2015年高三复习高中数学三角函数基础过关习题(有答案)

[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( )A ．πB ．2π C.π2 D.π4解析：由图象知T ＝π. 答案：A2．已知f (x )＝cos 2x －1，g (x )＝f (x ＋m )＋n ，则使g (x )为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( )A ．m ＝π2，n ＝－1B ．m ＝π2，n ＝1C ．m ＝－π4，n ＝－1D ．m ＝－π4，n ＝1解析：因为g (x )＝f (x ＋m )＋n ＝cos(2x ＋2m )－1＋n ，若使g (x )为奇函数，则需满足2m ＝π2＋k π， k ∈Z ，且－1＋n ＝0，对比选项可选D. 答案：D3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin πx 的部分图象如图1所示，则图2所示的函数的部分图象对应的函数解析式可以是( )A ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12C ．y ＝f (2x －1)D ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－1 解析：图2相对于图1：函数的周期减半，即f (x )→f (2x )，且函数图象向右平移12个单位，得到y ＝f (2x －1)的图象．故选C.答案：C5．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( )A.π8 B.π3 C.56π D.2π3解析：∵f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m 个单位得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6，为偶函数，∴m －π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，m ＝k π＋23π，k ∈Z ，∴m min ＝23π(m >0)．答案：D6．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 解析：设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图象上，∴－y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ，即g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，依题意得sin x ≤－cos x ⇒sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0，又x ∈[0,2π]，解得3π4≤x ≤7π4.答案：B 二、填空题7．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________. 解析：∵f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵φ∈[0，π]，∴取k ＝0时，φ＝π2.答案：π28．(2014年潍坊质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故该函数的最小正周期为2π2＝π.答案：π9．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43.答案：43三、解答题10．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡k π－π12，⎦⎥⎤k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0. 11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)的值． 解析：(1)∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋9π4，∴f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝1＋sin π2x .∴函数f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.(2)∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4.由(1)知，函数f (x )的最小正周期为4，且2 013＝4×503＋1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝4×503＋f (1)＝2 012＋2＝2 014.12．(能力提升)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .。

新课标高考数学一轮三角函数复习题（二）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的选项中只有一个符合题目的要求） 1、△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的………………………………………………（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件2、(理)给出下面四个函数，其中既是区间（0，)2π上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（ ）A ．x y 2tan = B.x y sin = C.y ＝cos2x D.x y cos =（文）已知函数f （x ）=sin （πx －2π）－1，则下列命题正确的是 A.f （x ）是周期为1的奇函数 B.f （x ）是周期为2的偶函数C.f （x ）是周期为1的非奇非偶函数D.f （x ）是周期为2的非奇非偶函数 3、用五点法作x y 2sin 2=的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．ππππ2,23,,2,0 B.ππππ,43,,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ4、（理）ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π(D) 23π（文）在△ABC 中，如果(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，则A 等于（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5、若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、（理）若c Cb B aA cos cos sin ==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角是30°的等腰三角形 （文）若1)cos()cos()cos(=---A C C B B A 则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．顶角为1200的等腰三角形 7、（理）函数x xy cos 2sin 3-=的值域为（ ）（A ）]1,1[- （B ）]3,3[- （C ）[]1,3-]1,3[- （D ）]3,1[-（文）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32 B.23C.2D.3 8、（理）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是 A.sin2α＞sin α B.cos2α＜cos α C.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α（文）△ABC 中，B ＝600，则C A cos cos 的取值范围是（ ）（A ）[]41,0 （B ）(]4121,- （C ）[)2141, （D ）[)0,41-9、若函数f （x ）=sin （ωx +ϕxy2ππO 33-1如下图所示，则ω和ϕ的取值是A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3πC.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6π10、（理）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形（文）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 11、已知y =f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π）时，f （x ）=sin 2x ，则f （x ）=21的解集为A.{x |x =2k π+3π，k ∈Z } B.{x |x =2k π+3π5，k ∈Z } C.{x |x =2k π±3π，k ∈Z }D.{x |x =2k π+（－1）k3π，k ∈Z } 12、关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论， ①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立 ③f （x ）的最大值是23④f （x ）的最小值是－21其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上）13、若方程sin x +cos x =k 在0≤x ≤π上有两解，则k 的取值范围是 . 14、函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______.15、设函数())()cos30f x x ϕϕπ=+<<。

