山西省实验中学2019-2020高三摸底考试理数试卷(附答案解析)

2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+x −2≤0}，B ={x|y =ln(1−2x)}，则A ∩B =( )A. (12,1]B. [−2,−12)C. [−2,12)D. [−2,12]2. 下列各组函数中表示相同函数的是( )A. f(x)=√x 2，g(x)=√x 33B. f(x)=√x √x +1，g(x)=√x 2+xC. f(x)=|x|x ，g(x)={1(x ⩾0),−1(x <0),D. f(x)=x 2−2x −1，g(t)=t 2−2t −13. 设f(x)={2e x−1(x <2)log 3(x 2−1)(x ≥2)，则f[f(2)]=( )A. 2B. 3C. 9D. 18 4. 设f(x)=e x −x −2，则函数f(x)的零点所在区间是( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)5. 函数f(x)=−3|x|+1的图象大致是( )A.B.C.D.6. 命题p ：∀x ∈R ，x 2+1>0，命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ+cos 2θ=1.5，则下列命题中真命题是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. ￢p ∨qD. p ∧(￢q)7. 设a =log 2018√2019,b =log 2019√2018,c =201812019，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a 8. 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. −1D. −2 9. 已知函数f(x)=2x 2，则f ′(1)等于( )A. 2B. 4C. 4+2△xD. 4+2(△x)2 10. 函数y =ln(3x −2)在点(1,0)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( )A. 14B. 34C. 12D. 3211. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f (x )=x 2+2xf′(1)，则f (2)=( )A. −4B. 0C. 4D. 812.定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x≥0时，f(x)={−x 2+1,0≤x<12−2x,x≥1.若对任意的x∈[m−1,m]，不等式f(2−x)≤f(x+m)恒成立，则实数m的最大值是()A. −1B. −2C. 23D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果幂函数f(x)的图象过点(4,12)，那么f(16)=___________．14.“∀x∈R，都有x2−2x+2≠0”的否定是______ ．15.已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(−1)=−1，则f(2017)+f(2016)=________．16.函数f(x)=−x3+3x2−ax−2a，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)>0，则a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．(1)求C R(A∩B)；(2)若C={x|x≤a}，且A⊆C，求实数a的取值范围．18.已知p：∀x∈R，m(4x2+1)>x；q：∃x∈[2,8]，mlog2x+1≥0．(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若¬p∨q为真命题且¬p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19.中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N∗.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时高铁为满载状态，载客量为1000人；当5≤t<20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20−t)2成正比，且发车时间为5分钟时的载客量为100人．记发车间隔时间为t分钟时，高铁载客量为P(t)．(1)求P(t)的表达式；P(t)−40t2+650t−2000(元)，当发车时(2)若该线路发车时间间隔t分钟时的净收入Q(t)=t4最大．间间隔为多少时，单位时间的净收益Q(t)t20.定义g(x)=f(x)−x的零点x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)(1)当a=1，b=−2时，求函数f(x)的不动点；(2)对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)若函数g(x)有不变号零点，且b>1，求实数a的最小值．21.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数．2x+1+a(1)求a、b的值；(2)若对任意的x∈R，不等式f(x2−x)+f(2x2−t)<0恒成立，求t的取值范围．22.已知函数f(x)=13|x−a|，(a∈R)(1)当a=2时，解不等式|x−13|+f(x)≥1；(2)设不等式|x−13|+f(x)≤x的解集为M，若[13,12]⊆M，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析： 【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】解：∵集合A ={x|x 2+x −2≤0}={x|−2≤x ≤1}， B ={x|y =ln(1−2x)}={x|x <12}，∴A ∩B ={x|−2≤x <12}=[−2,12).