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【K12教育学习资料】高三数学回归课本复习材料：三角函数基本概念(一)

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三角函数基本概念回归课本复习材料1
一．重点掌握：

（1）熟练掌握函数y=Asin（ωx+）（A>0，ω>0）的图象及其性质，以及
图象的五点作图法、平移和对称变换作图的方法.
（2）利用单位圆、函数的单调性或图象解决与三角函数有关的不等式问题.
（3）各类三角公式的功能：变名、变角、变更运算形式；注意公式的双向
功能及变形应用；用辅助角的方法变形三角函数式.
【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方 法，
一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角
函数的 基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为
考查热点.
二．基本公式:
1．常见三角不等式
（1）若(0,)2x，则sintanxxx.

(2) 若(0,)2x，则1sincos2xx.
(3) |sin||cos|1xx.
2.同角三角函数的基本关系式

22
sincos1

，tan=cossin，

tan1cot
.
3.正弦、余弦的诱导公式
（1）负角变正角，再写成2k+,02；
(2)转化为锐角三角函数。
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2
12(1)sin,sin()2(1)s,nnnco







2
12(1)s,s()2(1)sin,nnconco







4.和角与差角公式

sin()sincoscossin
;
cos()coscossinsin
;
tantantan()1tantan

.

22
sin()sin()sinsin

(平方正弦公式);

22
cos()cos()cossin

.

sincosab
=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决
定,tanba ).
5.二倍角公式
sin2sincos
.

2222
cos2cossin2cos112sin

2

2tan
tan21tan


.

7.三角函数的周期公式
函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω

＞0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω

＞0)的周期T.
8.正弦定理
2sinsinsinabcRABC
.9.余弦定理
222
2cosabcbcA

;

222
2cosbcacaB

;

222
2coscababC

.

10.面积定理
（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）.

(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
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三基本概念
1象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
2.弧长公式：||lR，扇形面积公式：
2
11
||22SlRR
，1弧度(1rad)57.3.

3、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一
点（异于原点），
它与原点的距离是220rxy，那么

sin,cosyxrr
，


tan,0yxx
，

cotxy
(0)y

4.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺
在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线
的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
5.特殊角的三角函数值：
6.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间
的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数
名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角如(2)三角函数名互化(切割化弦)，

(3)公式变形使用(4)三角函数次数的降升，
(5)式子结构转化(对角、函数名、式子结构化同)。
(6)常值变换主要指“1”的变换
(7)正余弦“三兄妹—sincos sincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，
7、辅助角公式中辅助角的确定：

22
sincossinaxbxabx

(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的

值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。
8、形如sin()yAx的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；1fT―频率（周期的倒数）；x―相位；―
初相；
（2）函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象
上的特殊点确定，
（3）函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，
3
,,,2

22



求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变

换法：这是作函数简图常用方法。
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9．研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将
sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在求sin()yAx
的单调区间
时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
10.反三角函数：
（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的
正弦值为a,且这个角在,22内(11)a。
(2)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是
)2,2(],,0[],2,2[
.
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意
选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易
求出此三角函数值）。高.考.资+源+网

30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15°
sin

2

1

2
2

23 0 1 0 －1 624

tan

3
3
1 3 0 0 2-3

合集下载

高三数学专题复习课件：4-1三角函数的基本概念

高三数学专题复习课件：4-1三角函数的基本概念


．
以
(4)扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长 l＝|α|·r，
渔
面积
1 S＝2|α
|r2＝
1 2lr.
3．任意角的三角函数定义
(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点
y
x
y
课
的距离 r，那么 sinα＝r，cosα＝r，tanα＝x.
时
作
业
数学（文）
高考调研 ·新课标高考总复习
课
前
自
助
餐
(2)三角函数在各象限的符号是：
授 人 以 渔
第四章 ·第1课时
课 时 作 业
数学（文）
高考调研 ·新课标高考总复习
课
前
自
4.三角函数线．
助
餐
如图，正弦线为MP；余弦线为OM；正切线为AT.
授 人 以 渔
第四章 ·第1课时
课 时 作 业
数学（文）
高考调研 ·新课标高考总复习
课
教材回归
前 自
1．下列命题为真命题的是( )
助
餐 授
π A．角α＝kπ＋ 3 (k∈Z)是第一象限角
人 以 渔
π
π
B．若 sinα＝sin 7 则α＝ 7
C．－300°角与 60°角的终边相同
第四章 ·第1课时
D．若 A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}．B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}．
则 A＝B
答案 C
2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．
以
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)
渔
的定义．
4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及
高中数学三角函数知识点

高中数学三角函数知识点

高中数学三角函数知识点一、基础概念1. 三角函数三角函数是数学中的一种函数，用来描述一个直角三角形中各边和角度之间的关系。

三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

2. 角度制和弧度制角度制是指用度数来描述角度大小的一种测量方法，以“度”作为单位。

1圆周角等于360度，1度等于60分，1分等于60秒。

弧度制是指用弧长来描述角度大小的一种测量方法，以“弧度”作为单位。

1圆周角等于2π弧度，1弧度等于圆的半径所对应的弧长的长度。

3. 函数的周期与函数值域函数的周期是指函数在一段区间内重复出现的最小长度。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数和余切函数的周期都是π，正割函数和余割函数的周期都是π。

