常系数微分方程

y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
2 p q 0，
p 而 ，即 2 p 0 。此时，方程 (3) 为 2 u (2 p )u Pn ( x) 。
(其中u x k Q( x))
例
解
求方程 y 2 y 3 y e x 的通解 。
f ( x) e x， 1，n 0 。 ( f ( x) e x Pn ( x) )
对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 对应的齐次方程的通解为
2 2 3 0 ，
定理 2 当特征方程有重实根 1 时，方程 ( 1 ) 的通解为
y C1e 1x C2 xe 1x e 1 x (C1 C2 x)。
3) 特征方程有一对共轭复根：
1 i ，2 i ，则
y1 e x cos x ，
y2 e x sin x
由多项式求导的特点可设
u ( x) x 2 Qn ( x) x 2 (b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ) ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 是方程 (2) 的二重特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* x 2 e x Qn ( x) 。
特征方程
2 p q 0 ；
特征根
1 ，2 。
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
y p y q y e x Pn ( x)
y e x u ( x) ， 则 有下列形式的特解： y e x u e x u ， y 2 e x u 2 e x u e x u ，

B1 cos(ωt ) + B2 sin(ωt )
( B1t p + B2t p−1 + L + B pt + B p+1 )eαt cos(ωt )
+ ( D1t p + D2t p −1 + L + D p t + D p+1 )eαt sin(ωt )
2） ）
不同特征根对应的齐次解
特征根 λ 单实根
1） ）
几种典型激励函数对应的特解
激励函数 e(t )
E （常数） 常数） tp eαt
响应函数 r (t ) 的特解
B （常数） 常数）
B1t p + B2t p−1 + L + B p t + B p+1
Beαt
cos(ωt ) sin(ωt )
t p eαt cos(ωt ) t p eαt sin(ωt )
r 重实根
齐次解 y h (t )
Ce λt
Cr −1t r −1e λt + Cr −2t r −2 e λt + L + C1te λt + C0e λt eαt [C cos( βt ) + D sin( βt )]
一对共轭复根
λ1, 2 = α ± jβ
r 重共轭复根
或 Aeαt cos( β t − θ ) ，其中 Ae jθ = C + jD
Ar −1t r −1eαt cos( βt + θ r −1 ) + Ar −2t r −2eαt cos( β t + θ r −2 )
内蒙古工业大学 博学躬行，尚志明德。

基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B

i0
Ai i!

j0
Aj j!

k
k0 l0
Al l!

Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !

k 0


l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!



5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u

u1 u2

5
3

2
6
34

0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0

通常系数线性微分方程（Linear ODEs with Constant Coefficients）是一
类常用的数学工具，它可以用来解决各种跟时间有关的工程问题。

它
是一个重要的分支，是传统数学方法，它应用于解决一些常见的技术
和科学问题。

通常系数线性微分方程是一种形式，它可以用于处理各种类型的方程，包括常微分方程，偏微分方程以及一阶偏微分方程的线性部分。

它对
于一般的普通微分方程具有更高的效率，也更易于用符号数学系统求解，得到正确的解。

这种线性方程形式一般使用标准格式解决，即总是可以将其写成一阶
微分方程形式，表示为P(t)X + Q(t)Y + R(t)Y ′= 0。

其中P(t)、Q(t)和
R(t)是常数系数。

同时,Q(t)、R(t)必须都是非负函数。

一旦我们确定好
这些系数，求解一般线性微分方程就可以用一般办法来解决了。

通常系数线性微分方程的重要性首先在于它的解非常简单而直观，同
时可以用符号数学系统来解决。

此外，其出现的场景也比较丰富，可
以应用于从电子系统的传递函数的分析到电力系统的模拟分析等多种
工程领域。

最重要的是，由于它的特殊形式，其分析计算跨度非常大，可以很容易应用于设计和分析系统中不同时间尺度的复杂工程模型。

总之，通常系数线性微分方程具有广阔的应用范围，它是一种经典的
数学工具，为解决跟时间有关的工程问题提供了简洁而有效的解决方案。