- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
考察 y2 xer1x ,验证
1.是否为根？ 2.线性无关？
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
例2 求微分方程 y 2 y y 0
满足条件 y 4, y 2 的特解。
x0
x0
x0 (C2 C1 2 C2 2
y (4 2x)ex
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y1 e( i ) x ,
y2 e( i ) x ,
欧拉公式 ei cos i sin
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
一、二阶线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
注意: y C1 y1 C2 y2不一定是通解
例2 求微分方程 y 2 y y 0
满足条件 y 4, y 2 的特解。
x0
x0
解：特征方程为 r 2 2r 1 0
特征根
r1,2 1
特解为 y1 e x , y1 xe x
通解为 y (C1 C2 x)e x
y x0 C1 4
y x0
(C2 C1 C2 x)e x
1.求下列微分方程的通解
y 3 y , y 1, y 2
x0
x0
y 4 y 0
2.思考：为什么 y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的通解可以表示成 y y y 其中 y 是 y P( x) y Q( x) y 0 (1) 的通解
y 是(2)的通解
复习： 几种特殊类型的高阶方程 一、 y(n) f ( x) 型的微分方程
那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
通解.
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y1*
与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
x0
x0
y 4 y 0
y ( x 1)4 2
y C1 C2e4x
§10.5 二阶常系数线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) 二阶线性微分方程
当 f ( x) 0时， y P( x) y Q( x) y f ( x) 二阶线性非齐次微分方程
当 f ( x) 0时， y P( x) y Q( x) y 0 二阶线性齐次微分方程
f ( x) 不是常函数 0
y py qy f ( x)
三、 y f ( y, y) 型的微分方程 二阶,缺 x y p( y), y dp dp dy p dp dx dy dx dy
p dp f ( y, p) dy
y p ( y,C1),
dy dx
( y,C1)
(
dy y,C1 )
x
C2
1.求下列微分方程的通解
y 3 y , y 1, y 2
定义：设 y1 , y2 , , yn为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得
当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
称线性无关
特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)
的通解.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,
连续积分 n 次
y(n1) f ( x)dx C1
y(n2) f ( x)dx C1 dx C2 L L
二、 y f ( x, y) 型的微分方程 二阶,缺 y
y f ( x, y)
设 y P(x)
y P, P f ( x, P) 求解
dy dx
P
( x,C1)
积分
y ( x,C1)dx C2
Ex.1 求下列微分方程的通解:
1、4 d 2 x 20 dx 25x 0
dt 2
dt
5t
x (C1 C2t )e 2
2、 y 6 y 13 y 0 y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)
三、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x) p,q 为常数特征ຫໍສະໝຸດ 程特征根r1,2 p
p2 4q , 2
1.有两个不相等的实根 ( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
r2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
所以通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
例1 求微分方程 y 2 y 3y 0 的通解
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
解的叠加原理
二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
(
y1
y2
)
ex sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
例3 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2i , 故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
