2018年数学专题2.8一题多解玩透基本不等式小题大做

【高考再现】1. 【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.2. 【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C【解析】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C. 【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 3. 【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【考点定位】基本不等式．【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量,a b 关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．4. 【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==（当且仅当13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23. 【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为a b +≤a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.5. 【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.6. 【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 【答案】C【解析】p f ==()ln22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>，所以()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断2a b+的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小． 【反馈练习】1. 【2016河南中原名校一联】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且//．（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值．2.【2017届山西右玉一中高三上期中数学（理）试卷，理5】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】试题分析：设()11f x x x =+-，因为1x >，所以10x ->，则()111131f x x x =-++≥+=-，所以()min 3f x =，因此要使不等式11x a x +≥-恒成立，则3a ≤，所以实数a 的取值范围是(,3]-∞，故选D. 考点：均值不等式．3. 【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学试卷，文9】直线)0,0(022>>=-+b a by ax 平分圆064222=---+y x y x ，则ba 12+的最小值是（ ）A.22-B.12-C.223+D.223- 【答案】C 【解析】试题分析：原方程可化为：22(1)(2)11x y -+-=⇒圆心(1,2)C 代入直线方程22201a b a b +-=⇒+=⇒b a 12+212()()33b a a b a b a b=++=++≥+，故选C. 考点：1、直线与圆；2、重要不等式.4. 【2016-2017学年河北馆陶县一中高二上期中数学试卷，理6】已知点),(y x P 在直线12=+y x 上运动，则y x 42+的最小值是( ）A.2B.2C.22D.42 【答案】C 【解析】考点：基本不等式性质5. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，理10】若实数,x y 满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值为（ ）A ．2B ．2+ C.4+D ．4-【答案】D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设2m x y n x y =+⎧⎨=+⎩，解得2x m ny n m =-⎧⎨=-⎩，则222224()442x y m n n m n m x y x y m n m n --+=+=-+≤-=-++，当且仅当2n mm n =，及n =时等号成立，所以22x y x y x y+++的最大值为4-，故选D.考点：基本不等式的应用.6. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，文10】设x R ∈，对于使22x x M -≥成立的所有常数M 中， 我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的下确界为（ ）A ．5B ．4 C.92D ．3 【答案】C 【解析】考点：基本不等式的应用.7. 【2016-2017学年河南郑州一中网校高二上期中联考文数试卷，文11】设()2110,a b a ab a a b >>++-则的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 试题分析：因为a b >>，所以a b ->，所以()221111()a a ab ab a a b ab a a b ++=-++--11()()ab a a b ab a a b =++-+≥-，当且仅当1ab ab=且1()()a a b a a b -=-，即a =b =所以()2110,a b a ab a a b >>++-则的最小值是4，故选D ． 考点：基本不等式．8. 【2016-2017年河南西平县高级中学高二十月月考数学试卷，文9】已知xy y x =+，且0x >，0y >，则y x +的取值范围是（ ）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由xy y x =+，且0,0x y >>得111x y+=，所以11()()2y xx y x y x y x y +=++=++24≥+=，当且仅当x y =等号是成立的，所以y x +的取值范围是),4[+∞，故选D.考点：基本不等式的应用.9. 【2017届山东潍坊中学高三上学期月考一数学试卷，文9】已知0,0x y >>，且212x y+=，若2x y a +≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．4 B ．2 C ．6 D ．8 【答案】A 【解析】考点：基本不等式求最值10. 【2016-2017学年重庆市第一中学高二10月月考数学试卷，理10】若正实数,x y 满足()()2242log 3log log 2x y x y +=+，则3x y +的最小值是（ ）A ．12B ．6C ．16D ．8【答案】D 【解析】 试题分析：由()()2242log 3log log 2x y x y +=+化简得311332,122x y x y xy xy y x ⎛⎫++==+= ⎪⎝⎭，()()113133133101068222x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：基本不等式．11. 【2017届河北武邑中学高三上期中数学试卷，理15】已知定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意的12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+成立．若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则12a b+的最小值为___________．【答案】9 【解析】试题分析:令021==x x 可得0)0(=f ,再令021=+x x ,则0)()(21=+x f x f ,即0)()(11=-+x f x f ,也即)()(11x f x f --=,故函数()f x 是奇函数,故由()()210f a f b +-=可得12=+b a ,所以94522542221=+≥++=+++=+ba ab b b a a b a b a ,故应填答案9. 考点：函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．12. 【2016广西桂林调研考试】已知m 、n 为正实数,向量()(),1,1,1m n ==-a b ,若b a ⊥,则12m n+的最小值为______．【答案】3+考点：基本不等式的运用．13. 【2016届浙江绍兴柯桥区高三教学质量调测二模理数试卷，理15】已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ． 【答案】8,1y > 【解析】 试题分析:因20x y xy +-=,故112=+yx ,又因为84444)12)(2(2=+≥++=++=+y x x y y x y x y x .因0>x ,故012>-=y yx ,即01>-y ,所以1>y .故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．14. 【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷，理13】若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为__________.【答案】7+ 【解析】考点：基本不等式求最值.15. 【2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中数学试卷，文19】已知正数b a ,满足b a ab +=2．（Ⅰ）求ab 的最小值； （Ⅱ）求2a b +的最小值.【答案】（Ⅰ） 246+（Ⅱ） 554+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知22++=b a ab 中的2a b +利用2a b +≥转化为ab 表示，进而解ab 的不等式求得其最值；（Ⅱ）将22++=b a ab 变形为)1(122>-+=a a ab 代入2a b +转化为用a 表示的函数，从而可求得函数最值试题解析：（Ⅰ）22222+≥++=ab b a ab ，设t ab =，所以02222≥--t t ，解得22+≥t ，所以ab 最小值为246+，当a b 2=，即12+=a 时取到.（Ⅱ）由题可得)1(122>-+=a a ab ， 所以55451811442+≥+-+-=-++=+a a a a a b a ，即b a 2+最小值为554+，当181-=-a a ，即122+=a 时取到.考点：均值不等式求最值。