故选：C ．2.答案：D解析： 【分析】本题考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题目．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是相等的函数． 解析： 解：A ：f (x )=|x |,g (x )=x ，定义域相同，值域不同，对应关系不同，不是同一函数； B:定义域不同，不是同一函数； C ：定义域不同，不是同一函数；D ：定义域相同，值域相同，对应关系也相同，是同一函数； 故选D ．3.答案：A解析：解：∵f(x)={2e x−1(x <2)log 3(x 2−1)(x ≥2)， ∴f(2)=log 3(22−1)=1， f[f(2)]=f(1)=2e 1−1=2． 故选：A ．由已知得f(2)=log3(22−1)=1，由此能求出f[f(2)]=f(1)=2e1−1=2．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．由函数的解析式判断函数的单调性，再求解f(1)，f(2)的值，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=e x−x−2的零点所在的区间．【解答】解：由于函数f(x)=e x−x−2，是连续函数，f(0)=−1，求导f′(x)=e x−1，当x<0时，f′(x)<0，f(x)为单调递减，而f(x)<0，即f(x)在(−∞,0)不存在零点．当x>0时，f′(x)>0，f(x)为单调递增，且f(1)=e−1−2<0，f(2)=e2−4>0，f(1)f(2)<0，由零点判定定理可知：函数f(x)=e x−x−2的零点所在的区间是(1,2)，故选：C．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图像，属于中档题.根据函数的奇偶性排除B，D，根据x=0时，y=0排除C，即可得答案．【解答】解：因为函数f(x)=−3|x|+1是偶函数，故排除B，D，又x=0时，y=0，排除C，故选A．6.答案：D解析：解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1>0，则命题p：∀x∈R，x2+1>0，为真命题，￢p为假命题；命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ=1，则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题，￢q为真命题．则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧(￢q)为真命题．故选：D．由于命题p：∀x∈R，x2+1>0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了对数函数及其性质以及比较实数的大小．【解答】解：因为，，c=201812019>20180=1所以c>a>b，故选C．8.答案：C解析：令集合，令集合B={x|x<a}，因为集合B是集合A的真子集，所以由数轴可知a的最大值为−1.9.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的运算，属于基础题.求导，把x=1代入计算即可．【解答】解：由f(x)=2x2可得f′(x)=4x，则f′(1)=4．故选B．10.答案：D解析：【分析】本题考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力，求出切线方程是关键．根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解．【解答】解：∵y=ln(3x−2)，∴y′=33x−2，∴曲线y=ln(3x−2)在点(1,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y−0=3(x−1)，即y=3x−3，令x=0得，y=−3；令y=0得，x=1，∴曲线y=y=ln(3x−2)在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是12×1×3=32.故选D.11.答案：A解析：【分析】本题考查导数的运算，属于基础题．求函数值，先求出导函数，令导函数中x=1求出f′(1)，将f′(1)代入导函数，令函数中的x=2求出f(2)．【解答】解：∵f(x)=x2+2x⋅f′(1)，∴f′(x)=2x+2f′(1)，∴f′(1)=2+2f′(1)，解得f′(1)=−2，∴f(x)=x 2−4x ， ∴f(2)=−4. 故选A ．12.答案：C解析： 【分析】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由题意可得f(x)为偶函数，求得f(x)在x ≥0上连续，且为减函数，f(|2−x|)≤f(|x +m|)，即为|x −2|≥|x +m|，即有(2m +4)x ≤4−m 2，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值． 【解答】解：由f(−x)=f(x)，可得f(x)为偶函数， 当x ≥0时，f(x)={−x 2+1,0≤x <12−2x ,x ≥1，可得当0≤x <1时，f(x)=1−x 2单调递减， f(x)∈(0,1]；当x ≥1时，f(x)单调递减，且f(1)=0，f(x)∈(−∞,0]， 所以f(x)在x ≥0上连续，且为减函数，由对任意的x ∈[m −1,m]，不等式f(2−x)≤f(x +m)恒成立， 可得对任意的x ∈[m −1,m]，f(|2−x|)≤f(|x +m|)恒成立， 即对任意的x ∈[m −1,m]，|x −2|≥|x +m|恒成立， 两边平方得(2m +4)x ≤4−m 2． ①当2m +4>0，即m >−2时，x ≤2−m 2对任意的x ∈[m −1,m]成立，∴2−m 2≥m ，解得m ≤23，∴−2<m ≤23；②当2m +4=0，即m =−2时，满足题意； ③当2m +4<0，即m <−2时，x ≥2−m 2对任意的x ∈[m −1,m]成立，∴2−m 2≤m −1，解得m ≥43，不满足题意；综上，−2≤m ≤23，故m 的最大值为23， 故选：C ．