，且

[](,,)(,,)(,,)(,,).f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV Ω

Ω

Ω

±=±?????????

３、若(x,y,z)f 在12ΩΩ和上都可积，且12ΩΩ和无公共内点，

则(x,y,z)f 在1

2

ΩΩ上也可积，且

12

1

2

(,,)(,,z)d (,,z)d f x y z dV f x y V f x y V ΩΩΩΩ=+?????????

４、若(x,y,z)f ，g(x,y,z)在区域Ω上可积，且(x,y,z)(x,y,z)f g ≤，

(,,)x y z ∈Ω，则(,,)g(,,).f x y z dV x y z dV Ω

Ω

≤??????　

５、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，则(x,y,z)f 在Ω上也可积且

(,,)(,,)f x y z dV f x y z dV Ω

Ω

≤??????

．

６、若(x,y,z)f 在区域Ω上可积，且(,,),m f x y z M ≤≤ (,,),x y z ∈Ω 则

(,,),mV f x y z dV MV ΩΩΩ

≤≤??? 这里V Ω是积分区域Ω的的体积．

７、（中值定理） 若(x,y,z)f 在有界区域Ω上连续，则存在(),,ξηζ∈Ω，使得

(,,)(,,)f x y z dV f V

ξηζΩ

Ω

=??? ，这里V Ω 是积分区域Ω的体积．

3 三重积分的计算方法

3.1 化三重积分为累次积分

3.1.1 设想将积分区域缩为平面区域（投影法）

定理1﹑ 若函数(x,y,z)f 在长方体[][][]

,,,V a b c d e h =??上的三重积分存在，且对任意[][][]

(,),,,x y a b c d e h ∈??，(,)(,,)h

c

g x y f x y z dz =

?

存在，则积分

(,)D

g x y dxdy ?? 也存在，

且(,,)dxdydz (,,).h

c

V D

f x y z dxdy f x y z dz =??????

（1） 证 用平行于坐标轴的直线做分割T ,它把V 分成有限多个小长方体

[][]111,,,.ijk i i j j k k V x x y y z z ---??=????

设,ijk ijk M m 分别是(x,y,z)f 在ijk V 上的上确界和下确界．对任意

()[]1

1,,,i

j

i i j j x

x y y ξη--??∈??? ，1

(,,)k

k z ijk k i j ijk k z m z f z dz M z x ξη-?≤≤??

．

现按下标k 相加，有

1

(,,)(,,)(,)k

k x h

i i i i i i x c

k

f z dz f z dz

g ξηξηξη-==∑?

?

以及

,,,,,(,)ijk

i j k i j i j ijk i j k i j k

i j

i j k

m

x y z g x y M x y z ξη???≤??≤???∑∑∑ ． （2）

上述不等式两边是分割T 的下和与上和．由(x,y,z)f 在V 上可积，当0T →时，下和与上和具有相同的极限，所以由（2）式得(,)g x y 在D 上的连续函数，函数

(,,)f x y z 在V 上的三重积分存在，且对任意(,)x y D ∈，

21(,)

(,)

(x,y)(,,z)dz z x y z x y G f x y =?

．

亦存在，则积分

(,)D

G x y dxdy ??存在，且

21(,)

(,)

(,,)(,)(,,z)dz z x y z x y V

D

D

f x y z dxdydz G x y dxdy dxdy f x y ==????????

（3）

证 定义()()0(,,),,,,

(,,)0,,\,

f x y z x y z V F x y z x y z V V ∈??=? , ∈??

其中[][

][]

0,,,V a b c d e h =??，对(,,)F x y z 应用定理1，则有

()[][]

21,,(,)(,)

(,,)(,,),,(,,).

V

V h

e a b c d z x y z x y D

f x y z dxdydz F x y z dxdydz

dxdy F x y z dz dxdy f x y z dz ?= =

=????????

????

3.1.2 设想将积分区域收缩为一条直线段（截平面法）

定理2、 若函数(,,)f x y z 在长方体[][][]

,,,V a b c d e h =??上的三重积分存在，且对任何[]

,x a b ∈，二重积分

()(,,)D

I x f x y z dydz =??