函数的值域是指函数所有可能的输出值所组成的集合。

正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，正切函数的值域是(-∞,∞)，余切函数的值域也是(-∞,∞)，正割函数的值域是[1,∞)，余割函数的值域也是[-∞,-1]∪[1,∞)。

4. 常用三角函数的图形正弦函数的图形是一条周期为2π、在x=π/2处取得最大值1，在x=3π/2处取得最小值-1的正弦曲线。

余弦函数的图形是一条周期为2π、在x=0处取得最大值1，在x=π处取得最小值-1的余弦曲线。

正切函数的图形是一条周期为π、在x=π/2+kπ（k∈Z）处有一个无穷大的跳跃，且在x=kπ（k∈Z）处取值为0的正切曲线。

5. 三角函数的基本关系式正弦函数和余弦函数之间满足关系式sin(x)=cos(x-π/2)，cos(x)=sin(x+π/2)。

正切函数和余切函数之间满足关系式tan(x)=1/cot(x)，cot(x)=1/tan(x)。

二、三角函数的运算1. 三角函数的加减法公式sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy∓sinxsinytan(x±y)=(tanx±tany)/(1∓tanxtany)cot(x±y)=(cotxcoty∓1)/(cotx±coty)2. 三角函数的积化和差公式sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)3. 三角函数的倍角公式和半角公式sin2x=2sinxcosxcos2x=cos^2x-sin^2xtan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]tan(x/2)=±√[(1-cosx)/(1+cosx)]4. 三角函数的反函数sin(-1)x：[-1,1]→[-π/2,π/2]cos(-1)x：[-1,1]→[0,π]tan(-1)x：(-∞,∞)→(-π/2,π/2)cot(-1)x：(-∞,∞)→(0,π)三、三角函数的应用1. 三角函数在几何中的应用在直角三角形中，正弦函数和余弦函数可以用来计算任意两边和一个角的关系。

高考理科数学三角函数的概念复习资料

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16
· 高中总复习（第一轮）· 理科数学 · 全国版
立足教育 开创未来
由题意知, 2kπ<2α<2kπ+π (k∈Z),
2 当k是奇数时，α是第三象限角;
当k是偶数时，α是第一象限角，故选C
得 k k

(k Z ).
17
· 高中总复习（第一轮）· 理科数学 · 全国版
立足教育 开创未来
2
(6)终边在第三象限的角的集合 3 是 { x | 2 k x 2 k 2 , k Z } ； 是 (7)终边在第四象限的角的集合 { x | - 2 k x 2 k , k Z } ； 2
9
· 高中总复习（第一轮）· 理科数学 · 全国版
立足教育 开创未来
(8)与α终边在同一直线上的角构成的集
{ | k , k Z } 合为 ______________.
三、任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,α的终边上任意一点P 的坐标是(x，y),它与原点的距离
y x 那么sinα= ____,cos α= ____r，tanα= ____， r y x r cot = ____. x α= ___，secα y= ____，cscα x r y
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1. 在写出与α角终边相同的角的集合时要 注 意 单 位 统 一 , 避 免 出 现 “ 2kπ+30°,k∈Z 或 k· 360°+ 6 ,k∈Z”之类的错误；判断角所在的 象限时要注意 2π的整数倍 (360°的整数倍 )加α 与α终边相同,避免出现kπ+ 是第一象限角的 3 k 错误判断.如遇kπ+α(k∈Z)或 +α (k∈Z)等应 2 对k的奇偶性进行讨论,再确定其所在的象限.
高考数学三角函数的相关概念

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4.已知2α终边在x轴上方，则α是( C) (A)第一象限角 (B)第一、二象限角 (C)第一、三象限角 (D)第一、四象限角 5.在(0，2π)内，使sinα·cosα＜0，sinα＋cosα＞0，同时成 立的α的取值范围是( )C (A)(π/2，3π/4) (B)(3π/4，π) (C)(π/2，3π/4)∪(7π/4，2π) (D)(3π/4，π)∪(3π/２，7π/4) 返回
【解题回顾】容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P 点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地， 在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终 结果作一个合理性的预测
返回
延伸·拓展
5.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. ①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓 形面积. ②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时， 该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值? 【解题回顾】扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧 度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易 记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换 算为弧度.
课前热身
1.已知α∈[0，2π)，命题P：点P(sinα-cosα，tanα)在第一 A 象限.命题q:α∈[π/2，π].则命题P是命题┒q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 -5/13 2.已知角α的终边过点P(-5，-12)，则cosα= _______ ， 12/5 tan α =_______. 3.已知集合A={第一象限的角}，B={锐角}，C={小于90° 的角}，下列四个命题：①A=B=C； ②AC; ③CA； ④AC=B. 其中正确命题个数为( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4