13.答案：14解析：【分析】本题考查幂函数的概念、图象，属基础题．)，求出f(x)解析式，再求f(16)即可．由幂函数f(x)图象过点(4,12【解答】解：设幂函数f(x)=xα，)，因为图象过点(4,12则f(4)=4α=1，2，解得α=−12所以f(x)=x−12，．因此f(16)=16−12=14．故答案为1414.答案：∃x∈R，使得x2−2x+2=0解析：解：由于全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，都有x2−2x+2≠0”的否定是：∃x∈R，使得x2−2x+2=0．故答案为：∃x∈R，使得x2−2x+2=0．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定关系，基本知识的考查．15.答案：1解析：【分析】根据奇函数f(x)定义域为R，f(x+2)为偶函数，得到f(4+x)=f(−x)=−f(x)，f(x+8)=f(x)，判断周期为8，再求函数值即可．本题考查了抽象函数的性质，奇偶性，周期性的考察，难度不大．【解答】解：∵奇函数f(x)定义域为R，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0，∵f(x+2)为偶函数，∴f(x+2)=f(2−x)，对称轴x=2，∴f(x)=f(4−x)，即f(4+x)=f(−x)=−f(x)，f(x+8)=f(x)，周期为8，f(2017)+f(2016)=f(1)+f(0)=1+0=1．故答案为1．16.答案：［23，1)解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题的应用，解题的关键是熟练掌握利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题的计算，根据已知及利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题的计算，得{a>0,ℎ(2)ℎ(1)≥2,<4,计算，求出a 的取值范围．【解答】解：令g(x)=−x3+3x2，，ℎ(x)=a(x+2)，则f(x)=g(x)−ℎ(x)，g′(x)=−3x2+6x，∵存在唯一的正整数x0，使f(x0)>0，即g(x0)>ℎ(x0)，作出g(x)和ℎ(x)的图象，如图所示，其中ℎ(x)过定点(−2,0)由图可知，只有x0=2时满足f(x0)>0，∵g(1)=2，g(2)=4，∴由图可知有{a>0,ℎ(2)ℎ(1)≥2,<4,解得23≤a<1．故答案为［23，1)．17.答案：解：(1)由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．那么：A∩B={x|6≥x≥3}．∴∁R(A∩B)={x|x<3或x>6}．(2)C={x|x≤a}，∵A⊆C，∴a≥6∴故得实数a的取值范围是[6,+∞)．解析：(1)根据集合的基本运算先求A∩B，再求∁R(A∩B)．(2)根据A⊆C，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.答案：解：(1)∵∀x∈R,m(4x2+1)>x，∴m>0且1−16m2<0，解得m>14．所以当p为真命题时，实数m的取值范围是(14,+∞)．(2)∃x∈[2,8],mlog2x+1≥0⇒∃x∈[2,8],m≥−1log2x．又∵当x∈[2,8]时，−1log2x ∈[−1,−13]，∴m≥−1.∵当 ┐p∨q为真命题，且 ┐p∧q为假命题时，∴p与q的真假性相同.当p假q假时，有{m≤1 4m<−1，解得m<−1;当p真q真时，有{m>14m≥−1，解得m>14．故当 ┐p∨q为真命题且 ┐p∧q为假命题时，可得m<−1或m>14．解析：本题考查了简单逻辑联结词的复合命题的判断，全称命题，特称命题的真假，涉及到到一元二次不等式，对数函数性质的应用是中档题．(1)若p为真命题，从而得到{m>0Δ=1−16m2<0，解得到m的范围；(2)由题意得p假q假，p真q真，分别讨论这两种下m的范围，从而得到结果．19.答案：解：(1)当5≤t<20时，不妨设P(t)=1000−k(20−t)2，因为P(5)=100，所以解得k=4，所以；(2)①当5≤t<20时，Q(t)=t4P(t)−40t2+650t−2000=−t3+500t−2000，所以f(t)=Q(t)t =−t2−2000t+500，5≤t<20，t∈N∗．则f′(t)=−2t+2000t2=−2(t3−1000)t2，当5≤t<10时，f′(t)>0，f(t)单调递增；当10<t<20时，f′(t)<0，f(t)单调递减，所以f(t)max=f(10)=200，所以当t=10时，Q(t)t取最大值200．②当20≤t≤25时，Q(t)=−40t2+900t−2000，所以f(t)=Q(t)t =900−40(t+50t)，20≤t≤25，t∈N∗．则f′(t)=−40(1−50t2)=−40(t2−50)t2<0，所以f(t)在[20,25]单调递减，所以f(t)max=f(20)=0，所以当t=20时，Q(t)t取最大值0．综上，发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益Q(t)t最大．解析：本题考查了函数模型的应用及利用导数在解决实际问题中的应用，属于中档题．(1)根据条件可设P(t)=1000−k(20−t)2，由P(5)=100可得k，从而可得P(t)的表达式；(2)对t进行分类讨论，利用导数分别求得5≤t<20时，20≤t≤25时Q(t)t的最值，即可得结果．20.