也存在，其中[][]

,,D c d e h =?，则积分

(,,)b

a

D

dx f x y z dydz ???

也存在，且

(,,)(,,)b

a

V

D

f x y z dxdydz dx f x y z dydz =??????．

推论 [][][]

,,,V a b c d e h ???，函数(,,)f x y z 在V 上三重积分存在，且对任意固定的[]

,z e h ∈，积分

()(,,)Z

D z f x y z dxdy ?=??存在，其中z D 是截面

(){},(,,)x y x y z V ∈，则()h

e

z dz ??存在，且

(,,)()(,,)Z

h h

e

e

V

D f x y z dxdydz z dz dz f x y z dxdy ?==???????.

3.1.3 三重积分化为累次积分的应用

例1 计算积分2

V

dV

I ρ

=

???其中ρ是点(),,x y z 到x 轴的距离，即2

2

2

y z ρ=+，V 为

一棱台，其六个顶点为()()()()()0,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,2,0,2,2A B C D E

()2,2,2F .

（图１）

解一：（投影法）积分区域V 在yOz 平面上的投影区域ABED Ω≡(梯形)．对任意给定的点()00,y z ∈Ω，点()00,,x y z 随x 增大时，当0x =时穿入V ，当0x y =时穿出V ，故()(){},,,,0V x y z y z x y =∈Ω≤≤．

所以

22220

2

222221

1121ln ln 2.22

y z

dx y

I dydz dydz y z y z y z dz dy dz y z z Ω

Ω

==++ ===+???

????

?

解二：（截面法）将V 向z 轴上投影，得到的区间是[]1,2，任意取定[]

1,2z ∈，z z =在V 上截口为等腰直角三角形区域:0,0z D y z x y ≤≤≤≤因此

2

2

22

1

222

1

ln 2

.2

z V D z y dV

dxdy

I dz y z dx dz dy y z ρ==+ ==+???

???

???

例2 设

()2222

1,,0,2x y z V x y z z y zx ??++≤??= ≥???? ≥??

求积分V I y dv =???．

分析 作

4

π

的旋转变换 ,,22

z x =

= 则22y zx =变成222

y u v =-，即2

2

2

u y v =+．可见2

2y zx =是以u 轴为对称轴的直角锥（如图2）

(){}

2

222,1,2.z D x y x

y z y zx =

+≤-≤

注意，化为极坐标时2

2y zx =变为2

2

sin 2cos .r zr θθ=

由此22

1

cos z z r r

θ--±+=．故有

解（截面法）利用对称性

(

)

()2

22

1

2

11

10

cos 0

1

12220

222sin 1

22.8

z

z z z r V

V D y z I y dv ydv dz ydxdy dz rdr r d dz zr r z r r dr π

θθ

π---++≥-==== =-+++=

+???????????

?

??

（图2）

3.2 三重积分换元法

3.3.1 一般坐标变换

和二重积分一样，某些类型的三重积分作适当的变量变换后能使计算方便． 设变换()()(),,,,,,,,T x x u v w y y u v w z z u v w :===，把uvw 空间中的区域'V 一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()()(),,,,,,,,x u v w y u v w z u v w 及它们的一阶偏导数在'V 内连续且函数行列式

()(),,0,,,'dx dx dx

du dv dw dy dy dy

J u v w u v w V du dv dw dz dz dz du dv dw

= ≠ ∈ ．

于是与二重积分换元法一样，可以证明成立下面的三重积分换元公式：

()()()()()(),,,,,,,,,,,,,

V

V

f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw =??????3.2.2 柱面坐标变换

cos ,0,:sin ,02,,.x r r T y r z z z θθθπ= ≤<+∞ ??

= ≤≤ ??= -∞<<+∞ ?

（４） 由于变换T 的函数行列式

()cos cos cos ,,sin sin sin ,0J r z r θθθ

θθθθ = = 0 1

按（４）式，三重积分的柱面坐标变换元公式为

()'

(,,)cos ,sin ,V

V f x y z dxdydz f r r z rdrd dz θθθ=??????

