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2020/12/27
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要点梳理
12..数向量量积 的的夹定角义定：义：O aa 与 b b共 a , |A O a |起 b ||b c , B 点 则 o A s O
3.向量的垂直： 4.投影： |b|c
9 0 a b os叫b 做 在 a 方向上 .
的
5.数量积的几何意义：
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量
空间向量
概念 具有大小和方向的量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则
ab a
bb ab a
数乘 减法:三角形法则
b
ab
运算 数乘:ka, k为正数, AB|
记作0
常用 e 表示 记作ab 记 作ab 记作a∥b
0 与任一向量共线.
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
( 1 ) a b ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ;
( 2 ) a b ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ;
( 3 )a (a 1 ,a 2 ,a 3 ) ( R ) ;
( 4 ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ;
推 三点 O P O A A BC四点 O P O A x A B y A C
论 共线 O P m O A n O B共面 O P x O A y O B z O C
(mn1)
(xyz1)
(A, B, C三点不共线)
运 用
判断三点共线,或两直线平行
判断四点共面,或直线平行于平面
abx1x2y1y2z1z2.
若 A( x1, y1, z1), B ( x2, y2, z2 ) 则 AB ( x2 x1, y2 y1);
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a
的方向上的投影 |b|cos的乘积.
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要点梳理
6.数量积的运算律：(1)abba
(2)(a)b(ab)a(b)
(3)(ab)cacbc
7.数量积的主要性质: ( 设 a ,b 是 两 个 非 零 向 量 )
(1 )a b a b 0 ; (判断两个向量是否垂直)
( 5 ) a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ( R ) ;
( 6 ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 .
(7 )|a |a a a 1 2 a 2 2 a 3 2 ;
(8 )c o s a ,b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ;
要点梳理
2. 空间向量的有关定理及推论
共线向量
共面向量
定
向量所在直线互相平
平行于同一平面的向量,叫
义 行或重合
做共面向量.
定 a //b R ,a bp ,a ,b 共 面 p x a y b
理
(b 0)
(a,b不 共 线 )
A, P, B A P A B P, A, B, A P x A B y A C
|a ||b | a 1 2 a 2 2 a 3 2b 1 2 b 2 2 b 3 2
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8.向量的直角坐标运算.
设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则
A B O B O A(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)
( 9 ) A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) .
空间向量及其运算
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要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
定义
向量
具有大小和方向的量
向量的模 向量的大小
零向量 长度为零的向量
单位向量 模为 1 的向量
相等向量
相反向量
平行向量 (共线向量)
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量
方向相同或相反的非零向量
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一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
( 1 0 ) |A B | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 .
M=(x,y,z),若M是线段AB的中点，
(1 1 )xx 1x 2,yy1y2,zz1z2.
a
a
ka(k 0) ka(k 0)
运
加法交换律 abba 加法交换律 abba
加法结合律
加法结合律
算
( a b ) c a ( b c ) ( a b ) c a ( b c )
律 数乘分配律
2020/12/27 k (a b ) k a k b
数乘分配律
k (a b ) k a k b 5
2
22
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9. 空间向量的坐标计算 平面向量
平面向量的坐标运算：
a(x1, y1),b(x2, y2) ab(x1 x2, y1 y2);
a(x1,y1),R;
若aAb( x1 , yx11)x, B2
y1y2.
(x2, y2)
则 A B ( x2 x1, y2 y1);
(2 )|a|2 a 2 a a
|a|a2aa (求向量的长度(模)的依据)
(3)cos ab ;
|a||b|
(求两个向量的夹角)
(4 )|a b |≤ |a||b | (向量不等式)
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8.向量的直角坐标运算.
设 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b ( b 1 , b 2 , b 3 ) , 则
| A B | ( x 2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 , C ( x , y )是 A B的 中 点 ,则
x
x1 2
x2
y
y1 2
y2
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空间向量
空间向量的坐标运算：
a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)
ab(x1x2,y1y2,z1z2);
a(x1,y1,z1),R;
