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| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
共线向量和共面向量
• 空间向量共线或平行的定义和表示 • 空间共线向量定理及其推论 • 空间向量的向量参数方程及线段中点
的向量公式 • 空间向量共面的概念及其表示 • 共面向量定理及其推论(空间向量参
数方程)
空间向量基本定理
• 空间向量基本定理 • 空间向量的基底 • 空间向量基本定理的推论。
两个向量的数量积
• 空间向量的夹角、向量长 度的概念和表示方法。
• 空间向量的数量积的概念 和计算方法、性质、运算 律
平面向量
空间向量
平面向量基本定理：
空间向量基本定理：
如果e1, e2是同一平面内的两个不共线 如果三个向量e1, e2 , e3不共面，那么对 的向量，那么对于这个平面内的任一 于空间中任一向量a，存在唯一的有序
(3)求二面角C-A1D-AD的大小
x2
2 y2
2 z2
2
对比表3
平面向量
平面向量的夹角：
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
垂直与平行：
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1x2 y1 y2 0
向量a，有且仅有一对实数x, y，使a 实数对(x, y, z),使a xe1 ye2 ze3. xe1 ye2.
对比表1
平面向量
空间向量
共线向量定理: b 0,则a // b 存在 共面向量定理: a、b不共线，p与a,b
实数,使a b.
共面 存在实数x、y,使p xa yb
直线的向量参数方程：
（1)点方向式：直线l过点A, 其方向 向量为a，则P A 存在实数t，使
OP OA ta.
(2)两点式：P在直线AB上(不与B重
合) 存在唯一实数t，使OP
OA
t
OB
(OP
(1
t
)
OA
t
OB)
存Байду номын сангаас
1 t
在唯一实数对x, y(x y 1),使OP x
OA y OB)
3.已知 AB (4,6,1), AC (4,3,2) 若 a 1 ，且 a AB,a AC
则 a ＝_______
4.(1)已知A、B、C、D是空间任意四点，则 AB BC CD DA 0
(2) a b a b是 a, b 共线的充要条件
(3)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C，若OP xOA yOB zOC (其中x+y+z=1)， 则P、A、B、C四点共面
a • b x1x2 y1 y2 z1z2. 若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )
则AB (x2 x1, y2 y1);
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 ,
C(x,
x
y)是A B的中点，则 y
z
x1 y1 z1
AD 1 AB AC 2
(2)重心定理：当OA、OB、OC两两
垂直时，在空间直角坐标系中，重
心坐标公式为：
G x1 x2 x3 ，y1 y2 y3 ，z1 z2 z3
3
3
3
5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1， AA1=2，BAC 900 ，D为BB1的中点。 (1)求证: AD 平面A1DC1 (2)求异面直线C1D与A1C所成的角的大 小
对比表2
平面向量
平面向量的坐标运算：
a (x1, y1),b (x2 , y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 );
a (x1, y1), R;
a • b x1x2 y1 y2. 若A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 则AB (x2 x1, y2 y1);
x2 y2 z2 a b x1x2 y1 y2 z1z2 0
对比表4
1.若空间三点A(1,5,-2)， B(2,4,1)，C(p,3,q+2)共 线，则p=___，q=___
2.已知 a (2,1,2), b (2,2,1) 则以 a, b 为邻边的平行 四边形的面积为______