3.2.3 球坐标变换

sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r T y r z z ?θ?θ?π?θπ= ≤<+∞ ??

= ≤≤ ??= ≤≤ ?

由于

()2sin cos cos cos sin sin ,,sin sin cos sin sin cos cos sin 0

sin ,

r r J r z r r r r ?θ?θ?θ

θ?θ?θ?θ??? -=

- =

当?在[]

0,π上取值时，sin 0?≥，所以在球坐标变换下，按公式（４），三重积分的球坐标换元公式为

()()2'

,,sin cos ,sin sin ,rcos r sin ,V

V f x y z dxdydz f r r drd d ?θ?θ???θ =??????

这里V 为'V 在球坐标变换下的原象．

3.2.4 三重积分坐标变换的应用

例3 计算

()V

x y dxdydz +???，其中V 是有曲面()22

2x y z +=与4z =为界的区域（如图3）

解 V 在xOy 平面上的投影区域D 为2

2

2x y +≤．按柱坐标变换，区域'V 可表为

(

){}

2',,24,02.V r z r z r θθπ=≤≤≤≤≤≤

所以由公式（５），有

(

)22

23'24

30

283

V

V r

x

y dxdydz r drd dz

d r dz π

θπ

θ+= ==

????????

（图３）

例4 求V

I zdxdydz =???，其中V 为由222

2221x y z a b c ++≤与0z ≥所围区域．

解 作广义球坐标变换

sin cos ,:sin sin ,cos ,x ar T y br z cr ?θ?θ?= ??

= ??= ?

于是2

sin J abcr ?=．在上述广义球坐标变换下，V 的原象为

()',,01,0,02.2V r r π?θ?θπ??=≤≤≤≤≤≤????

则有

33

'21

232

220

2

sin cos sin cos sin cos 2.

4

V

V zdxdydz abc r drd d d d abc r dr

abc

d abc ππ

π

???θθ???π???

π= = =

=??????????

例5 计算积分()arctan V

I y z zdxdydz =

-???其中V 是由曲面

()2

221,0,2

z y z R z z h +

-===及所围成之立体． 解

令,,x u y z z w =-==．即：

,,.z u y w z w ==+=

于是

10001001

J ==

(){

}

222,,0,.V u v w w h u v R =≤≤+≤

从而

222

222

arctan arctan 0

h

u v R h u v R I dw

w wdw

vdudv +≤+≤= =2=???

???

（有对称性，我们可以直接看出

222

0u v R vdudv +≤=??

．）

3.3 利用奇偶性和对称性计算三重积分

在重积分计算中，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常可使计算

更为简捷．本文将对三重积分中应用奇偶性和对称性作一概述．在给出若干基本结论的基础上，对常见的几类处理方法作一介绍．

3.3.1 积分区域关于某平面对称的情形

3.3.1.1 空间对称区域上三元奇偶函数的定义

设(,,)()u f x y z f M ==是定义在平面π为对称平面的三维区域Ω上的三元函数，'M M ∈Ω、 （M 与'M 关于π互为对称点）．

若()()()()()',',f M u f M f M f M u f M ππ-=Ω??=?=Ω??则称为上关于平面的奇函数

则称为上关于平面的偶函数

3.3.1.2 三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及证明

上述定义中，若以π为对称平面将区域Ω分为1Ω和1'Ω两部分，则1Ω的体积=1'

Ω的体积，当1M ∈Ω时，1''M ∈Ω．且有

()()()()1

0,,,,,2,,,,,f x y z f x y z dV f x y z dV f x y z Ω

ΩΩ??

=?Ω?????

???为上的连续奇函数

为上的连续偶函数

事实上，设区域Ω以平面

π：0Ax By Cz D +++= 为对称平面，

()0001,,M x y z ∈Ω，则()0001'',',''M x y z ∈Ω．下面找出M 与'M 的关系．

设过点M 与'M 的直线为l ，由于直线l 与平面π垂直，因此直线l 的方程为：

000

x x y y z z A B C

---==

． 设直线l 与平面π的交点为(),,P x y z ，解方程组

0000Ax By Cz D x x y y z z A

B C +++=??

