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15.1.1从分数到分式

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15.1.1 从分数到分式
一、 教学目标
1
．了解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式的值为0的条件．

2
．通过解决实际问题，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类

代数式．
3
．体会类比等数学思想或方法，获得代数学习的成功经验．

二、 教学重难点及教法
【教学重点】分式的概念，分式有意义的条件．
【教学难点】分式有意义的条件，分式的值为0的条件．
【教学方法】采用“设置情境－引导发现”的教法引入分式概念；采用学生自主观察归
纳与教师启发点拨相结合的教法突出概念的形成过程；采用“精讲精练”的教法落实双基要
求．
在教学中注重：(1)从分数到分式，是从具体到抽象、从特殊到一般的概念形成过程；(2)
类比分数的有关知识得到分式的相关知识是研究分式的基本方法．
【教学用具】计算机课件；标记字母和数字的自制纸牌10张．

三、 教学过程设计

（一）创设情境，形成概念

（二）加深理解，提升认识
（三）综合运用，拓展探究
（四）总结感悟，发散思维

创设问题情境
形成分式概念
分式有意义的条件
分式值为 0 的条件
拓展练习
纸牌游戏
（一） 创设情境，形成概念
【情境引入】千里江陵几日还？

李白《早发白帝城》：“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还．”


郦道元《水经注·三峡》：“有时朝发白帝，暮至江陵，其间千二百里，虽乘奔御风，不以疾
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也．”（初二语文课文）
师生共同回忆诗文内容后，教师对“千里江陵”能否“一日还”提出疑问，并依次提出
下列涉及船速、水速、距离和时间等数量关系的具体问题（其中问题(1)～(3)中不考虑水速）：
(1) 如果半日行船530
千米，船速约为多少千米/时？

(2) 如果行船速度为v千米/时，半日(12
小时)行船距离是多少千米？

(3) 如果行船距离s千米，船速v
千米/时，用时多少小时？

(4) 如果距离530千米，船速0v千米/时，水速10
千米/时，则顺水行船需多少小时？

(5) 如果距离s
千米，船速0v千米/时，水速1v千米/时，则逆水行船需多少小时？

学生列式：

001
530530, 12, , , .1210ss
v

vvvv
(*)

教师继续出示两个复杂分式：
01101()vvtvv 和 011012
12

()()vvtvvttt

请学生尝试解释它们在行船问题中的含义．
【形成概念】
(*)式中代数式的排列顺序，体现了从分数到分式、从整式到分式的过渡．教师向学生指
出，类比和归纳是探索新概念的重要方法．进而提问：以上代数式中哪些是整式？哪些不是
整式？不是整式的代数式有哪些共同特征？
在学生观察、归纳的基础上，教师板书分式定义：

形如AB（A、B为整式，且B中含字母）的代数式叫做分式．
并类比分数剖析分式概念——

形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成．


内容：分数的分子分母都是整数，分式的分子分母都是整式．
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要求：分式的分母中必须含字母；分子中可以含字母，也可以不含字母．

【练习】判断以下代数式中哪些是整式？哪些是分式？
2
2222
1142521, , , , , , , , .3353213()πxaxmnxxc

x

xbxymnxxab

（二） 加深理解，提升认识
【填表探究】 请学生填写一张求分式的值的表格：
a
… -2 -1 0 1 2 …

2
a
… -1 -2 无意义 2 1 …

2
11a … 13 无意义 -1 无意义 1
3
…

2
1aa

… 25 12 0 12 25 …

【课堂例题】 以下分式何时有意义？何时值为0？（补充）
(1) 分式1aa； (2) 分式2(1)43xx.
教师板书解题步骤，师生共同总结：

分式有意义，需要分母不为0，需要解一个带“≠”的不等式．


分式的值为0，既要分子等于0、也要分母不为0．可以用方程和不等式组成条件组

表示上述条件．
【变式练习】以下分式何时有意义？何时值为0？（补充）

2
1121, , , .131xbx
xxyabx

（三） 综合运用，拓展探究

【拓展练习1】当x______时，分式3||123xxx的值为0．
【拓展练习2】当x______时，分式242xx的值为负数．
【拓展练习3】某同学每天早晨以每分钟a米的速度骑车上学．某日他出门8分钟后，
爸爸发现他忘了数学作业本，立即骑摩托车以每分钟b米的速度去追. 问：几分钟后爸爸追
上他？当a＝200时，b能取200吗？b能取150吗？

（四） 总结感悟，发散思维
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【总结】师生共同总结课堂所学知识和收获．
【游戏】在一组纸牌上标记数字1、2、3、4和字母a、b、c、k、x、y，请学生抽取3～
4
张并用上面的字母和数字组成分式．

四、 布置作业

必做作业：教材第8页习题16.1第1、2、3、8、13题（分别要求列分式、辨别整式

和分式、分析分式何时有意义、分析分式何时值为0）．

选作作业：用课堂抽到的字母和数字构造尽可能多的分式（字母、数字不重复使用）

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15.1.1从分数到分式

15.1.1从分数到分式

八年级上册数学导学案15.1.1从分数到分式【学习内容】课本P127-128 【学习目标】1. 能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想。

2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别。

3.掌握分式有意义、无意义和值为零的识别方法,能熟练解决有关问题。

【学习重点】正确理解分式的意义，分式是否有意义的条件及分式的值为零的条件。

【学习难点】明确分式有意义的条件和分式值为零的条件。

【学习过程】 【活动1】情境导入我们可以用含字母的代数式表示问题，你能用代数式表示下面的一些问题吗？（1）长方形面积为10cm 2，长7cm,宽____cm ；长方形面积为S ，长为a ，宽应为_____。