高三必过关题 三角函数一、 填空题例题1. 已知34sin ,cos 2525θθ==- ，则θ角所在的象限为__________． 答案：θ在第四象限解析：sin 0,cos 0,θθθ<>∴为第四象限例题2.α终边上有一点(4,3)P m m -，(0)m ≠,则2sin cos αα+的值为__________．答案：25±解析：3(0)355||,sin 35||(0)5m m r m m m α⎧->⎪-=∴==⎨⎪<⎩，4(0)5cos 4(0)5m m α⎧>⎪=⎨⎪-<⎩例题3. 若cos(80),k -=那么tan100=__________．答案： 解析：221cos800sin801,tan100tan80k k k -=>=-=-=-例题4. 已知扇形的周长为(0),c c >当扇形中心角为_________弧度时，扇形有最大面积答案：2rad解析：2r r cθ+=2cr θ∴=+∴22222122881628c c c S r θθθθθθ===≤=++++ 当且仅当82,2rad θθθ==时，S 最大例题5. ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0,A A A A +>-<则A 的取值范围是______．答案：324A ππ<< 解析：由tan sin 0,cos 0A A A -<<可知，所以A 为钝角，又sin cos 0A A +> tan 1A ∴<- 故324A ππ<<例题6. 若2sin ,cos 420x mx m θθ++=是方程的两根，则m 的值为__________．答案：1解析：由2sin cos ,sin cos ,12244m m m m θθθθ+=-=∴+=1m ∴=，又111sin cos ,sin 242242m m θθθ=-≤=≤故22m -≤≤1m ∴=例题7. 定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像交点为P ，过P 做1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于2P ，则线段12P P 的长为__________．答案：23解析：线段12P P 的长度即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =（(0,)2x π∈），解得1222sin ,33x PP =∴=例题8. 已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，若[0,],2x π∈则()f x 的取值范围是__________． 答案：3[,3]2-解析：2ω=，5[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴-∈-m i nm a x 3()3s i n (),()3s i n3622f x f x ππ∴=-=-==例题9. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos _____________θθθθ+-= 答案：45解析：原式=222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-===+++例题10. 函数lg(2sin 1)y x =-__________．答案：5[2,2)()36k k k Z ππππ++∈解析：{2sin 1012cos 0x x -≥-≥ 即1sin 21cos 2x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 5[2,2)()36x k k k Z ππππ∴∈++∈例题11. 设函数()2sin(),25f x x ππ=+若对任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为__________．答案：2解析：由1212,,()()()x x f x f x f x ≤≤由任意知12(),()f x f x 为最小值与最大值 12min ||x x ∴-为()f x 的最小正周期的一半，242T ππ== 22T∴=例题12. 已知22326x y +=，y +的最大值是__________． 答案：2解析：设,,x y θθ=cos 2sin()3y πθθθ+==+例题13. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ， 则 =+222cb a __________． 答案：3 解析:2sin cos cos sin sin()sin ()1()11cos sin sin cos sin sin cos sin sin C A B C A B CC A B C A B C A B++=∴⋅=∴= 22222222221332c a b c a b a b c c ab ab+∴=∴=+∴=+-⋅例题14. 23sin 702cos 10-=- __________．答案：2 解析：原式：3sin 7021cos 2022-==+-例题15. 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=__________．答案：79-解析：227cos(2)cos[2()]cos2()2sin ()136669ππππαπααα+=--=--=--=-例题16. 已知(0,),2πα∈且11sin 2cos ,5αα+=则tan _____________α=答案：34解析：2211sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得3sin 35tan 44cos 5ααα⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩例题17. 函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则=)0(f 答案：2例题18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C =，c =则a 与b 的大小关系是__________．答案：ab >解析：22222222120,,2cos 122()2,0C c c a b ab Ca ab ab aba b ab a b a ba b===+-∴=+--∴-=∴-=>∴>+例题19. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值__________．答案：解析：设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⋅=，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得 ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值例题20. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是__________．答案：,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦解析：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=+，由222262k x k πππππ-++剟，得36k x k ππππ-+剟.二、解答题例题21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．解析：由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π例题22.已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABCsin A +sin B 的值．解析：（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=．例题23.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

一、角的概念及任意角的三角函数1．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π42.（2015福建卷）．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）A ． B ． C ． D ．二、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差公式、诱导公式3．化简sin 235°－12cos10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12 C ．－1 D ．14．已知15cos tan(),34πθ=- 则sin()2πθ-等于A ．23 B ．一13 C ．13D ．223± 5．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．6、若，且（ ）A. B. C. D.7、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．三、三角函数图像及性质8、[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增9、已知ϕ是实数，f(x)=cosx ·cos(x+3π)，则“3πϕ=”是“函数f(x)向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称”的( ) A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件10、如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( ) ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2 A ．－1 B ．－ 3 C. 3 D ．15sin 13α=-αtan α125125-512512-图3CDBA11、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 12、（2015浙江卷）、函数的最小正周期是 ，最小值是 ．四、解三角形11、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B= . 12、在中，，为边上的点，且，，则的面积的最大值为 .13．[2014·重庆卷13] 将函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝________．14．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan Atan B ＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中正确的是________．四、解答题15、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE＝1，EC ＝7， EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．（湖南卷）16. （本小题满分12分）如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点, βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记. (Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.()2sin sin cos 1f x x x x =++17、[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C. (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．18、（2014•南昌模拟）已知向量=（sin ，1），=（cos ，cos2）．记f （x ）=•．（Ⅰ）若f （x ）=，求cos （﹣x ）的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，若f （A ）=，试判断△ABC 的形状19、(10分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．20、【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.15、(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD ，即CD2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即 sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16、(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-，即sin cos 20αβ+=． （2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DCβααπβα=⇒=∴=-由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin 22sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sin ββββ--===解得．0,sin .23ππβββ<<∴=⇒=17、解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c.又由a －c ＝66b ，有a ＝2c.所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝6c2＋c2－4c226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.18、解 ：（Ⅰ）∵向量． ∴f （x ）=== ∵，∴，∴∴∴（Ⅱ）∵（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin （B+C ）=sinA∵sinA ＞0，∴cosB= ∵B ∈（0，π），∴B=∵，∴∴或∴A=或A=π（舍去）∴C=∴△ABC 为正三角形．19、解：(1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.20、（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。

