《从分数到分式》典型例题

第十五章 分式15.1.1 从分数到分式一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在1x 、13、212x +、3πxy 、3x y +、5b a +中，分式的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．使分式23x -有意义的x 的取值范围是A ．3x >B ．3x ≠C ．3x <D ．3x = 3．当x 为任意实数时，下列分式中一定有意义的是 A ．21x x - B ．211x x +- C ．211x x -+D ．12x x -+ 4．若分式3||1x x +有意义，则A ．x ≠-1B ．x ≠±1C ．x 可为任何实数D ．x ≠0 5．下列分式中，当x =1时，有意义的是 ①11x -；②21x x +；③(1)(2)(1)(2)x x x x ++--；④(2)(3)(1)(2)x x x x -+++．A ．①③B ．①②③C ．②③D ．②④6．当分式||33x x -+的值为0时，x 的值为A ．0B ．3C ．-3D ．±3 二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．对于分式293x x -+，当x __________时，分式无意义；当x __________时，分式的值为0．8．把单价为每千克m 元的茶叶p 千克与单价为每千克n 元的茶叶q 千克混合起来卖出，要使卖出的钱数不变，则混合后茶叶的定价为__________元/千克．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．根据题目要求，确定x 的取值范围．（1）当x 取什么值时，分式2225x -有意义？（2）当x 取什么值时，分式2469x x x +-+无意义？ （3）当x 取什么值时，分式||77x x --的值为零？。

15。

1 分式 15。

1。

1 从分数到分式一、选择题 1． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a -，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④ 2． 分式21x ax +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义C ．若12a ≠-时，分式的值为零D ．若12a =-时，分式的值为零3． 下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++4． 使分式21aa -无意义，a 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5。

下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +6。

使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 7。

下列各式是分式的是 （ ）A ．9x+4B 。

x 7C 。

209y +D 。

5x y+8。

下列各式中当x 为0时，分式的值为0的是 （ ）A 。

B 。

C 。

D 。

x7二、填空题9．________________________统称为整式．x x 57+x x 3217-x x x --22110。

甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________．11。

下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．12． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．13． 下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有___________；是整式的有___ ______． 14． 当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134x x +-无意义．15． 当x =____ __时，分式392--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212x x x -+-的值为零。

《从分数到分式》典型例题例1．下列各式中不是分式的是（ ）A ．y x x +2B ．21πC ．21xD ．13−x x例2．分式)3)(2(1−−−x x x 有意义，则x 应满足条件（） A ．1≠xB ．2≠xC ．2≠x 且3≠xD ．2≠x 或3≠x例3．当x 取何值时，下列分式的值为零？（1）212−+x x ； （2）33+−x x例4．932−+x x 与31−x 是同一个分式吗？例5．若分式xx 2123−+的值为非负数，求x 的取值范围例6. 判断下列有理式中，哪些是分式？ ()x −151；y y 132+；2b a +；c b a c b a ++−−；()312−πx ；223121y x −；例7. 求使下列分式有意义的x 的取值范围：（1）521−+x x ； （2）x x −+243； （3）()()3521+−x x ； （4）5.03222+−−x x x 。

例8. 当x 是什么数时，下列分式的值是零：（1）22322+−−x x x ； （2）33−−x x 。

参考答案例1．解答 B说明 ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ②π是一个常数，不是一个字母例2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即 0)3)(2(≠−−x x ，所以2≠x 且3≠x解 C说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点例3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零解 （1）由分子012=+x ，得21−=x .又当21−=x 时，分母02≠−x . 所以当21−=x 时，分式212−+x x 的值为零。

（2）由分式03=−x ，得3±=x .当3=x 时，分母063≠=+x ；当3−=x 时，分母03=+x .所以当3=x 时，分式33+−x x 的值为零. 例4．分析 分式932−+x x 有意义的条件是092≠−x ，即3≠x 和3−.而31−x 有意义的条件是3≠x ，而当3−=x 时，31−x 是有意义的. 解 由于932−+x x 与31−x 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式. 说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑其他问题.例5．分析 0>ab 可转化为0>a ，0>b 或0<a ，0<b ；0≥ba 可转化为0≥a ，0>b 或0≤a ，0<b解 根据题意，得xx 2123−+0≥，可转化为 （Ⅰ）⎩⎨⎧>−≥+021,023x x 和（Ⅱ）⎩⎨⎧<−≤+.021,023x x由（Ⅰ）得2132<≤−x ，由（Ⅱ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>−≤.21,32x x 无解. 综上，x 取值范围是：2132<≤−x 例6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。

《从分数到分式》典型例题例1．下列各式中不是分式的是（ ）A ．y x x +2B ．21πC ．21xD ．13-x x例2．分式)3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足条件（）A ．1≠xB ．2≠xC ．2≠x 且3≠xD ．2≠x 或3≠x例3．当x 取何值时，下列分式的值为零？ （1）212-+x x ； （2）33+-x x例4．932-+x x 与31-x 是同一个分式吗？例5．若分式xx 2123-+的值为非负数，求x 的取值范围例6. 判断下列有理式中，哪些是分式？()x -151；y y 132+；2b a +；c b a c b a ++--；()312-πx ；223121y x -；例7. 求使下列分式有意义的x 的取值范围：（1）521-+x x ； （2）x x -+243；（3）()()3521+-x x ； （4）5.03222+--x x x 。

例8. 当x 是什么数时，下列分式的值是零：（1）22322+--x x x ； （2）33--x x 。

参考答案 例1．解答 B说明 ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ②π是一个常数，不是一个字母例2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即0)3)(2(≠--x x ，所以2≠x 且3≠x解 C说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点例3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零解 （1）由分子012=+x ，得21-=x .又当21-=x 时，分母02≠-x . 所以当21-=x 时，分式212-+x x 的值为零。