基本不等式的证明（答题时间：40分钟）1. 已知下列不等式①x ＋x 1≥2 ②x 2＋21x≥2 ③x ＜0，x ＋x 1≤－2 ④x ＞0，x ＋x 1≥2 其中不等式成立的是 。

（填写序号即可）*2. 下列不等式的推导过程正确的是________。

（填序号）①若a ，b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ⋅＝2； ②若x ＞0，则 cos x ＋x x x cos 1cos 2cos 1⋅≥＝2； ③若x ＜0，则xx x x 424⋅≤+＝4； ④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则a b ＋b a ＝－[（－a b ）＋（－b a ）]≤－2)(b a a b -⋅-＝-2。

*3. 若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是________。

① a >2b a +>ab >b ② b >ab >2b a +>a ③ b >2b a +>ab >a ④ b >a >2b a +>ab 4. 若a <1，则a ＋11-a 有最______（填“大”或“小”）值，为________。

*5. 若对任意x >0，132++x x x ≤a 恒成立，则a 的取值范围为________。

6. 已知m ＝a ＋21-a （a ＞2），n ＝22－b 2（b ≠0），则m ，n 之间的大小关系是________。

**7.（新课标Ⅱ）设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：（1）ab ＋bc ＋ca ≤31；（2） a c c b a a 222++≥1。

**8.（苏州市期末）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：（ax ＋by ）（bx ＋ay ）≥xy 。

***9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：（1）abb a 111++≥8； （2）)11)(11(b a ++≥9。

基本不等式的证明（答题时间：40分钟）1. 已知下列不等式①x ＋x 1≥2 ②x 2＋21x≥2 ③x ＜0，x ＋x 1≤－2 ④x ＞0，x ＋x1≥2 其中不等式成立的是 。

（填写序号即可）*2. 下列不等式的推导过程正确的是________。

（填序号）①若a ，b ∈R ，则a b ＋b a ≥2ba ab ⋅＝2； ②若x ＞0，则 cos x ＋xx x cos 1cos 2cos 1⋅≥＝2； ③若x ＜0，则xx x x 424⋅≤+＝4； ④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则a b ＋b a ＝－[（－a b ）＋（－b a ）]≤－2)(b a a b -⋅-＝-2。