2015福建文科高考数学总复习（6）----三角函数单元测试题一、选择题1.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于:A.52B.-52C.51D.-512.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于:A.-23B.23C.21D.±233. 已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是:A.若α,β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β4.若sinx ＋cosx ＝1，那么sin n x ＋cos nx 的值是:A ．1B ．0C ．－1D ．不能确定 5. 函数y=－x ·cos x 的部分图象是：6. 函数x x y sin cos 2-=的值域是: A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17. 已知：函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当12x π=时取最大值4y =；当712x π=时，取最小值4y =-，那么函数的解析式为: A ．4sin(2)3y x π=+ B. 4sin(2)3y x π=-+C 4sin(4)3=+y x π. D. 4sin(4)3y x π=-+8. 在函数y ＝｜tanx ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是:A ．1B ．2C ．3D ．49. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为:A. 21- B .23 C. 23-D 2110. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是:A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 11.函数f(x)＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点中心对称,则: A ．φ＝π2 B ．φ＝k π＋π2 C ．φ＝k π D ．φ＝2k π－π2(k ∈Z) 二．填空题：12. 函数sin 2y x =的定义域是 . 13. 若1351016()sin ()()()(n f n f f f f π=++++，）= .14，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43cos log 21πx y 在区间_______上是减函数15.给出下列命题：(1)存在实数x ，使sinx+cosx ＝3π; (2)若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β; (3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数； (4)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x+4π)的图象.其中正确的命题的序号是 . 三、解答题16.已知函数y ＝3sin3x ．(1)作出函数在x ∈[π6,5π6]上的图象． (2)求(1)中函数的图象与直线y ＝3所围成的封闭图形的面积．17 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；18. 已知y ＝Asin(ωx ＋φ)，(A ＞0, ω＞0,ϕπ<)的图象过点P(π12,0)图象上与点P 最近的一个顶点是Q(π3,5)． (1)求函数的解析式；(2)求使y ≤0的x 的取值范围．19，已知函数.2sin 21log 21⎪⎭⎫⎝⎛=x y（1） 求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数；（2） 判断它的奇偶性； （3） 判断它的周期性。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx [ω>0]的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝＝1.2. 在△ABC 中，若∠B ＝π4，b ＝2a ，则∠C ＝________.答案：7π12解析：根据正弦定理可得a sinA ＝b sinB ，即a sinA ＝2a sin π4，解得sinA ＝12.因为b ＝2a>a ，所以A<B ，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝7π12.3. 已知tanx －1tanx ＝32，则tan2x ＝________．答案：－43解析：由tanx －1tanx ＝32，可得tanx 1－tan 2x ＝－23，所以tan2x ＝2tanx 1－tan 2x＝－43. 4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝[4，4cos α－3]，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝________．答案：－14解析：a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14.5. 设函数f[x]＝cos[ωx ＋φ]－3sin[ωx ＋φ]⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝________．答案：－π3解析：由已知条件，得f[x]＝2cos[ωx ＋φ＋π3]，由题意得T 2＝π2，∴ T ＝π.∴ T ＝2πω，∴ ω＝2.∵ f[0]＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f[x]的对称轴，∴ f[0]＝2或－2.∵ |φ|<π2，∴ φ＝－π3.6. 已知函数f[x]＝2sinx ，g[x]＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f[x]，g[x]的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．答案：2 2解析：构造函数F[x]＝2sinx －2cosx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2.7. 已知f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3[ω>0]，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f[x]在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：143解析：由题意知直线x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω×π4＋π3＝2k π－π2[k ∈Z ]，∴ ω＝8k －103[k ∈Z ]． ①又π3－π6≤2πω[ω>0]，∴ 0<ω≤12. ② 由①②得k ＝1，∴ ω＝143.8. 已知函数f[x]＝sin[2x ＋φ]，其中φ为实数．f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，则f[x]的单调递增区间是________． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3[k ∈Z ]解析：由x ∈R ，有f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f[x]取最值，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴ π3＋φ＝±π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π[k ∈Z ]．∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，∴ sin[π＋φ]>sin[2π＋φ]，∴ －sin φ>sin φ，∴ sin φ<0.∴ φ取－5π6＋2kπ[k ∈Z ]．不妨取φ＝－5π6，则f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π[k ∈Z ]，∴ π6＋k π≤x ≤2π3＋k π[k ∈Z ]．∴ f[x]的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π[k ∈Z ]．9. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c.[1] 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；[2] 若sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：[1] ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4. ∵ △ABC 的面积为3， ∴ 12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.[2] 由sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，得sin[A ＋B]＋sin[B －A]＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·[sinA －sinB]＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．10. 已知函数f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32[ω∈R ，x ∈R ]的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称．[1] 求f[x]的解析式；[2] 若函数y ＝1－f[x]的图象与直线y ＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上只有一个交点，求实数a 的取值范围．解：[1] f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin2ωx －12[1＋cos2ωx]＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1.∵ 函数f[x]的最小正周期为π，∴ 2π|2ω|＝π，即ω＝±1，∴ f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫±2x －π6＋1.① 当ω＝1时，f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝π6对称，舍去．② 当ω＝－1时，f[x]＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π2＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x ＝π6对称．故f[x]的解析式为f[x]＝1－sin ⎝⎛⎫2x ＋π6.[2] y ＝1－f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，在同一坐标系中作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1.11. [2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.[1] 求索道AB 的长；[2] 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[3] 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：[1] 在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－[A ＋C]]＝sin[A ＋C]＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sinC ＝ACsinB ，得AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040[m]．所以索道AB 的长为1 040 m.[2] 假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了[100＋50t]m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝[100＋50t]2＋[130t]2－2×130t ×[100＋50t]×1213＝200[37t 2－70t ＋50]，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537[min]时，甲、乙两游客距离最短．[3] 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB ×sinA ＝1 2606365×513＝500[m]．乙从B 出发时，甲已走了50×[2＋8＋1]＝550[m]，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514[单位：m/min]范围内．。