?---==??

得P 点的坐标为()()()20002

0002000111x A a x ABay ACaz ADa

y ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ?=----??=-+---??=--+--??

其中222

1

a A B C

=

++

由于P 点又是M 与'M 连线的重点，所以000000'2'2'2x x x y y y z z z +?=??

+?

=??

+?=??

，

从而进一步得：()()()200002

000020

000'12222'21222'22122x A a x ABay ACaz ADa

y ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ?=----??=-+---??=--+--??．

而

()()()1

1'

,,,,',',''''f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dx dy dz Ω

ΩΩ==????????? ，

对

()1'

',',''''f x y z dx dy dz Ω???作变换：

()()()22

2'12222'21222'22122x A a x ABay ACaz ADa y ABax B a y BCaz BDa z ACax BCay C a z CDa ?=----??=-+---??=--+--??

雅克比式：

()222222

122221*********A a ABa ACa A AB AC J ABa B a BCa a AB B BC ACa BCa C a

AC BC C - - =- - -=-- =-- - -

当(,,)f x y z 为Ω上的奇函数时，(',',')(,,)f x y z f x y z =-， 因此：

()()()1

1

1

',','''',,,,f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ=-=-?????????．

当(,,)f x y z 为Ω上的偶函数时，(',',')(,,)f x y z f x y z =， 因此：()()()1

1

1

',','''',,,,f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ==?????????．

故有

()()()()1

0,,,,,2,,,,,f x y z f x y z dV f x y z dV f x y z Ω

Ω

Ω??

=?Ω?????

???为上的连续奇函数为上的连续偶函数 ．

3.3.1.3 空间区域关于坐标平面对称的情形

作为上述问题的特例，当π取坐标xOy 平面时，我们有：

设Ω关于坐标平面xOy 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点

()',,M x y z -∈Ω．

若()()()()()',',f M u f M z f M f M u f M z -=Ω??=?=Ω??则称为上关于的奇函数

则称为上关于的偶函数

那么

()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z z f x y z dV f x y z dV f x y z z Ω

Ω

??

=?

?????

???为关于的奇函数

为关于的偶函数

当π取坐标平面xOy 时，我们有：

设Ω关于坐标平面yOz 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点

()',,M x y z -∈Ω．

若()()()()()',',f M u f M x f M f M u f M x -=Ω??=?=Ω??则称为上关于的奇函数

则称为上关于的偶函数

那么

()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z x f x y z dV f x y z dV f x y z x ΩΩ

??

=?????????为关于的奇函数

为关于的偶函数 当π取坐标平面xOz 时，我们有：

设Ω关于坐标平面xOz 对称，即若(),,M x y z ∈Ω，则其对称点

()',,M x y z -∈Ω．

若()()()()()',',f M u f M y f M f M u f M y -=Ω??=?=Ω??则称为上关于的奇函数

则称为上关于的偶函数

那么

()()()()0,,,,,2,,,,,f x y z y f x y z dV f x y z dV f x y z y Ω

Ω

??

=?

?????

???为关于的奇函数为关于的偶函数 3.3.2 积分区域关于积分变量为轮换对称的情形

若当(),,M x y z ∈Ω时，有()',,M y z x ∈Ω﹑(),,M z x y ∈Ω，就称空间区域Ω

关于变量x ﹑y ﹑z 具有轮换对称性．

若三重积分的积分区域Ω具有轮换对称性．同时被积函数(),,f x y z 关于变量

x ﹑y ﹑z 也具有轮换对称性（即()()(),,,,,,f x y z f y z x f z x y == ）

．就有 ()()(),,,,,,f x y z dV f y z x dV f z x y dV Ω

Ω

Ω

==?????????

则：

()()()(),,,,,,3,,f x y z dV f y z x dV f z x y dV f x y z dV Ω

Ω

Ω

Ω

++=????????????