*3. 若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是________。

① a >2b a +>ab >b ② b >ab >2b a +>a ③ b >2b a +>ab >a ④ b >a >2b a +>ab 4. 若a <1，则a ＋11-a 有最______（填“大”或“小”）值，为________。

*5. 若对任意x >0，132++x x x ≤a 恒成立，则a 的取值范围为________。

6. 已知m ＝a ＋21-a （a ＞2），n ＝22－b 2（b ≠0），则m ，n 之间的大小关系是________。

**7.（新课标Ⅱ）设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：（1）ab ＋bc ＋ca ≤31；（2） ac c b a a 222++≥1。

**8.（苏州市期末）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：（ax ＋by ）（bx ＋ay ）≥xy 。

***9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：（1）abb a 111++≥8； （2）)11)(11(b a ++≥9。

a＋b 基本不等式：ab≤2题组一利用基本不等式求最值1.设x、y均为正实数，且3＋3＝1，则xy的最小值为() 2＋x2＋yA．4B．43C．9D．16分析：由3＋3＝1可得xy＝8＋x＋y.2＋x2＋y∵x，y均为正实数，xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号建立)，即xy－2xy－8≥0，可解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D2．(2018天·津高考)设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1＋1的最小值为()a b1A．8B．4C．1 D.4分析：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时1＋1＝a＋b＋a＋b＝2＋(b＋a )≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝1取等号)．a b a b ab2答案：B3．已知不等式(x＋y)(1a()＋)≥9对随意正实数x，y恒建立，则正实数a的最小值为x yA．8B．6C．4D．2分析：1a x y(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋axy y x≥a＋1＋2xya＋1，a··＝a＋2yx当且仅当x y等号建立，a·＝y x因此(a)2＋2a＋1≥9，即(a)2＋2a－8≥0，得a≥2或a≤－4(舍)，因此a≥4，即a的最小值为4.答案：C4．(2018太·原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1且a≠1)＋1(a>0的图象恒过同一个定点，则当1＋1取最小值时，函数 f(x)的分析式是________．ab分析：函数f(x)＝a x ＋111 1 1 1 1 )＝3＋1的图象恒过(－1,2)，故 a ＋b ＝1，＋＝(a ＋b)(＋ 22a b2a b＋b ＋a ≥3＋2.当且仅当b ＝2212－a2b22a 时取等号，将b ＝2a 代入2a ＋b ＝1得a ＝22，故f(x)＝(22－ 2) x ＋1＋1.答案：f(x)＝(2 2－2)x ＋1＋1题组二 利用基本不等式证明不等式5.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则()11C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3A ．ab ≤2B ．ab ≥2分析：法一：由a ＋ba ＋b 2 2222 22 ≥ab 得ab ≤(2 )＝1，又a ＋b ≥2ab?2(a ＋b)≥(a ＋b) ?a2① ＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2知足a ＋b ＝2，代当选项可清除 B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可清除A. 答案：C6．设a 、b 是正实数， 以下不等式ab>2ab；②a>|a －b|－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2>2恒建立的a ＋bab序号为()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④分析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab?1≥2ab?ab ≥2aba ＋b a ＋b .当且仅当a ＝b时取等号，∴①不恒建立；②a ＋b>|a －b|?a>|a －b|－b 恒建立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 22时，取等号，∴③不恒建立；④ab ＋2≥22＝(a －2b)≥0，当a ＝2babab ·＝22>2ab恒建立．答案：D7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－1)(1－1)(1－1)≥8.∴ab c证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，(1－1)(1－1)(1－1)＝(1－a)(1－b)(1－c)abcabc＝(b ＋c)(a ＋c)(a ＋b)≥2bc ·2ac ·2ab ＝8.abc abc当且仅当 a ＝b ＝c ＝13时取等号．