高三复习高中数学三角函数基础过关习题(有答案)高三复习高中数学三角函数基础过关习题一、填空题1. sin(π/4)的值是____。

2. tan(π/3)的值是____。

3. cos(2π/3)的值是____。

4. sin^2(π/6) + cos^2(π/6)的值是____。

5. sin(2π/3)的值是____。

二、选择题1. 若tanθ = 3，且θ的范围是(0, π)，则sinθ的值是：A. -3/√10B. 3/√10C. -10/3D. 10/32. 若sinα = -1/2，且α的范围是(π/2, π)，则cosα的值是：A. -√3/2B. -√2/2C. 1/2D. √2/23. 一个角θ的终边过点P(-2, -2)，则sinθ的值是：A. -√2/2B. √2/2C. -2/√2D. 2/√24. 若sinx = -1/2，且x的范围是[π, 3π/2]，则cosx的值是：A. 1/2B. -1/2C. √2/2D. -√2/25. 若sinθ = cosθ，且θ的范围是[0, π/2]，则θ的值是：A. π/4B. π/6C. π/3D. π/2三、解答题1. 求下列三角函数的值：(a) sin(-π/4)(b) cos(7π/6)2. 已知三角形ABC中，∠A=60°，BC=4，AC=6，求AB 的长度。

3. 已知tanθ = 3/4，且θ的范围是(0, π/2)，求cosθ的值。

4. 若sinα = -1/√10，且α的范围是(π/2, π)，求cos(2α)的值。

5. 已知sinx = 2/√5，且x的范围是[π/2, π]，求cos(2x)的值。

参考答案：一、填空题1. sqrt(2)/22. sqrt(3)3. -1/24. 15. sqrt(3)/2二、选择题1. B2. A3. D4. B5. A三、解答题1.(a) sin(-π/4) = -sin(π/4) = -sqrt(2)/2(b) cos(7π/6) = cos(π/6) = sqrt(3)/22. 根据余弦定理，有AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos∠A= 6^2 + 4^2 - 2 * 6 * 4 * cos60°= 36 + 16 - 48 * 1/2= 20所以AB = sqrt(20) = 2 * sqrt(5)3. 根据正切函数的定义，有tanθ = 3/4 = opposite/adjacent假设opposite = 3x，adjacent = 4x，则x > 0则根据勾股定理，有sqrt(opposite^2 + adjacent^2) = sqrt((3x)^2 +(4x)^2) = 5x所以cosθ = adjacent/hypotenuse = 4x/5x = 4/54. 根据余弦函数的定义，有cosα = sqrt(1 - sin^2α) = sqrt(1 - (-1/√10)^2) = sqrt(1 - 1/10) = sqrt(9/10) = 3/√10所以cos(2α) = cos^2α - sin^2α = (3/√10)^2 - (-1/√10)^2 = 9/10 - 1/10 = 8/10 = 4/55. sinx = 2/√5 = 2 * √5/5，且x的范围是[π/2, π]，则可得到一个特解x = 2π/3cos(2x) = cos^2x - sin^2x = (cosx)^2 - (sinx)^2 = (√(1 - (sinx)^2))^2 - (sinx)^2 = 1 - (sinx)^2 - (sinx)^2 = 1 - 2 * (sinx)^2= 1 - 2 * (2 * √5/5)^2 = 1 - 2 * (4/5) = 1 - 8/5 = -3/5。