答案：解(1)当a=1，b=−2时，g(x)=f(x)−x=x2−2x−3令g(x)=0解得：x=−1或x=3，∴函数f(x)的不动点为−1或3，(2)g(x)=f(x)−x=0有两个相异实根即方程ax2+bx+b−1=0(a≠0)有两个相异实根，∴△=b2−4a(b−1)>0对于任意实数b成立即b2−4ab+4a>0恒成立．∴16a2−16a<0，∴a∈(0,1)(3)g(x)=f(x)−x=0有两个相等实根即方程ax2+bx+b−1=0(a≠0)有两个相等实根，∴△=b2−4a(b−1)=0∵b>1∴a=b24(b−1)令b−1=t，则b=t+1，且t>0∴a=(t+1)24t =14(t+1t+2)令ℎ(t)=14(t+1t+2)，易证函数ℎ(t)在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增∴ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=1∴实数a的最小值是1．解析：(1)g(x)=f(x)−x=x2−2x−3=0求解．(2)ax2+bx+b−1=0(a≠0)有两个相异实根，(2)程ax2+bx+b−1=0(a≠0)有两个相异实根，△=b2−4a(b−1)>0对于任意实数b成立根据二次函数的性质可得；16a2−16a<0，即可求解范围．(3)把函数g(x)有不变号零点，转化为；方程ax2+bx+b−1=0(a≠0)有两个相等实根，即△=b2−4a(b−1)=0，b>1，a=b24(b−1)，再运用函数，结合均值不等式求解．本题考查了函数的性质，方程的根的判断方法，综合性强，难度大．21.答案：解：(1)∵f(x)是奇函数且0∈R，∴f(0)=0即b−1a+2=0，∴b=1，∴f(x)=1−2xa+2x+1，又由f(1)=−f(−1)知1−2a+4=−1−12a+1，∴a=2，∴f(x)=1−2x2+2x+1；(2)证明设x1，x2∈(−∞,+∞)且x1<x2,∴f(x1)−f(x2)=1−2x12+2x1+1−1−2x22+2x2+1=12(1−2x11+2x1−1−2x21+2x2)=12⋅2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x x2)=2x2−2x1(1+2x1)(1+2x2)∵y=2x在(−∞,+∞)上为增函数且x1<x2，∴2x2>2x1且y=2x>0恒成立，∴1+2x1>0,1+2x2>0∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(−∞,+∞)上为减函数，∵f(x)是奇函数，f(x2−x)+f(2x2−t)<0等价于f(x2−x)<−f(2x2−t)=f(−2x2+t)，又∵f(x)是减函数，∴x2−x>−2x2+t即一切x∈R，3x2−x−t>0恒成立∴△=1+12t<0，即t<−112．解析：(1)利用奇函数的性质：f(0)=0，f(−x)=f(x)，可求a，b值；(2)首先得出函数的单调性，利用单调性和奇偶性整理不等式可得f(x2−x)<−f(2x2−t)= f(−2x2+t)，代入得x2−x>−2x2+t，利用二次函数性质求解即可．考查了奇函数的性质和利用单调性，奇偶性解决实际问题．22.答案：解：(1)a =2时，f(x)=13|x −2|，问题转化为解不等式|x −13|+13|x −2|≥1，①x ≥2时，x −13+13(x −2)≥1， x −13+13x −23≥1，解得：x ≥32，故x ≥2；②13<x <2时，x −13+13(2−x)≥1， 解得：x ≥1，故1≤x <2；③x ≤13时，13−x +13(2−x)≥1， 解得：x ≤0，综上，不等式的解集是：{x|x ≤0或x ≥1}；(2)|x −13|+13|x −a|≤x 的解集包含[13,12]，∴x −13+13|x −a|≤x ，|x −a|≤1，故−1≤x −a ≤1，解得：−1+a ≤x ≤1+a ，故{−1+a ≤131+a ≥12，解得：−12≤a ≤43．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)问题转化为x −13+13|x −a|≤x ，求出x 的范围，得到关于a 的不等式组，解出即可．。

山西省实验中学2019-2020学年度高三第二次周考试题（卷）数 学（理科）说明：1.考生务必将自己所在班级、姓名、准考证号等信息填写在密封线内的相应位置。

2.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

答题时间90分钟，满分100分。

3.答卷时考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答。

第Ⅰ卷 客观题（４８分）一、选择题（每小题4分，共48分.在所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1.设集合则AB =( )A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞2.给出以下命题：①;1cos sin ,>+∈∃x x R x ②;01,2>+-∈∀x x R x③"1""1">>x x 是的充分不必要条件其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π64．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里 D.202海里5．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)，则a 17＝( )A ．1 B.2 C.12D.2－9876．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．23 B.2 C.2D.17．数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，n (a n ＋1－a n )＝a n (n ∈N *)，且a 3＝π，则tan S 4等于( )A ．