（2）由分式03=-x ，得3±=x .当3=x 时，分母063≠=+x ；当3-=x 时，分母03=+x .所以当3=x 时，分式33+-x x 的值为零.例4．分析 分式932-+x x 有意义的条件是092≠-x ，即3≠x 和3-.而31-x 有意义的条件是3≠x ，而当3-=x 时，31-x 是有意义的. 解 由于932-+x x 与31-x 有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑其他问题.例5．分析 0>ab 可转化为0>a ，0>b 或0<a ，0<b ；0≥ba可转化为0≥a ，0>b 或0≤a ，0<b解 根据题意，得xx 2123-+0≥，可转化为 （Ⅰ）⎩⎨⎧>-≥+021,023x x 和（Ⅱ）⎩⎨⎧<-≤+.021,023x x由（Ⅰ）得2132<≤-x ，由（Ⅱ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤.21,32x x 无解.综上，x 取值范围是：2132<≤-x例6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。

16.1.1 从分数到分式【自主领悟】1．长方形的面积为S ，它的一边长为a ，则长方形的另一边长为 ．2．小王每小时能做x 个零件，则他4小时做零件 个，做40个零件需 小时．3．甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n千克，混合后，平均每千克价格是_________________． 4．判断下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？35x +，7x ，512x +，54m -，243x x -，18y -5．当x 取何值时，分式22421x x +-无意义？6．当x 为何值时，分式211x x --+的值为0？【自主探究】问题1 指出下列各式中，哪些是分式？221x x -，45b c +，37，221x -，23a a ，2132a b +． 名师指导判断一个式子是否为分式，可从以下方面考虑：（1）式子的形式应当是A B的形式；（2）分母B 中要含有表示变量的字母，分子则不一定含字母；（3）式子的分子、分母必须都是整式．只有同时具备了以上三点的式子才可称作是分式．37是一个常数，不是分式；221x -是整式，不满足A B 的形式，不是分式；2132a b +分母中不含字母，不是分式，其余各式均为分式．问题2（1）当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2323x x +-有意义. （2）下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x + D ．2221x x + 名师指导（1）第一个分式要满足分母320x +≠，即23x ≠-； 第二个分式要满足分母230x -≠，即32x ≠． （2）对于任意x 的值，分式都要有意义，与分子取值无关，但要求分母始终不为0．A 、B 选项中，当12x =-时，分母为0；C 选项中，当0x =时，分母为0；而D 选项中的分母221x +＞0，也即不管x 取什么值，其分母都一定大于0，所以D 项中的式子一定是分式．归纳提炼在分式中，决定一个分式有无意义的关键点在于分式分母是否为0．与分数一样，如果分母不为0，则分式有意义；否则，分式无意义．问题3 当m 为何值时，分式的值为0？（1）1m m -； （2）23m m -+； （3）211m m -+． 名师指导分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：分子为0且分母不为0，依据这两个条件求出的m 的值，就是这类题目的解．解题示范解：解：（1）∵0,10,m m =⎧⎨-≠⎩ ∴0m =.（2）∵20,30,m m -=⎧⎨+≠⎩∴2m =.（3）∵210,10,m m ⎧-=⎨+≠⎩∴1m =．归纳提炼对于分式A B =0，请注意解混合组0,0.A B =⎧⎨≠⎩由此求出分式中相关字母必须满足的条件． 【自主检测】1． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．2． 下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 3． 当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134x x +-无意义． 4． 当x =____ __时，分式392--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212x x x -+-的值为零.5． 当x =___ ___时，分式436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271x -+的值为负数．6． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a -，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④7． 分式21x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是 （ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12a =-时，分式的值为零 8． 下列各式中，可能取值为零的是 （ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++ 9． 使分式21a a -无意义，a 的取值是 （ ）A．0 B．1 C．－1 D．±110．已知234xyx-=-，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．【自主评价】一、自主检测提示4．4316xx+=-，方程两边同时乘以6x-，解方程即可，下同．5．分式436xx+-的值为1，即分子、分母相等，得到一个一元一次方程，解方程即可；27 1x -+值为负，分子、分母异号，因为分子为负，所以分母必须为正，而2x是非负数，故21x+＞0，所以x可取任意实数．7．如果分式值为零，则分母不能为零．8．必须确保分母不为零．10．（1）、（2）根据题意对分子、分母的符号进行讨论．二、自我反思1．错因分析2．矫正错误3．检测体会4．拓展延伸【例题】请指出下列各式中，是分式的式子有哪些？（1）13（2）2a-（3）4xx（4）n mm n（5）1yx+（6）23ba-【点拨】所谓分式，是从它的表示形式上去认识的．“一般地，用A，B表示两个整式，A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．”实际上，由整式与这样的式子之间的运算（其中，乘方运算看作乘法运算的特殊情况，并规定两式相除时除式不为0）所组成的式，也属于分式的范围．因此，判断分式时，从形式上看，主要有两种：一是符合AB的形式；二是含有AB的形式的式子的四则运算．所以本题中，（1）是分数，但不是分式，是整式；（2）也是整式，其余皆为分式．参考答案1．2sm n+2．11x+、22a ba b--，1()5x y+、23x-、0 3．12，434．3-，1-5．3-，为任意实数6．C 7．C 8．C 9．D 10．（1）34＜x＜2；（2）x＜34或x＞2；（3）x=2；（4）x=34。