空间向量及其运算优秀课件

自测 自评
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向， 故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终 点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向
量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命
题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定 相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：D
题型一 空间向量的概念
例 1 如图所示，在长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2， AA1＝1 的长方体 ABCD­A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终
点的向量中． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量．
基础 梳理
O→B＝O→A＋A→B＝__a_＋__b___；C→A＝O→A－O→C＝__a_－__b___.
例：三个向量的和A→B＋B→C＋C→D＝___A→_D______.
3．空间向量加法的运算律．
(1)交换律：a＋b＝__b_＋__a___； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a_＋__(_b_＋__c)___.
变式 训练
2．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若C→A＝a，C→B＝b， C→C1＝c，则-A→1B ＝________.
解析：A→1B＝B→1B－B→1A1＝B→1B－B→A＝B→1B－(C→A－C→B) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
(2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′ ＝(AC→′－A→C)＋(A→D－A→A′) ＝CC→′＋A′→D＝CC→′－DA→′＝CC→′－C→B′＝B-′-C→′.
点评：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的 关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解， 另外需注意零向量的书写要规范．

2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图)：
OAOC
D
CO AO
2．空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|

(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1

b
③ (a b) c a (b c)
典例
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜 线，AO 是 PA在平面 内的射影，l ，且 l OA.
求证： l PA.
P
OO A a
l
典例
例2 已知直线m, n是平面内的两条相交直线, 如果 l m, l n,求证 : l .
a b | a || b | cos a,b
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
特别地，a a a a cos a, a a 2 . 即：a a2 a b ab 0
ab a b
思考
a b 类似平面向量，你能说出 的几何意义吗？
数量积 a b 等于a 的长度 a 与b 在a
结论：空间任意两个向量都是共面的， 所以它们可用同一平面内的两条有向 线段表示
向量的加法和减法运算
C
B
a b
b
ab
O
a
A
OB OA AB a b,
CA OA OC a b.
空间向量的加法运算律
（1）交换律
a b b a,
（2）结合律
(a b) c a (b c).
练习
例.如图，已知平行四边 ABCD，过平面AC外一点O 作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、 G、H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：四点E、F、G、H
共面。
E
O
DC
A
B
H
G
F

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且长度
均为 2. E，F 分别是 AB，AC 的中点，H 是
EF 的中点. 试建立适当的空间坐标系，表示
向量 AH ，BC 的坐标.
O
思路二：以底面ABC中心
G为坐标原点，建立空间
坐标系 ．
A
求解较繁！
C F
H
E
B
求解过程
解（选用思路一）如图以 O 为原点，建立空间直
试用向量a ，b，c 表示向量GH ．
HC
A G B
思路分析
例 1 如图，在空间四边形 OABC 中，G，H 分
别是△ ABC 和△ OBC 的重心，
O
设OA a，OB b，OC c ，
试用向量a ，b，c 表示向量GH ． 思路一（通法）：
HC
由空间向量基本定理，关键找
A
到一组有序数组（x，y，z），
F
C A
E 第3题 B
参考答案
1．证明 EF

1 2
BB1

1 2
BD
2．建立空间直角坐标系，证明向量间垂直，
（2）方法比较：方法一利用共面向量定理证明，侧 重于空间向量的计算，使几何问题数量化，方 法二与方法四需添加辅助线，侧重于推理．这 三种方法，各具特色，运用时因人、因题而 异. 思路三将平几类比到立几时没有注意两者的 差异，导致错误.
廓清疑点：两向量夹角的 确定
基础知识
1. 两向量的夹角 a ，b是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 OA a，OB b，则∠AOB 叫做向量a 与向量b的夹角， 记作＜a ，b＞，并且规定 0≤＜a ，b＞≤ π . 2. 向量的数量积 设a ，b是空间两个非零向量，将数量 |a ||b|cos＜a ，b＞叫做向量a ，b的数量积，记作a b， 即a b＝|a ||b|cos＜a ，b＞.

特殊向量
● 理解特殊向量应注意的几个问题 ● (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0， 单位向量e的模|e|＝1. ● (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． ● (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． ● (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；(2)A→B＋A→D＋A→A1；
(3)A→B＋A→D＋12C→C1；(4)13(A→B＋A→D＋A→A1)． 思路点拨： 利用空间向量加减法运算的平行四边形法
则和三角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
(1)A→B＋B→C＝A→C.
2分
(2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
空间向量用有__向__线___段__表示
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
● (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个 平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、 减法运算类似于平面向量的加、减法运算．

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．

b
O
B A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同 一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两 个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
2020/10/16
4
空间两个向量的加减法
b
O
a
空间向量的数乘
C
a+ b
B
A
OB OA AB CA OAOC
k a (k>0)
加2法020交/10换/16律
(3)AG1(ABAＣ
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10
2。已知正方体 A B C D A 'B 'C 'D ' 点E、F分别是上
底面 A 'C ' 和侧面 C D ' 的中心，求下列各题中x、
y的值：
1 A C ' xA B B C C C '
A'
( 2 ) A E A A ' x A B y A D B '
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1
复习回顾：平面向量
定义: 既有大小又有方向的量。
表示法:
a
B
A
AB
相等向量: 长度相等且方向相同的向量 (同一向量)
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2
空间向量
定义: 既有大小又有方向的量。
表示法: a
B
D
A
AB
C
F
E
相等向量：长度相等且方向相同的向量
(同一向量)
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3
空间的两个向量
D'
E
C'
3 A F A D x A B y A A ' F A D 解 (1)x 1

中运算的结果为向量1 的共有(
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,