三角函数基础过关题考试时间：100分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每小题5分，共60分） 1．如果角θ的终边经过点)21,23(-，则=θcos （ ） A. 21 B. 23- C. 3 D. 33-2．若,0tan cos >⋅θθ则角θ应为（ ） A ．第一或第二象限的角 B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第三或第四象限的角 3．若02<<-απ，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4( )．A BC D 5y x cos2A ．B ．C ． D6． 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是A.cos2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =7．设A ＝{小于90°的正角}，B ＝{第一象限的角}，则A B 等于( )．A ．{锐角}B ．{小于90° 的角}C ．{第一象限的角}D ．{|k ·360°＜ ＜k ·360°＋90°(k ∈Z ，k ≤0)}8．下列函数中，在区间(0,)2π上为减函数的是( )．A. cos y x =B. sin y x =C. tan y x =D. sin()3y x π=-9．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．105sin 15cos 75cos 15sin +等于（ ）A. 0B. 1C. 23D. 111，则sin 2x 的值为A B C D12 ）C.πD.2π 二、填空题（每小题5分，共20分） 若，则三、解答题（共20分）17．求函数sin cos ,y x x x R =+∈的值域及y 取得最小值时x 的取值的集合.18．（本小题满分12的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )的单调递增区间参考答案1-5．BABCA 6-10．BAABD 11-12．DC1315．13 1617．解：∵ 又∵ x R ∈, ∴ 函数y 的值域为取得最小值时，45x ︒+=360270,,k k z ∙+∈∴360225,x k k z =∙+∈ ∴x的取值的集合为{|360225,}x x k k z =∙+∈18． 解： ………4分，所以1=ω …………………………………………6分………………………12分。

2015年高考数学真题分类汇编 专题04 三角函数与解三角形 文1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A.【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去）， 所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则αtan =OA k ，)3tan(απ+=OB k ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、n 的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（ ） A． B ．2 C．D ．3 【答案】B【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ． 6.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =-. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.7.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．8.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8【解析】由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x π+Φ=时，y 取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22. 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为x x f 2cos 2321)(+-=，再根据ωπ2=T 求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.10.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____. 【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.12.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.13.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力. 14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m. 1006030，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠， AB即1sinsin2ABBC BACACB=⨯∠==∠，所以t a n36C D B C D B C=⨯∠==故应填.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【2015高考上海，文14】已知函数xxf sin)(=.若存在1x，2x，⋅⋅⋅，mx满足π621≤<⋅⋅⋅<<≤mxxx，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--mmxfxfxfxfxfxf),2(*∈≥Nmm，则m的最小值为 .【答案】8【解析】因为函数xxf sin)(=对任意ix，jx),,3,2,1,(mji⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|minmax=-≤-xfxfxfxfji，欲使m取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(mixi⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π621≤<⋅⋅⋅<<≤mxxx，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--mmxfxfxfxfxfxf),2(*∈≥Nmm按下图取值满足条件，所以m的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数x y sin =对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i 是关键.15.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B．16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-．（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=. 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222αα=-+，()sin cos a x b x x ϕ+=+，函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的最小正周期是2πωT =．17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】 （Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x ωφ=+进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x →和()()f x f x k →+，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x ω→和()()f x f x a →+；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，转化为解集长度大于1，是本题的核心． 19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-，sin tan cos ααα=． 20.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【考点定位】正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力. 23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；【解析】试题分析： (I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A的值；可利用余弦定理求出c 的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.24.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝0000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-所以ptanA ＋tanB )(21)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题.25.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a=8,sin C =（II. 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值. 试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==.所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9 【解析】 (1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 22f x x x =-的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p -?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2p p 上的值域是. 【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号.28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II . 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C = ,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.。

