2015年高考数学(文)试题分类汇编：专题01 集合与常用逻辑用语

专题01集合与常用逻辑用语（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1集合与元素1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号∈或∉表示3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法4、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R知识点2集合间的基本关系表示文字语言符号语言图形语言关系基本关系子集集合A 的所有元素都是集合B 的元素（x A ∈则x B ∈）A B ⊆或B A⊇真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于A A B ⇐或B A⇑相等集合A ，B 的元素完全相同A B=空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集∅知识点3集合的基本运算1、集合交并补运算的表示集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言{},A B x x A x B =∈∈ 或{},A B x x A x B =∈∈ 且{},U A x x U x A =∈∉且ð2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .（2）交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .（3）补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅．∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．知识点4充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件2、充要条件（1）充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。

2015高考数学（文）质量检测 集合、常用逻辑用语、不等式(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1∈{a －3，9a2－1，a 2＋1，－1}则实数a 的值为( )A ．0或4B ．4 C.49D ．4或49解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49.故选C.答案：C2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg (x －1)}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．{x |x >2或x <0}B ．{x |1<x <2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ＝{x |x 2－2x >0}＝{x |x >2或x <0}，∁U A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{x |y ＝lg (x －1)}＝{x |x >1}，(∁U A )∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：C3．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b >2 012且a >－b ”的逆否命题是 A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a <b B ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a >b C ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a <b D ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a >b解析：根据逆否命题的定义可知，逆否命题为“若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a<b”．答案：C4．(2014·河南洛阳模拟)下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R,2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x∈R，lg x<1D. ∃x∈R，tan x＝2解析：分析命题所含量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后判断真假．A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝110时，lg110＝－1<1；D项，当x∈R时，tan x∈R，∴∃x∈R，tan x＝2.故选B.答案：B5．已知a，b∈(0，＋∞)，若命题p：a2＋b2<1，命题q：ab＋1≤a＋b，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：綈q即：ab＋1>a＋b，即a2b2＋2ab＋1>a2＋b2＋2ab(∵a，b∈(0，＋∞))，即a2＋b2<1＋a2b2.∵a2＋b2<1⇒a2＋b2<1＋a2b2；而a2＋b2<1＋a2b2不能推出a2＋b2<1，∴p是綈q的充分不必要条件．答案：A6．下列命题错误的是() A．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x ＋2≠0”C．对命题：“对∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是：“∃k>0，方程x2＋x－k＝0无实根”D ．若命题p ：x ∈A ∪B ，则綈p ：x ∉A 且x ∉B解析：A 、C 、D 正确，对于B ，逆否命题：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0. 答案：B7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1≥2ab ，所以ab ≤14，故选A.答案：A8．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：由p 是假命题可知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0恒成立，故Δ＝4a 2－4a <0，解之得0<a <1.答案：A9．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是 ( )A ．(1－a )>(1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b >(1－a )D ．(1－a )a >(1－b )b解析：∵0<a <b <1，∴0<1－a <1，∴y ＝(1－a )x为减函数．又∵1b >b >b2>0，故A 、C 排除．由(1＋a )a <(1＋b )a <(1＋b )b 知B 也不正确．∵a <b ，∴(1－a )a >(1－b )b ，故选D.答案：D10．如果实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15D ．不存在解析：A (1,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225，B (5,2)，可行域为图中阴影部分，z ＝kx ＋y 的最小值为3，最大值为12，则k >0.故当最优解为(1,1)时，z min ＝k ＋1＝3，∴k ＝2，故选A.答案：A11．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x >0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：由于f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上为减函数，则在(－∞，0)上为增函数，又f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0，则x >0，f (x )≥0，x <0，f (x )<0，又f (2)＝f (－2)＝0，如图所示，∴x <－2或0<x <2. 答案：B12．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[－136，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：由x 2＋ax ＋1≥0得－a ≤x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23都成立，又函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23上单调递减，当x ＝23时，函数y ＝x ＋1x 取得最小值136，∴－a ≤136，即a ≥－136.选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎨⎧ x >0，x 2＋1<4或⎩⎨⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)．答案：(－4，3)14．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －y －2≤0，2x ＋y －5>0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：根据不等式组画出可行域，如图所示为三角形，目标函数z ＝x ＋2y ，所以y ＝－12x ＋z 2.要使目标函数取得最大值，即直线的截距最大，观察图象可知，当直线过点A 时取得截距最大．由⎩⎨⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －5＝0解得点A (1,3)，所以z max ＝1＋2×3＝7. 答案：715.下列四个命题：(1)“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； (2)“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；(3)在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； (4)“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k ∈Z )”． 其中真命题的序号是________(填所有真命题的序号)．解析：“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，是真命题，其余两个很显然是假命题．答案：(1)(2)16．记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max{x 2，25y (x －y )}的最小值为________．解析：25y (x －y )≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋x －y 22＝100x 2，当且仅当y ＝x －y ，即x ＝2y 时等号成立，当x 2＝100x 2，即x 2＝10时，max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2，25y (x －y )取最小值10.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}． (1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝Ø，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1或x ≥4}． ∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}；∁U B ＝{x |1<x <4}，A ∪(∁U B )＝{x |－1≤x ≤5}． (2)∵A ∩B ＝Ø，∴当A ＝Ø时，2－a >2＋a ，得a <0；当A ≠Ø时，由⎩⎨⎧2－a ≤2＋a ，2－a >1，2＋a <4得0≤a <1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1)．18．设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．解：由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减可知0<a <1，即p ：0<a <1； 由曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，可得(2a －3)2－4>0，得a <12或a >52，即q ：0<a <12或a >52.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真． ∴p 、q 一真一假．(1)当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，得12≤a <1； (2)当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<a <12或a >52，得a >52.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.19．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解：(1)M ＝Ø时，由4a 2－4(a ＋2)<0，得－1<a <2； (2)M ≠Ø时，令f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，依题意得⎩⎨⎧1≤a ≤4，f (a )≤0，f (1)≥0，f (4)≥0，即⎩⎨⎧1≤a ≤4，－a 2＋a ＋2≤0，－a ＋3≥0，－7a ＋18≥0，解得1≤a ≤187.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，187.20．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时， |a2|≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．21．(2012年青岛期末)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1，a ∈R 的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a >0.解：因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．(*)当a ＝0时，1≥0恒成立，满足题意；当a ≠0时，为满足(*)必有a >0且Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. 原不等式可化为(x －a )[x －(1－a )]>0.①当0≤a <12时，不等式的解为x <a 或x >1－a ；②当a ＝12时，不等式的解为x ≠12；③当12<a ≤1时，不等式的解为x <1－a 或x >a .综上，当0≤a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }； 当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12}；当12<a ≤1时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }．22．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书定价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)． (2)每套丛书售价定为x 元时， 由⎩⎨⎧1.5－0.1x >0，x >0得0<x <150. 依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，∴P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋120， ∵0<x <150，∴150－x >0， 由(150－x )＋100150－x ≥2 (150－x)·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x＝100150－x，即x＝140时等号成立，此时P max＝－20＋120＝100.答：(1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；(2)每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．。