3.3.3 三重积分对称性的应用

例6 计算

()222222ln 11

z x y z dv x y z Ω

++++++???

，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的

闭区域．

解： 积分区域Ω关于xOy 平面对称，而被积函数

()2222

2

2

ln 11

z x y z x y z ++++++是关于z 的

奇函数（即()()()()2

22222222222

ln 1ln 111

z x y z z x y z x y z x y z ??-++-++++??=-+++++-+）．故所求积分等于0． 例7 计算

xzdxdydz Ω

???,其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物面2

y x =所围成的区域.

解: 积分区域Ω关于yOz 平面对称,而被积函数

xz 是关于x 的奇函数(即

()x z xz -=-),故所求积分为0.

例8 计算

()x y z dxdydz Ω

++???,其中Ω为三个坐标平面及平面1x y z ++=所围

成的闭区域.

解: 由于被积函数和积分区域都满足对x y z 、、 的轮换性,因此

()333x y z dxdydz xdxdydz ydxdydz zdxdydz Ω

Ω

Ω

Ω

++===????????????,

()()11110

110

2

10111

1224

xy

x y

x

x y

D x

xdxdydz xdxdy dz xdx dy dz

xdx x y dy

x x dx -----Ω

-== =-- =-=

??????

??

?

??

?

得:()

18x y z dxdydz Ω

++=??? 例9 计算

()4z y dv Ω

-???,其中Ω为三个坐标平面及平面1,1,1x y z ===所围成的

立方体.

解:利用被积函数和积分区域关于积分变量的对称性,可知

zdv ydv Ω

Ω

=??????.因此:

()111

0003

44332

z y dv zdv ydv zdv dx dy zdz Ω

Ω

Ω

Ω

-=-===

???????????????. 利用三重积分的对称性可以有效地简化计算,但在使用时必须兼顾积分区域和被积函数两个方面,否则可能导致错误的结果.另外,三重积分计算是曲面积分计算的基础,对三重积分对称性的研究可为进一步研究简化曲面积分计算做准备.

3.4 利用曲面积分计算三重积分

在曲面积分的计算中，高斯公式建立了空间封闭曲面上的曲面积分与三重积分的联系．但是，由于高斯公式在结构上的特殊性，在应用高斯公式是往往事蒋曲面积分的计算转化为三重积分的计算，却很少利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分的计算，忽视了曲面积分在三重积分计算中的作用．本文给出把一类三重积分在三重积分转化成曲面积分的一个定理，并举例说明这个定理的一些应用．本文中列举的例子其目的只是说明应用这个定理如何计算三重积分，也许这个例子利用三重积分的计算公式直接计算更为简单一些．

3.4.1 高斯公式的另一种表示方式

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

(精选)三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法

高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法 【知识要点】 一、曲边梯形的定义 我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x x f n ξ==-= ?=∑∑ 如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b a S f x dx =?， 其中 ? 是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx 是被积式. 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋 近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③ 求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b b a a kf x dx k f x dx k =??为常数（定积分的线性性质）； 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??（定积分的线性性质）；

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖 学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授） 完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结 蒋晓颖 【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。 【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral． 【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质 1212(1)()()(). (2)[()()]()(). (3)()()()(). b b a a b b b a a a b c b a a c kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+????????为常数其中a。 例题：1.2352 2(+5x )0 x dx -=?（同步训练P32 第3题） 2. a a a (cos -5sin 2)(cos -5sin )24a a a x x x dx x x x dx dx a ---+=+=? ?? 3) (2007枣庄模拟)已知f(x)为偶函数，且60 ()8 f x dx =? ，则6 6 ()f x dx -? 等于（ B ） Ａ.０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ.16 （同步训练P30 第6题） 4．利用定积分求曲边多边形的面积 在直角坐标系中，要结合具体图形来定： 方法总结：求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形，（2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限； (1)(); (2)()(); (3)()()()(); (4)[()()]b a b b a a c b c b a c a c b a S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx == =-=+=-=-?? ??????

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

定积分证明题方法总结六

定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限

1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上