2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟考试数学(文)试题(解析版)
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第 1 页 共 16 页 2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟考试数学（文）试题
一、单选题
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】,所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
2．若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，根据向量加减法的坐标运算得，，又，则，所以.所以正确答案为B.
3．设集合，，现有下面四个命题：
；若，则；
：若，则；：若，则.
其中所有的真命题为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.
点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.
4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页 共 16 页
A. B. 296 C. D. 512
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆柱所得的组合体，
其中正方体的棱长为8，圆柱的底面半径为2，高为6，
则该几何体的体积为：.
本题选择C选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
5．若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】由题意得，，即，若，即，则，，不合题意，因此，即，则，解得，即，，所以椭圆离心率为.故正确答案为A.
点睛：此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义应用，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在轴或是轴）进行讨论，从而解决问题.
6．若，，则的值构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 第 3 页 共 16 页 【解析】由知，，即，当时，，所以，从而，当时，，所以，因此选C.
7．若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由题意，可设切点坐标为，由，则，切线斜率，由点斜式可得切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或，所以切线斜或.故正确答案为C.
8．设满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，可作出约束条件的可行域，如图所示，在可行域内，当时，取得最小值；不妨设的最大值为，则有或，即或，结合图形，当直线过点时，取得最大值为，所以的取值范围为.故正确答案为A. 第 4 页 共 16 页
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“ ”中，可以先后填入（ ）
A. 是偶数？
B. 是奇数？
C. 是偶数？
D. 是奇数？
【答案】D
【解析】根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，
结束，所以第二个框应该填，故第 5 页 共 16 页 选D.
10．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1,平面BCE,
又平面BCE， 平面平面BCE ，
又平面平面ABCD=GH, 平面平面ABCD=BC,
= HD=1,故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1，所以球的表面积为
点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则的取值范围为（ ） 第 6 页 共 16 页 A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，又在上单调递减，所以，得：，故得的取值范围为
故选D
12．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：不失一般性可设，利用，结合图象可得的范围及，，将所求式子转化为的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围.
详解：作出函数的图象，由时，，可得，可化为；当时，，可得，令，
解得或7，由图象可得存在使得，可得，即有，则，设，则在递减，则，则的范围是，故选B． 第 7 页 共 16 页
点睛：本题考查函数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想以及数形结合思想的应用．
二、填空题
13．下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是_______.
【答案】
【解析】由题意知，靶子的面积为，靶中黑色部分的面积为，根据几何概型概率的计算公式可得，所求概率为.
14．若函数在区间上的最大值为6，则_______.
【答案】4
【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.
15．在中，点在边上，平分，是边上的中点，，，，则_______.
【答案】 第 8 页 共 16 页 【解析】分析：根据向量的数量积概念可得，由正弦定理可得，根据两次运用余弦定理可得，继而可得结论.
详解：如图所示，∵平分，∴，
又∵，∴，
即，∴由正弦定理可得 ，
设，由余弦定理得，，
又∵，∴，
即，解得（舍负），可得，故答案为.
点睛：本题主要考查了向量数量积的概念，正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握基本概念是解题的关键.
16．设，双曲线：与圆：相切，，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为_______.
【答案】
【解析】由题意得，双曲线中，，易知点为双曲线的左右焦点，又点满足，所以点是双曲线与圆的切点，且在双曲线的右支上，由圆方程可知其圆心为，半径为，由，消去得，，由，又，解得，则，解得，即所求距离为. 第 9 页 共 16 页 点睛：此题主要考查双曲线定义、方程、焦点等，圆的方程、圆心、半径等，以及求二次函数的解等有关方面的知识与运算技能，属于中高档题型，也是常考题型.在解决此类问题中，常需要联立方程，消去一元，得到另一元的二次方程，由于两曲线相切，因此方程有唯一解，由判别式求出参数的值，再代回方程，从而问题得于解决.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.
试题解析：（1）∵，∴，
∴，
当时，，又也满足，故.
又，∴.
（2）∵，
∴.
点睛：此题主要考查数列的通项公式和前项和公式，以及它们之间关系的应用，还有分组求各和法在求数列前项和中的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.分组求和法就是将数列的项分成两项或三项等，而这两项或三项往往就是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，然后再合并，从而得到该 数列的和. 第 10 页 共 16 页 18．根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.
（1）求这20天的平均降水量；
（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数的概率.
【答案】(1)433mm;(2)详见解析.
【解析】试题分析：（1）根据折线图数据计算20天的平均降水量即可；（2）根据折线图分别计算延误天数，用频率估计概率.
试题解析：
（1）这20天的平均降水量为
.
（2）∵的天数为10，∴的频率为，
故估计的概率为0.5.
∵的天数为6，∴的频率为，
故估计的概率为0.3.
∵的天数为2，∴的频率为，