－33B. 3 C ．－ 3D.338．等差数列{a n }中，0<d ，若a 1＋a 99＝0，则S n 取最大值时n 等于( )A ． 100 B.100或101 C ． 50 D. 49或509．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．－20B ．0C ．7D.4010.如图所示在ABC ∆中，点O 是BC 中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m =，n =（0>n m 、），则nm 41+的最小值为（ ） A.2 B.4 C.29D.911．已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ＝1,2，….则数列{na n }的前６项和S ６为（ ）A.8183B.245C.247 D.493 12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8 B.ab (a ＋b )>16 2 C ．6≤abc ≤12 D.12≤abc ≤24 第Ⅱ卷 主观题（５２分） 二、填空题（每小题4分，共16分）13．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是 .14.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，∈λ[0，+∞），则P 点轨迹一定通过△ABC 的 心。

2019-2020学年高三第二学期3月摸底（理科）数学试卷一、选择题1．已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．22．已知命题p：∃x∈R，x2+1＜2x；命题q：不等式x2﹣2x﹣1＞0恒成立．那么（）A．“￢p”是假命题B．q是真命题C．“p或q”是假命题D．“p且q”是真命题3．已知，，则＝（）A．B．C．﹣7D．74．如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．25．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．200B．300C．400D．6006．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？7．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中x+y的值为（）A．1269B．1206C．1719D．7568．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）9．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 11．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，）D．（0，8）二、填空题（共4小题）13．若a＝，则二项式展开式中含x的项的系数是．14．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于D，，，则b＝．16．如图，已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为中点，点D，E分别在半径OA，OB上若CD2+CE2+DE2＝，则OD+OE的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}为单调递增数列，S n为其前n项和，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，T n为数列{b n}的前n项和，证明：．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（1）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN．（2）当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．19．2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]频数4369628324（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520．已知椭圆C：的焦点F1的坐标为（﹣c，0），F2的坐标为（c，0），且经过点，PF2⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数有两个极值点x1，x2（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）+f（x2）＞2．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．23．已知关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数取得最小值时的m的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数Z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得Z＝，由复数的模长公式可得答案．解：化简得Z＝＝＝•＝•＝•＝，故|z|＝＝，故选：B．2．已知命题p：∃x∈R，x2+1＜2x；命题q：不等式x2﹣2x﹣1＞0恒成立．那么（）A．“￢p”是假命题B．q是真命题C．“p或q”是假命题D．“p且q”是真命题【分析】根据基本不等式可知x2+1≥2x，而容易发现x＝0时，x2﹣2x﹣1＜0，也可通过判别式的取值说明不等式x2﹣2x﹣1＞0不恒成立，从而判断出p，q都是假命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找到正确选项．