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4.(2014·陕西高考)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|＝ |z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确 的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 解析：选 B 因为原命题为真,所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|, 当 z1＝1,z2＝－1 时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是 假的,故否命题也是假的.故选 B.
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5.(2014·重庆高考)已知命题 p：对任意 x∈R,总有 2x>0；q： “x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.綈 p∧綈 q C.綈 p∧q D.p∧綈 q
解析：选 D 依题意,命题 p 是真命题.由 x>2⇒ x>1,而 x>1⇒/ x>2, 因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故命题 q 是假命题,则綈 q 是真命
2.A＝{x|x≤－1 或 x≥3},故 A∩B＝[－2,－1],选 A. 3.由 A∩B＝A 可得 A⊆B,而集合 B＝{x|2<x≤4,x∈N}＝{3,4}. 显然当 a＝0 时,A＝∅,A⊆B.当 a≠0 时,由1a＝3 或1a＝4,得 a＝13或14. 故 a 的所有值组成的集合为0，14，13,故选 D. 4.由题意知,集合 A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|－1≤y≤1},则图中阴 影部分表示的集合为 A∩B＝{x|0≤x≤1}. [答案] 1.B 2.A 3.D 4.{x|0≤x≤1}

【答案】D
【试题解析】由题意， B= x x2 4x 3 0 1,3，所以 A B 1,1, 2,3 ,
所以 ðU A B 2, 0 .故选：D.
【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本 运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解 及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有： （1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【得分要点】 解集合运算问题应注意如下三点：
”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））设
m,
n
为实数，则“
0.1m
0.1n
”是“
lg
1 m
lg
1 n
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2022·上海虹口·二模）已知 l1 ，l2 是平面 内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“ l ”是“ l l1 且 l l2 ”
CU A _____.
13．（2022·广东·华南师大附中三模）当 x a 时， x 1 0 成立，则实数 a 的取值范围是____________． x
14．（2022·山东聊城·三模）命题“ x R ，a2 4 x2 a 2 x 1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围为______.