1.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2xf x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.2.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为03.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；4.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．5.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===6.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.7.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,)m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)8.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值9.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II10.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）111.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)912.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+32，（Ⅱ）1323,]22.13【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a =8,15sin 8C =;（II ）157316-.16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（I ）2π；（II ）3-.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()33f π=.17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为0 【解析】（Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+-1=21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()2339B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 223【解析】在ABC ∆中，由3cos 3B =6sin 3B =因为A BC π++=，所以6sin sin()9C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，53cos 9C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A-=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=， 又sin0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =， 故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =24.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2－p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B ) 所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB ＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )(21)＝－125.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a=8,sin C =（II【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值. 试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又a b ，可得2b c ,2a c , 由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac . （II ）由(1)知22b ac . 因为B90°，由勾股定理得222a c b . 故222a c ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】(1)25；(2)9 【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+32，（Ⅱ）1323,]22. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 23cos 2f x x x 的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 2113()sin 23cos sin 2(1cos 2)222f x x x x x 1333sin 2cos 2sin(2)22232x x x , 因此()f x 的最小正周期为，最小值为2+32. (2)由条件可知：3g()sin()32x x . 当[,]2x 时，有2[,]363x ， 从而sin()3x 的值域为1[,1]2， 那么3sin()32x 的值域为1323,]22. 故g()x 在区间[,]2上的值域是1323,]22. 28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a c A C = ,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=。

第6讲 三角函数经典精讲题一：函数2()22sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数f (x )的最小值为（ ）A ．1B ．C D ．题二：设函数f （x ）=|sin x |+cos2x ，若62x ππ-≤≤，则函数f （x ）的最小值是 ．题三：已知α、β为锐角，且2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+βββααα，则βαtan tan =题四：已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式． 题五：设函数22()cos()2cos ,32xf x x x π=++∈R . (1) 求()f x 的值域;(2) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.题六：已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值; (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos 2x 的值.题七：已知关于实数x 的不等式22(tan 1)(tan 1)||22x θθ+--≤， x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围．题八：在(0,2π)内，使sin α >cos α成立的α的取值范围为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π ∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32π题九：将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为题十：先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．题十一：已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．题十二：若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )． A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6题十三：在△ABC 中，2AB AC AB AC ⋅=-=，(1)求：AB 2+AC 2的值； (1) 当△ABC 的面积最大时求A 的大小。

2015年高考数学—三角函数（解答+答案）1.(2015新课标Ⅰ文数（17）（本小题满分12分）)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积2.（2015新课标II 文数17．（本小题满分12分））ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。

（1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=o，求B ∠。

3.（2015安徽文数16.（本小题满分12分）） 已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.4.（2015北京文数（15）（本小题13分））已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

5.（2015重庆文数18）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.6.(2015福建文数21.（本小题满分12分）)已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．7.（2015广东文数16、（本小题满分12分）） 已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．8.（2015湖北文数18.（本小题满分12分））某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.9.（2015湖南文数17. （本小题满分12分））设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =； （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .10.（2015山东文数17．（本小题满分12分））AB C ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知33cos =B ，sin()A B +=ac =，求A sin 和c 的值.11.（2015陕西文数17．）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =u r 与(cos ,sin )n A B =r平行.（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.12.（2015上海文数21. （本题满分14分））如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.13.（2015四川文数19、(本小题满分12分)）已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，tan ,tan A B 是关于方程2310()x px p p R +-+=∈的两个实根.（Ⅰ）求C 的大小； （Ⅱ）若3,6AB AC ==，求p 的值14.（2015天津文数16.（13分））△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，12,cos ,4b c A -==-（Ⅰ）求a 和sin C 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

2015年高考真题解答题专项训练：三角函数（理科）1．（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在.2，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期（Ⅱ）求()f x 在区间上的最大值和最小值.3．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx ，cosx ），x ∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．4．【2015高考山东，理16 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若求ABC ∆面积的最大值.5．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22b a -=（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.6．（本小题13（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；7．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．与()cos ,sin n =A B平行．（Ⅰ）求A ；，2b =求C ∆AB 的面积．8，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1（2.9．（本小题满分12分）在ABC ∆点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.10．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） （Ⅱ）若1AD =，，求BD 和AC 的长．2015年高考真题解答题专项训练：三角函数参考答案1．（1）最小正周期为p ，最大值为（2）()f x 在上单调递增；()f x 在. 【解析】试题分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为sin()A x k εϕ++形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、（1（2上分别是增函数和减函数，因此可得()f x 单调区间．试题解析：（1）因此()f x 的最小正周期为p ，最大值为. 考点：三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．2．（Ⅰ）π; （Ⅱ）【解析】（Ⅰ） 由已知，有所以()f x 的最小正周期 （Ⅱ）因为()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以()f x 在区间考点：三角恒等变形、三角函数的图象与性质. 3．（1）tanx=1；（2）【解析】试题分析：（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值； （2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．解：（1）若⊥， 则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx ，即tanx=1； （2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx ，∴若与的夹角为， 则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=， 则sin （x ﹣）=， ∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣= 即x=+=．点评：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（Ⅱ）ABC ∆【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：所以函数()f x；由题意知A 为锐角，所以 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-当且仅当b c =时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 5．（1）2；（2）3b =. 【解析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得，故3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.6．（Ⅰ）2π； 【解析】试题解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++0,x π-≤≤时，()f x 取得最小值为： 试题解析：（Ⅰ）()f x 的最小正周期为()f x 取得最小值为：考点：本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等．7． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用//m n可得，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；（Ⅱ）由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C∆AB 的面积．试题解析：（Ⅰ）因为//m n，所以又sin 0B ≠，从而 由于0A π<<，所以（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB 的面积为又由a b >，知A B >，所以所以C ∆AB 的面积为考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式．8．（1）详见解析；（2 【解析】试题分析：（1件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，转化为只与A 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由tan a b A =，∴sin cos B A =，即（2）由（1）知，()C A B π=-+∴sin sin A C +的取值范围考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.9【解析】 试题分析：根据题意，设出ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理求出a 的长度，再由正弦定理求出角B 的大小，在ABD ∆中.利用正弦定理即可求出AD 的长度.试题解析：如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得，在ABD ∆中，由正弦定理得 考点：1.正弦定理、余弦定理的应用.10．（Ⅱ）1．【解析】（Ⅰ2ABD ADC S S ∆∆=， （Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =． 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．。