题组三基本不等式的实质应用8.(2018惠·州模拟)某商场中秋前 30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t ≤30)的关系大概满2f(10)足f(t)＝t ＋10t ＋16，则该商场前t 天均匀售出(如前10天的均匀售出为10)的月饼最少 为()A ．18B ．27C ．20D ．16分析：均匀销售量y ＝f(t)＝t2＋10t ＋16 ＝t ＋16＋10≥18.ttt当且仅当 t ＝16，即t ＝4∈等号建立，即均匀销售量的最小值为 18.t答案：A9．某公司租地建库房，每个月土地占用费 y 1与库房到车站的距离成反比，而每个月库存货物的运费 y 2与到车站的距离成正比，假如在距离车站 10千米处建库房，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项花费之和最小，库房应建在离车站________千米处．分析：设库房建在离车站d 千米处，由已知y ＝2＝k 1，得k ＝20，∴y ＝20，11011dy 2＝8＝k 2·10，得k 2＝4，∴y 2＝4d ，5 5∴y 1＋y 2＝20 4d204dd＋≥2·＝8，5d5当且仅当20＝4d，即d ＝5时，花费之和最小．d5答案：510．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 x平方米的三级污水办理池，池的深度必定 (平面图如下图)，假如池四周围墙建筑单价为400元/米，中间两道隔墙建筑单价为 248元/米，池底建筑单价为80元/米2，水池全部墙的厚度忽视不计．(1)试设计污水办理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若因为地形限制，该池的长和宽都不可以超出 16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水办理池的宽为x米，则长为162米．x则总造价f(x)＝400×(2x＋2×162296x＋1296×100x)＋248×2x＋80×162＝1＋12x960100＝1296(x＋x)＋12960100≥1296×2x·＋12960＝38880(元)，x当且仅当x＝100x(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．0<x≤161(2)由限制条件知162，∴108≤x≤16.0<x≤16设g(x)＝x＋100x(1018≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝101时(此时162＝16)，8xg(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(101＋800)＋12960＝38882(元)．881∴当长为16米，宽为101米时，总造价最低，为38882元．8(理)为了提升产品的年产量，某公司拟在2018年进行技术改革．经检查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革花费m万元(m≥0)知足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只好是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．因为市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品生产成本的倍(生产成本包含固定投入和再投入两部分资本)．(1)将2018年该产品的收益y万元(收益＝销售金额－生产成本－技术改革花费)表示为技术改革花费m万元的函数；∴该公司2018年的技术改革花费投入多少万元时，厂家的收益最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，1＝3－k，∴k＝2，∴x ＝3－2，m ＋18＋16x每件产品的销售价钱为×(元)，x2018年的收益y ＝x ·－(8＋16x)－m16＝－[ ＋(m ＋1)]＋29(元)(m ≥0)．16(2)∵m ≥0，∴ ＋(m ＋1)≥216＝8，y ≤29－8＝21，当16＝m ＋1，即m ＝3，y max ＝21.m ＋1∴该公司2018年的技术改革花费投入 3万元时，厂家的收益最大．题组四 基本不等式的综合应用11.若a 是 2－b 与2ab的最大值为()2＋b 的等比中项，则|a|＋|b|22 A.2B ．1 C.4D.2∴ 分析：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项，a 2＝2－b 2?a 2＋b 2＝2.依据基本不等式知2ab ≤2|a||b|·≤ |a|＋|b||a|＋|b| 即2ab 的最大值为1.|a|＋|b|答案：B2＋b 2a ＝1.222 2a ＋b≥(a ＋b)，当且仅当a ＝b时12．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则xyx ＋y x y2 9 1取等号．利用以上结论，函数 f(x)＝x ＋1－2x (x ∈(0，2))获得最小值时x 的值为()1 C ．2D. 1A ．1B.53分析：由a2＋b 2≥(a ＋b) 2＋3222＝得，f(x)＝22≥ (2＋ 3)＝25.当且仅当 3 xyx ＋y2x1－2x 2x ＋(1－2x) 2x 1－2x时取等号，即当 x ＝15时f(x)获得最小值25.答案：B13．已知对于 2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒建立，则实数a 的最小值为x 的不等式2x ＋x －a________．分析：因为x>a，因此2x＋2＝2(x－a)＋2＋2a≥22(x－a)·2＋2a＝2a x－a x－a x－a＋4，即2a＋4≥7，因此a≥3，即a的最小值为322.3答案：2精选介绍强力介绍值得拥有。