解：根据基本不等式，x2+1≥2x；∴命题p是假命题；x＝0时，x2﹣2x﹣1＝﹣1＜0；∴命题q是假命题；∴￢p是真命题，“p或q”是假命题，“p且q”是假命题；∴C正确．故选：C．3．已知，，则＝（）A．B．C．﹣7D．7【分析】先利用平方关系求得，进而求得，再利用正切的差角公式求解即可．解：∵，，∴，∴，∴．故选：A．4．如图为由三棱柱切割而得到的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，画出直观图，求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，其直观图如图所示；且该三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，其高为2，∴该几何体的体积为V几何体＝×22×sin60°×2﹣××22×sin60°×2＝．故选：C．5．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x＝90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）＝，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故选：A．6．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．7．将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中x+y的值为（）A．1269B．1206C．1719D．756【分析】根据题意，易得6名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．解：6名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x＝36＝729种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（++）＝90种，再排列有＝6种，所以y＝90×6＝540种，所以x+y＝1269．故选：A．8．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【分析】利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．解：＝sin cos＝sin（ωx），由上单调递增，∴ω≤，得0＜ω≤，故选：B．9．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，球的半径r＝OC＝CH＝．在RT△SHO中，OH＝OC＝OS，∴∠HSO＝30°，求得SH＝OS cos30°＝1，所以体积V＝Sh＝＝故选：D．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN＝OM，则θ1＝∠SEN，θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1＝＝，tanθ3＝，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3＝，sinθ2＝，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．11．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a ＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【分析】利用f（x）的奇偶性和周期性，作出f（x）的函数图象，根据交点个数列不等式组，即可得出a的范围．解：∵f（x）＝f（x+4），∴f（x）周期为4，利用f（x）的奇偶性和周期性作出f（x）的函数图象如下：∵关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a＞1）在区间（﹣2，6]内恰有三个不同的实数根，∴，解得＜a＜2．故选：D．12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为（）A．（0，3）B．（0，）C．（0，）D．（0，8）【分析】由已知条件推导出b＝，k1k2＝＝＝＝3，0＜k3＜，由此能求出m＝k1k2k3的取值范围．解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e＝，∴b＝＝，设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴，∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，∴k1k2＝＝＝＝3，又∵双曲线渐近线为y＝，∴0＜k3＜，∴0＜m＝k1k2k3＜3，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若a＝，则二项式展开式中含x的项的系数是240．【分析】由定积分的运算可得a＝2，代入由二项式定理可得的通项T k+1＝x3﹣k，令3﹣k＝1，可得k＝2，可得含x的项系数为：＝240解：由题意可得，a＝＝﹣cos x＝2，故＝，其二项展开式的通项T k+1＝＝x3﹣k，令3﹣k＝1，可得k＝2，故可得含x的项系数为：＝240故答案为：24014．若实数x，y满足如果目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝5．【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y＝2x﹣1与直线x+y＝m的交点使目标函数z＝x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y＝﹣1得∴m＝5故答案为：515．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于D，，，则b＝1．