2015年高考数学分类汇编——三角函数及解三角形1. （15年福建）若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin13α=-，且α为第四象限角，则212cos1sin13αα=-=，则sintancosααα=512=-，故选D．考点：同角三角函数基本关系式．2.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32-（B）32（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.3.(15年新课标1理科)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k【答案】B4.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．5.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.6.（15年天津文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.7.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式8.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理9.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，6b =，23π∠A =，则∠B = ．【答案】4π【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，即36sin 32B=，所以2sin 2B =，所以4B π∠=. 考点：正弦定理.10.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， 1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．11.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．12..(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,324A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。

（江苏）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（1（2【解析】考点：余弦定理，二倍角公式（10）（安徽）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A考点：1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.（福建）19．已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +)x j +（其中sinj j =），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m 和函数)y x j +有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j +（其中sinj j =） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m的取值范围是(-.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+ 所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．（湖南）17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角》(1)证明：2B A π-=（2）求sin sin A C +的取值范围【答案】（1）详见解析；（2），98]. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin （2π+A ），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将C A sin sin +转化为只与A 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由a=btanA 及正弦定理，得sin sin cos cos A b BA a B==,所以sinB=cosA ，即sinB=sin （2π+A ）.又B 为钝角，因此2π+A ∈（2π，A ），故B=2π+A ，即B-A=2π；（2）由（I ）知，C=π-（A+B ）=π-(2A+2π)=2π-2A>0，所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是sinA+sinC=sinA+sin （2π-2A ）=sinA+cos2A=-22sin A+sinA+1 =-2（sinA-14）2+98，因为0<A<4π,所以,因此<-22199sin 488A ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭ 由此可知sinA+sinC，98]. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质. （四川）19.如图，A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin A AA-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘以2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.（2）由题设知，该四边形的两对角互补.再结合（1）的结果，有tantan tan tan 2222A B C D +++22sin sin A B=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可.由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D B =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .试题解析：（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A A A A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-.由（1），有tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin A ===. 连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin B ===. 所以tan tan tan tan 2222A B C D+++ 22sin sin A B =+=+=考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.。

