空间向量及其运算课件课件

自测 自评
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向， 故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终 点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向
量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命
题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定 相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：D
题型一 空间向量的概念
例 1 如图所示，在长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2， AA1＝1 的长方体 ABCD­A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终
点的向量中． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量．
基础 梳理
O→B＝O→A＋A→B＝__a_＋__b___；C→A＝O→A－O→C＝__a_－__b___.
例：三个向量的和A→B＋B→C＋C→D＝___A→_D______.
3．空间向量加法的运算律．
(1)交换律：a＋b＝__b_＋__a___； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a_＋__(_b_＋__c)___.
变式 训练
2．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若C→A＝a，C→B＝b， C→C1＝c，则-A→1B ＝________.
解析：A→1B＝B→1B－B→1A1＝B→1B－B→A＝B→1B－(C→A－C→B) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
(2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′ ＝(AC→′－A→C)＋(A→D－A→A′) ＝CC→′＋A′→D＝CC→′－DA→′＝CC→′－C→B′＝B-′-C→′.
点评：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的 关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解， 另外需注意零向量的书写要规范．

使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,

2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图)：
OAOC
D
CO AO
2．空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|

解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它
们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同,故1 与1 相等;
④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向量是
课程标准
1.理解空间向量的有关概念.
2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.
3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
空间向量的基本概念
1.空间向量的定义:在空间中,把既有 大小 又有 方向
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 = 1 1
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两
2
所以 = 5 .
因为 与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线.
规律方法 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数 λ,使=λ成立;
(2)对空间任一点 O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点 O,有=x+y(x+y=1).
5
3
3
2 2

2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A、D→1C、
A→1C1是(
Байду номын сангаас
)
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
[答案] C
[解析] 由题意知，A→1C1＝A→C＝D→1C－D→1A，∴向量D→1A、 D→1C、A→1C1是共面向量．
二、填空题
3．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点， 若由O→P＝51O→A＋23O→B＋λO→C确定的一点 P 与 A，B，C 三点共 面，则 λ＝________.
[例 2] 如图所示，ABCD－ABEF 都是平行四边形， 且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断C→E与M→N 是否共线？
[分析] 要判断C→E与M→N是否共线，由共线向量定理 就是判定是否存在实数 x，使C→E＝xM→N.若存在则C→E与 M→N共线，否则C→E与M→N不共线．
[解析] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、 ABEF 都是平行四边形，
＝34(C→G－C→F)＝34F→G. ∴E→H∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|. ∵E∉FG，∴EH∥FG 且|EH|＝34|FG|， ∴四边形 EFGH 是梯形．
[例 3] 正方形 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N、P、Q 分别 为 A1D1、D1C1、AA1、CC1 的中点，求证：M、N、P、Q 四 点共面．
[点评] 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是 向量在几何中应用的前提，应熟练掌握．本题(1)中的突破点 是 O 为 AC 的中点，由平行四边形法则知P→O＝12(P→A＋P→C)， 该公式可看作向量形式的中点坐标公式，进行向量表示时要 注意向选定向量的转化方法．(2)中是对中点坐标公式的逆用， 同时也运用了数乘运算．

| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律

推论 : 如果l为经过已知点A且平行已知非零向量 a的直线, 那么对任一点O, 点P在直线上的充要条件是存在唯 一实数t, 满足等式OP OA ta其中向量a叫做直线
BP
P aa
B
AA
的方向向量.
OO
共面向量
三、共线定理、共面定理及其应用
如图, 如果表示向量a 的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合, 那么称向量a平行于直线l .
【规定】：零向量与任何向量共线。 【规定】：零向量与任何向量共线。
一、空间向量的有关概念
例1: (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 : ( )
A.单位向量都相等
B.若 | a |＝| b |，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量AB、CD，满足 | AB CD |，则AB CD
√D.相等向量其方向必相同
一定平行.
一、空间向量的有关概念
【练1】如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与A→B相等的所有向量； (2)试写出A→A1的相反向量； (3)若 AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量A→C1的模.
解（1）与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A—1→B1，D→C及D—1→C1共 3 个. （2）向量A→A1的相反向量为—A1→A ，—B1→B ，— C1→C ，— D1→D.
(1) AP
(2) A1N
(3)MP
解（2）∵N是BC的中点，
A1N
AA1
A1B
BN
a
b
1 2
BC
a b 1 AD a 1 b c.
2
2
二、空间向量的线性运算及其运算律