【分析】根据三角形的面积公式可得c＝2b，由角分线定理可知，，，分别根据余弦定理，列出方程，即可求出b的值．解：，可知c＝2b，即．由角分线定理可知，，，在△ABC中，，在△ABD中，，即，解得b＝1．故答案为：116．如图，已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为中点，点D，E分别在半径OA，OB上若CD2+CE2+DE2＝，则OD+OE的取值范围是．【分析】如图所示，连接OC．在△COD与△COE、△ODE中，由余弦定理可得：CD2＝OD2+1﹣2OD cos60°＝OD2+1﹣OD，CE2＝OE2+1﹣2OE cos60°＝OE2+1﹣OE．DE2＝OD2+OE2﹣2OD•OE cos120°＝OD2+OE2+OD•OE，利用CD2+CE2+DE2＝，可得＝2（OD+OE）2﹣（OD+OE）﹣3OD•OE+2，利用0≤，化简解出即可．解：如图所示，连接OC．∵C为中点，圆心角为120°的扇形AOB，∴∠COD＝∠COE＝60°．在△COD与△COE中，由余弦定理可得：CD2＝OD2+1﹣2OD cos60°＝OD2+1﹣OD，CE2＝OE2+1﹣2OE cos60°＝OE2+1﹣OE．DE2＝OD2+OE2﹣2OD•OE cos120°＝OD2+OE2+OD•OE∵CD2+CE2+DE2＝，∴＝2OD2﹣OD+2OE2﹣OE+2+OD•OE＝2（OD+OE）2﹣（OD+OE）﹣3OD•OE+2，∵0≤，设OD+OE＝x，化为2x2﹣x，解得≤．∴OD+OE的取值范围是．故答案为：．．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}为单调递增数列，S n为其前n项和，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，T n为数列{b n}的前n项和，证明：．【分析】（1）根据数列的递推公式可得{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求出通项公式，（2）根据裂项求和和放缩法即可证明．解：（1）当n＝1时，2S1＝2a1＝a12+1，所以（a1﹣1）2＝0，即a1＝1，又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．由2S n＝a n2+n得2S n+1＝a n+12+n+1，所以2S n+1﹣2S n＝a n+12﹣a n2+1，整理得2a n+1＝a n+12﹣a n2+1，所以a n2＝（a n+1﹣1）2．所以a n＝a n+1﹣1，即a n+1﹣a n＝1，所以{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n．证明：（2）＝＝﹣，所以T n＝（﹣）+（﹣）+…+[﹣]＝﹣＜．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，且AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且．（1）求证：不论λ取何值，总有AM⊥PN．（2）当λ＝1时，求平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．【分析】（1）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出的坐标，由可得AM⊥PN；（2）当λ＝1时，分别求出面ABC的法向量与平面PMN的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0），，，．∵，∴∴无论λ取何值，AM⊥PN；（2）解：λ＝1时，P（1，0，2）∴，而面ABC的法向量，设平面PMN的法向量为，则，可取．设α为平面PMN与平面ABC所成二面角．∴．∴平面PMN与平面ABC所成二面角的余弦值是．19．2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]频数4369628324（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成2×2列联表，求出K2≈12.210＞6.635，从而有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表，得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而求出设备改造后性能更优．（3）由表1知从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，三等品的频率为，由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.210．∵12.210＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．P（X＝240）＝，P（X＝300）＝，P（X＝360）＝，P（X＝420）＝，P（X＝480）＝．∴随机变量X的分布列为：X240300360420480P∴．20．已知椭圆C：的焦点F1的坐标为（﹣c，0），F2的坐标为（c，0），且经过点，PF2⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设过F1的直线l与椭圆C交于A，B两不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）由PF2⊥x轴，P（1，），可得c＝1，+＝1，a2﹣b2＝c2＝1，解得即可（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x＝my﹣1，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程若有解即可．解：（1）∵PF2⊥x轴，P（1，），∴c＝1，+＝1，a2﹣b2＝c2＝1，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为+＝1．