高三必过关题 三角函数一、 填空题例题1. 已知34sin,cos 2525θθ==- ，则θ角所在的象限为__________． 答案：θ在第四象限解析：sin 0,cos 0,θθθ<>∴为第四象限例题2.α终边上有一点(4,3)P m m -，(0)m ≠,则2sin cos αα+的值为__________．答案：25±解析：3(0)355||,sin 35||(0)5m m r m m m α⎧->⎪-=∴==⎨⎪<⎩，4(0)5cos 4(0)5m m α⎧>⎪=⎨⎪-<⎩例题3. 若cos(80),k -=那么tan100=__________． 答案：21k - 解析：221cos800sin801,tan100tan80k k k k-=>=-=-=-例题4. 已知扇形的周长为(0),c c >当扇形中心角为_________弧度时，扇形有最大面积答案：2rad解析：2r r cθ+=2cr θ∴=+ ∴2222218228816828228c c c S r θθθθθθθθ===≤=++++⋅+ 当且仅当82,2rad θθθ==时，S 最大例题5. ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0,A A A A +>-<则A 的取值范围是______． 答案：324A ππ<< 解析：由tan sin 0,cos 0A A A -<<可知，所以A 为钝角，又sin cos 0A A +>tan 1A ∴<- 故324A ππ<<例题6. 若2sin ,cos 420x mx m θθ++=是方程的两根，则m 的值为__________． 答案：15-解析：由2sin cos ,sin cos ,12244m m m m θθθθ+=-=∴+=1m ∴=±，又111sin cos ,sin 242242m m θθθ=-≤=≤ 故22m -≤≤1m ∴=-例题7. 定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像交点为P ，过P 做1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于2P，则线段12P P 的长为__________． 答案：23解析：线段12P P 的长度即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =（(0,)2x π∈）， 解得1222sin ,33x PP =∴=例题8. 已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，若[0,],2x π∈则()f x 的取值范围是__________．答案：3[,3]2-解析：2ω=，5[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴-∈-min max 3()3sin(),()3sin 3622f x f x ππ∴=-=-==例题9. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos _____________θθθθ+-= 答案：45解析：原式=222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-===+++例题10. 函数lg(2sin 1)y x =-+__________．答案：5[2,2)()36k k k Z ππππ++∈ 解析：{2sin 1012cos 0x x -≥-≥ 即1sin 21cos 2x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 5[2,2)()36x k k k Z ππππ∴∈++∈例题11. 设函数()2sin(),25f x x ππ=+若对任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为__________．答案：2解析：由1212,,()()()x x f x f x f x ≤≤由任意知12(),()f x f x 为最小值与最大值 12min ||x x ∴-为()f x 的最小正周期的一半，242T ππ== 22T∴=例题12. 已知22326x y +=，则2x y +的最大值是__________． 答案：2解析：设,,x y θθ=cos 2sin()3y πθθθ+==+例题13. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ， 则=+222c b a __________． 答案：3 解析:2sin cos cos sin sin()sin ()1()11cos sin sin cos sin sin cos sin sin C A B C A B CC A B C A B C A B++=∴⋅=∴= 22222222221332c a b c a b a b c c ab ab+∴=∴=+∴=+-⋅例题14. 23sin 702cos 10-=- __________．答案：2 解析：原式：3sin 7021cos 2022-==+-例题15. 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=__________．答案：79-解析：227cos(2)cos[2()]cos2()2sin ()136669ππππαπααα+=--=--=--=-例题16. 已知(0,),2πα∈且11sin 2cos ,5αα+=则tan _____________α=答案：34解析：2211sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得3sin 35tan 44cos 5ααα⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩例题17. 函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则=)0(f例题18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C =，c 则a 与b 的大小关系是__________．答案：ab >解析：22222222120,,2cos 122()2,0C c c a b ab Ca ab ab aba b ab a b a ba b===+-∴=+--∴-=∴-=>∴>+例题19. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC的面积的最大值__________．答案：解析：设BC ＝x ，则AC ，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⋅= 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值例题20. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是__________．答案：,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦解析：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=+，由222262k x k πππππ-++，得36k x k ππππ-+.二、解答题例题21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B ． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．解析：由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sinα=β= 因此1tan 7,tan 2αβ==（Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π例题22.已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =+，且△ABC，求sin A +sin B 的值．解析：（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． （2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． 因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+．由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===， 所以()1sin sin 12A B a b +=+=．例题23.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

高考专题训练(二十七) 三角函数(解答题)一、选择题1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x 的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32.∵－π3≤x ≤π3， ∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3， 即x ＝－π4.(2)当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增， 即函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，在[0，π]上列表如下：图象为：2．已知向量a ＝(cos x ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos2x .(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (θ)＝15，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，求sin2θ的值．解 (1)f (x )＝a ·b －cos2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos2x ＝cos2x ＋3sin2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 所以f (x )的值域为[－3,1]． (2)由(1)知f (θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1，由题设2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－1＝15， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴2θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－45， ∴sin2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6sin π6＝35×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33＋410.3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中x ∈R ，A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－1,1,5，求sin ∠MNP 的值．解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4.又f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，且－π2<φ<π2， ∴π4＋φ＝π2.解得φ＝π4， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4. (2)∵f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4＝－1，∴M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)． ∴|MN |＝5，|PN |＝20，|MP |＝37. 由余弦定理得cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35.∵∠MNP ∈(0，π)， ∴sin ∠MNP ＝45.4．已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由m ⊥n ，得m ·n ＝2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3.即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∴A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z . 又0<A <π， ∴A ＝π3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即4＝b 2＋c 2－bc ， ∴4＝(b ＋c )2－3bc ，又b ＋c ＝4， ∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3. 5．已知函数f (x )＝3sinωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2⎝⎛⎭⎪⎫其中ω>0，0<φ<π2.其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值． 解 (1)f (x )＝32sin ()ωx ＋φ＋12[1－cos(ωx ＋φ)] ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12. ∵两个相邻对称中心的距离为π2，则T ＝π， ∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2.又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12，∴cos φ＝12.又∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76， ∴sin C ＝23，又∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25， ∴b ＝6，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝5＋36－25×6×53＝21， ∴c ＝21.。