4.6串联RLC电路的时域响应

uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率

RLC 串联电路的方波响应一、实验目的研究RLC 串联电路中，在不同参数下，响应表现为非振荡或振荡的性质，加深对二阶电路的认识。

二、实验原理与说明图15-1所示RLC 串联电路为一典型的二阶电路。

它可以用下述线性二阶常系数微分方程来描述：sc c c u t u t t u RC t t u LC =++)()()(22d d d d图15－1 RLC 串联电路求解微分方程，可以得出电容上的电压)t (U C 。

再根据dt)t (du C)t (i c =，求得)t (i 。

改变初始状态和输入激励可以得到不同的二阶时域响应。

全响应是零状态响应和零输入响应的叠加。

零输入响应的模式完全由其微分方程的特征方程的两个特征根202222,1)LC1()L 2R (L 2R p ω-δ±δ-=-±-= 式中：L2R=δ，LC10=ω由于电路的参数不同，响应一般有三种形式：（1）当CL2R >，特征根1p 和2p 是两个不相等的负实数，电路的瞬态响应为非振荡性的，称为过阻尼情况。

（2）当CL2R =，特征根1p 和2p 是为两个相等的负实数，电路的瞬态响应仍为非振荡性的，称为临界阻尼情况。

（3）当CL2R <，特征根1p 和2p 是为一对共扼复数，电路的瞬态响应为振荡性的，称为欠阻尼情况。

对于欠阻尼情况，可以从响应波形中测量出其衰减系数和振荡角频率2222L 4R LC 1-=α-ω=ω。

其响应波形如图15-2所示。

图15-2 欠阻尼情况下响应波形振荡周期：12t t T -=，T2f 2π=π=ω。

由衰减振荡的振幅包络线可求衰减系数α，1t m 1C Ke U α-=，2t m 2C Ke U α-=，m2c m 1c U U ln T 1=α。

因此，从示波器上只要测出1t 、2t 、m 1C U 和m 2C U 后，就可以计算出ω和α。

为了观测二阶电路的响应，也可仿照一阶电路的方法，用方波激励RLC 串联电路，用示波器观察)t (u c 、)t (i 、)t (u L 等波形。

X
解（续）
i 4 用状态变量和已知量 将方程中的非状态变量i 3 、 uC1 表示： i3 is R1
uC2 us i4 R2
将此二式代入上面的三个方程中，并进行整理得：
1 1 1 duC1 u i is C1 L dt R1C1 C1 C1 duC2 1 1 1 uC2 iL us R2C 2 C2 R2C 2 dt di 1 1 L u uC2 C1 L L dt
（ 5）
将方程（5）带入方程（4）并进行整理得：
diL 1 ( R1uC R1 R2 iL R2 us ) （6） dt ( R1 R2 ) L
方程（5）、（6）即为要求的电路状态方程。 返回
X
二 高阶动态电路
列写电路的状态方程基本步骤可以总如下： （ 1） 对含有电容支路的节点列写KCL方程； （ 2） 对含有电感支路的回路列写KVL方程； （ 3） 将非状态变量用状态变量和已知量表示； （ 4） 消去非状态变量，将状态方程整理成标准形式。
i
+
R
L
C
uC
+ -
us
-
根据KVL及元件的VCR可列出如下方程：
di ( t ) Ri ( t ) L uC ( t ) us dt
X
如果以电容电压作为状态变量，则将 i (t ) C 的方程并整理可得：
d 2 uC ( t ) duC ( t ) LC RC uC ( t ) us 2 dt dt
duC 带入上面 dt
此即为RLC串联电路的微分方程。其特征方程为： LCs 2 RCs 1 0 特征根为：
s1,2 R R 1 2 ( )2 2 0 2L 2L LC

通过欧拉定律 e± jωdt = cos(ωd t) ± j sin(ωd t) ，解变为
（1.45）
我们利用初始化条件可以得出常数K1,K2.
（1.46） （1.47）
（1.48）
解为
使用三角函数定义， 解变为 再由 ωd ≡ ω02 − α 2 ，因此，ωd始终小于ωo。 现在让我们探究一下重要的极限情况：
（1.17）
（1.18） （1.19） （1.20） （1.21）
由vc(t=0)=V0，
dvc(t = dt
0)
=
0
(初始条件下没有电流)，我们可以得出方程（1.20）
A1+A2=Vo
（1.22）
得出
jω0 A1 − jω0 A2 = 0
解变为
A1=A2= V0 2
电路中电流为
vc(t)
=
V0 2
(a) R＝8KΩ
(b) R＝20 KΩ 图8
(a) R＝20 KΩ
(b) R=8 KΩ 图9
图10所示为电容和电感上储能情况
图10. 能量的时间函数 图11所示为当a<<ω0 时所对应的响应曲线图，电流iL(t)的持续振荡，振荡角频率 为ω0。
图11
临界阻尼响应 当a=ω0,方程的两个特征根相等s1=s2=s, 解变为
1方程 d 2i + 2α di + α 2i = 0 可以写为 d ( di + αi) + α( di + αi) = 0 ，定义 ξ = di + αi 方程
dt 2
dt
dt dt
dt
dt
变为
dξ dt
+ αξ