（2）小明有m 本书，小红的书比小明的3倍少4本，则小红有 本。

（3）小明打靶,有x 次打了8环,y 次打了7环,则此次打靶的平均成绩是________环。

【活动2】新知学习 1、类比归纳：（1）以上问题中出现的代数式，整式是 ____________________； 不是整式的是__________________ . （2）这几个不是整式的代数式与分数有什么异同？与整式有什么区别？2、概念学习：（1）一般地，如果A 、B 表示 ，并且B 中含有 ，那么式子 叫做分式，其中A 叫做分式的_______ ，B 叫做分式的_________。

（2）试举出三个分式的例子_________ 、_______________ 、_______________。

3、及时巩固： 下列各式哪些是分式，哪些是整式？①38a ②－y 2； ③x xy x +2； ④π21+x ； ⑤32yx +； ⑥)1)(1(23-++x x x 。

4、讨论交流：（1）类比分数的特点，想一想，对于一个分式，其分母的取值是否可以为0？要使分式有意义，分式的分母应满足什么条件？要使分式无意义呢？（2）对于一个分式，其分子的值是否可以为0？若可以，应满足什么条件？小结：.分式有意义的条件是： _______ 。

15.1.1从分数到分式 公开课ppt课件

15.1.1从分数到分式 公开课ppt课件

2)分式比分数更具有一般性。
5
第二步：互助探究
1、下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类
式子的区别是什么？ （课本129页第2题）
1x
4
2a 5
x
x3
3b3 5
3
x2 y2
mn mn
x2 2x 1 x2 2x 1
c
3a b
区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有字母, 含有字母的是分式，不含字母的是整式。
3a b
6
x
2 2
1
x≠y
b≠3a
x≠±1
8
第二步：互助探究
三、当 B A=0时，分子和分母应满足 什么条件？
当A=0且B≠0时，分式 A 的值为零.
B
9
第二步：互助探究 例、已知分式 x2 4 ,
x2
(1) 当x为何值时，分式有意义? (2) 当x为何值时，分式的值为零? 解：(1)当x≠-2时，分式有意义
15.1.1从分数到分式
1
轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航 速顺流航行90 km所用时间 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的 流速为多少？
解：设江水的流速为v km/h.
90 60 . 30 v 30 v
2
第一步：交流预习
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
v
s和
S a
，以及
210和00 v
60有什么共同特点？
20 v
（分母中都含有字母）
它们与分数有什么相同点和不同点？
4
第二步：互助探究
： 一、分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含 有字母，那么称 BA为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
15.1.1 从分数到分式

15.1.1 从分数到分式

15.1.1 从分数到分式【学习目标】1.了解分式的概念,能判断一个式子是否为分式.(重点)2.理解当分母不为零时分式才有意义;在分式有意义的条件下,会求分式的分母中所含字母的取值范围;会确定分式的值为零的条件.(难点)【教学过程】一、创设情境，导入新课1.长方形的面积为10cm ²,长为7cm.宽应为 cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______;2.x 与y 的2倍的和表示为 ;3.甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时;4. 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米∕小时，若江水流速为v 千米∕小时，则它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间可以表示为 小时，以最大航速逆流航行60千米所用的时间可以表示为 小时.二、合作交流，探究新知1.请你将以上4道题的式子进行分类：单项式：多项式：既不是单项式也不是多项式：2.既不是单项式也不是多项式的这几个式子与分数有哪些相同点和不同点？3.既不是单项式也不是多项式的这几个式子的共同特点是什么？探究一：分式的概念1．什么是分式？【注意】分式的分母中含有字母是分式的一大特点.2.判断：下列式子 (1)52-b ， (2) πx ，(3) 223ba +，(4) x x 2，(5) y x +2，（6）5122+x 中是分式的有探究二：分式有意义的条件例1.当x 为何值时，下列分式有意义? (1)5-x x (2)112+x (3)2)1(3-x练习一1.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是( ).A. 121+xB. x x 32-C.212xx - D.322+x x 2.分式92-a a 没有意义的条件是( ). A. 3=a B.3-=a C.3=a 或3-=a D. 3=a 且3-=a 探究三：分式值为0的条件例2.当x 为何值时，下列分式的值为零? (1) x x 1- (2)242+-x x练习二 当x 为何值时，下列分式的值为零? (1)723-+x x (2) 11+-x x三、课堂小结，总结收获同学们，这节课你学到了哪些知识？四、当堂检测，信息反馈1.下列式子(1)2n m +、（2）y 31、（3）πxy 、（4）y 14-、（5）1--x m 、（6）234xy 中,整式有 ;分式有 .2.使分式)2)(1(1+--x x x 有意义，则x 应满足( ). A. 1≠x B.2-≠x C.1≠x 或 2-≠x D. 1≠x 且2-≠x3.已知分式nx m x +-2, 当x=3时,分式无意义; 当x= —1时,分式值为0; 求 n m n m -+22的值.五、思维拓展，能力提升思考： 已知分式35+-x x 的值＜0，求x 的取值范围.六、课外作业，巩固提高 书：第133-134页13832、、、。

15.1.1 从分数到分式

15.1.1 从分数到分式

V
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则