例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|

a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( C )
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，
∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．
栏目 导引
第七章 立体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何
1．辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别． (2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易 忽视b≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 (a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
.
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则A→B＝O→B－O→A＝__(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1，__z_2_－__z_1)_．
1，0，1)，
∴B→A1＝(0，1，1)， A→C1＝(－1，0，1)， ∴cos〈B→A1，A→C1〉
＝|BB→→AA11|··A|A→→CC11|＝
1 2×
2＝12，
∴〈B→A1，A→C1〉＝60°，
∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
栏目 导引
第七章 立体几何
4．已知 A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段 AB 的中点坐标 和|A→B|分别是___(2_，__1_，__52_)_，___1_7_____． 解析：设 P(x，y，z)是 AB 的中点，则 O→P＝12(O→A＋O→B)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)] ＝(2，1，52)， dAB＝|A→B|＝ （3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2＝ 17.

第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算
1
学习目标
核心素养
1.理解空间向量的概念．(难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，
2.掌握空间向量的线性运算．(重 培养学生的数学抽象核心素养.
点) 2.借助向量的线性运算、共线向量
3.掌握共线向量定理、共面向量 及共面向量的学习，提升学生的直
b．分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a__，λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b___.
10
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系．
11
4.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 若 干 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线
_互__相__平__行_或__重__合__，则这些向量叫做_共_线__向__量__或平行向量． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a，与向量 a_平__行_的非零向
2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
5
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大__小__和方__向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的_大__小_．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用_有__向_线__段__表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
a＝b
7
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的 加法 O→B＝_O→_A_＋__O_→_C＝a＋b
运算
减法 C→A＝_O→_A_－__O→_C_＝a－b
①交换律：a＋b＝__b_＋__a__ 加法运算律 ②结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c_) _

问题 2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ 答案 (1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾 相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二 个向量的终点．进行减法运算时，注意“共起点”，差 向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点． (2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算．注 意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边 表示向量的和与差． (3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把 有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和 向量．
问题 2 空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作 用？ 答案 空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既 有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征： 方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行 运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以 实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来 解决．
空间向量及其加减运算
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和_方__向___的量叫做空间向量，向 量的大小叫做向量的__长__度____或__模____． (2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的 __长__度____表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，则 a 也可记作___A_→_B___，其 模记为__|a_|__或____A→_B___．
相等向量
2.空间向量的加法、减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： O→B＝O→A＋O→C＝____a_＋__b___； C→A＝O→A－O→C＝____a_－__b___.
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律 a＋b＝___b_＋__a__； (2)结合律 (a＋b)＋c＝_a_＋ ___(b_＋__c_)_.

空间向量及其加减运算
一、空间向量的定义与表示法 1.定义：在空间，既具有_大__小__，又具有_方__向__的_量__叫做空间 向量． 2.表示法： (1)几何表示法：用有向线段 AB表示，A叫做向量的_起__点__，B 叫做向量的_终__点__． (2)字母表示法：用字母 a,b,c, 或_a_,_b_,_c_,_…表示.
类型 二 空间向量的加减运算 【典型例题】
1.化简： AB CD AC BD ________.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，AB a,BC b,AD c, 试用a,b,c表示向量 AC，BD，CD.
【解题探究】1．使用向量加法的平行四边形法则应注意什么 要素？ 2．使用向量加减法的三角形法则应注意什么要素？ 探究提示： 1．使用向量加法的平行四边形法则应注意的要素是：“起点 相同”． 2．使用向量加法的三角形法则的要素是：“首尾相接，指向 终点”；减法的要素是：“起点相同，指向被减”.
其中假命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连 接的向量中，与向量 AA 相等的向量有______；与向量 AB 相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
【解题探究】1.如何对向量的有关概念性问题进行辨析？ 2.相等向量与相反向量有何区别与联系? 探究提示： 1.应与平面向量进行对比，注意空间向量与平面向量的联系 与区别，准确把握空间向量的概念是解答问题的关键． 2.相等向量的模相等，且方向相同；相反向量的模也相等， 但方向相反.
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB化简BA. (3)利用 AB OB把 O各A个，向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.

中运算的结果为向量1 的共有(
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,