高考数学第1轮总复习 5.1向量的概念及其几何运算(第2课时)课件 文(广西专版)

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1 个单
位 e 相同 相反 平行 a∥b 共线 相等 相同 a＝
b 相等 相反 a＝－b
2．三角形 平行四边形 b＋a a＋(b＋c) 三角形
|λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb
3．充要 b＝λa
基础自测 1.下列命题正确的是( ) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a 与 b 是共线向量，b 与 c 是平行向量，则 a 与 c 是 方向相同的向量 D．相等的向量必是共线向量
⑥中当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，∴⑥错． ∴①②③⑥不正确．④⑤正确．∴应选 C. [答案] C
[方法总结] 准确理解向量的有关概念是解决这类题目 的关键，一定要注意向量不仅有大小，而且有方向，这是与 数量的最大不同之处，且莫忽视解决与向量概念有关的问题 时，一定要考虑全面，要考虑一些特殊情况，如零向量、共 线向量所在直线是平行向量还是重合等，有时还需结合图形 来分析．
已知平面内有一点 P 及一个△ABC，若P→A＋P→B＋P→C＝ A→B，则( )
A．点 P 在△ABC 外部 B．点 P 在线段 AB 上 C．点 P 在线段 BC 上 D．点 P 在线段 AC 上
[答案] D
[解析] ∵P→A＋P→B＋P→C＝A→B， ∴P→A＋P→B＋P→C－A→B＝0， 即P→A＋P→B＋B→A＋P→C＝0. ∴P→A＋P→A＋P→C＝0. 2P→A＝C→P，∴点 P 在线段 AC 上．
C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C＝( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
[答案] A

直线 l⊥平面α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显
然一个平面的法向量有 无数 个，它们是共线向量．
知识点四 空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2
l1∥l2 l1⊥l2
n1∥n2⇒n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
l∥α 直线 l 的方向向量为 n，平面α的法向量为 m
空 间 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) 、 P2(x2 ， y2 ， z2) 之 间 的 距 离 为 |P1P2| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
知识点三 两个重要的向量
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向
向量有 无数 个．
2．平面的法向量
l⊥α
n⊥m⇔m·n＝0 n∥m⇔n＝λm
平面α、β的法向量分别为 n、m
α∥β α⊥β
n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
归纳拓展
1．向量三点共线定理
在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y＝1)，
O 为平面内任意一点．
2．向量四点共面定理
在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中
连接 AQ 并延长交 BC 于 H，
则P→Q＝P→A＋2A→H 3
＝P→A＋2(P→H－P→A)＝1P→A＋2P→H
3
33
＝1P→A＋2×1(P→B＋P→C) 3 32
＝1P→A＋1P→B＋1P→C，B 正确； 33 3
因为四面体 P－ABC 各棱长都相等，则|P→B|＝|A→B|＝|B→C|，∠PBA＝∠PBC＝

第一节 平面向量的概念及其线性运算
教材研读
总纲目录
1.向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.共线向量定理
考点突破
考点一 平面向量的有关概念
考点二 平面向量的线性运算 考点三 共线向量定理的作用
教材研读
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有① 大小 又有② 方向 的量;向量的大 向量由方向和长度确定,不受位置影
小叫做向量的③ 长度 (或④ 模 )
响
零向量 长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的 单位向量 长度等于⑦ 1个单位 的向量
记作⑥ 0
非零向量a的单位向量为±
|
a a
|
平行向量 方向⑧ 相同 或⑨ 相反 的非零向量
0 方向相同或相反 的非零向量又叫做共线 向量
相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量
|a| |b|
是 (C )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
答案 C 因为向量 a 的方向与向量a相同,向量 b 的方向与向量b相
|a|
|b|
同,且 a = b ,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.
此 AB = DC .
③正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同. ∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同. ∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.
| a || b |,
④不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故a Pb 不是a=b的充要条件. ⑤不正确.若b=0,则a与c不一定共线.
(1)在△ABC中,D是BC的中点,则
AD
=
1
(
AC

方法 2 向量共线定理的应用方法
1.a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、 C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共 线.
2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定 的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程,
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第五章 平面向量
§5.1
平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
知识清单
考点一 向量的线性运算及几何意义 1.向量的有关概念及表示法
2.向量的线性运算
3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实
数λ,使得b=λa成立.
考点二
平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这 λ1e1+λ2e2 .



方法技巧
方法 1 平面向量线性运算的解题策略
用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的 加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在 求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知
利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数
λ,就可以解决问题. 例2 (2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=
.
解题导引 由a∥b的充要条件得λ的方程 解析 ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 答案 -3 解方程得λ的值