（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x＝my﹣1，由得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，△＝36m2+36（3m2+4）＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1+x2＝my1﹣1+my2﹣1＝m（y1+y2）﹣2＝﹣2＝﹣，∴AB的中点坐标为（﹣，），∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：∴x0＝，y0＝代入椭圆C的方程得：27m4﹣24m2﹣80＝0解得m2＝，∴存在符合条件的直线l的方程为：y＝±（x+1）．21．已知函数有两个极值点x1，x2（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）+f（x2）＞2．【分析】（Ⅰ）求出导函数f'（x）＝e x﹣x﹣a．设g（x）＝e x﹣x﹣a，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数f（x）有两个极值点时，求解a的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1，x2为g（x）＝0的两个实数根，x1＜0＜x2，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．下面先证x1＜﹣x2＜0，只需证g（﹣x2）＜g（x1）＝0．设h（x）＝e﹣x﹣e x+2x，x＞0，利用导函数判断函数的单调性，要证f（x1）+f（x2）＞2，只需证．设函数k（x）＝e x+e﹣x﹣x2﹣2，x∈（0，+∞），利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，∴f'（x）＝e x﹣x﹣a．设g（x）＝e x﹣x﹣a，则g'（x）＝e x﹣1．令g'（x）＝e x﹣1＝0，解得x＝0．∴当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．∴g（x）min＝g（0）＝1﹣a．当a≤1时，g（x）＝f'（x）≥0，∴函数f（x）单调递增，没有极值点；当a＞1时，g（0）＝1﹣a＜0，且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a＞1时，g（x）＝f'（x）＝e x﹣x﹣a有两个零点x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜0＜x2．∴当函数f（x）有两个极值点时，a的取值范围为（1，+∞）．…………………（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1，x2为g（x）＝0的两个实数根，x1＜0＜x2，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．下面先证x1＜﹣x2＜0，只需证g（﹣x2）＜g（x1）＝0．∵，得，∴．设h（x）＝e﹣x﹣e x+2x，x＞0，则，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）＝0，∴h（x2）＝g（﹣x2）＜0，∴x1＜﹣x2＜0．∵函数f（x）在（x1，0）上也单调递减，∴f（x1）＞f（﹣x2）．∴要证f（x1）+f（x2）＞2，只需证f（﹣x2）+f（x2）＞2，即证．设函数k（x）＝e x+e﹣x﹣x2﹣2，x∈（0，+∞），则k'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．设φ（x）＝k'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则φ'（x）＝e x+e﹣x﹣2＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0，即k'（x）＞0．∴k（x）在（0，+∞）上单调递增，∴k（x）＞k（0）＝0．∴当x∈（0，+∞）时，e x+e﹣x﹣x2﹣2＞0，则，∴f（﹣x2）+f（x2）＞2，∴f（x1）+f（x2）＞2．………………………请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7＝0直线C2的方程为y＝，极坐标方程为tanθ＝；（2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7＝0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝2+2，ρ1ρ2＝7，∴+＝＝．23．已知关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求函数取得最小值时的m的值．【分析】（Ⅰ）依题意，m＞（|x﹣1|+|4﹣x|）min，在由绝对值三角形不等式的性质可得答案；（Ⅱ）由基本不等式的取等条件即可求得m的值．解：（Ⅰ）∵关于x的不等式|x﹣1|+|4﹣x|＜m的解集不是空集．∴m＞（|x﹣1|+|4﹣x|）min根据绝对值三角形不等式，有|x﹣1|+|4﹣x|≥|x﹣1|+|（4﹣x）|＝3．当且仅当|x﹣1|+|4﹣x|≥0，即1≤x≤4时取等号，故实数m的取值范围为m＞3．（Ⅱ）由①得m﹣3＞0，则＝，∴当且仅当，即m＝5＞3时取等号，所以函数取得最小值时m的值为5．。

山西省实验中学2019-2020学年第二次月考试题高三理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知552sin 24=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈αππα，，，则=α2tanA. 2-B. 2 C ．21D ． 21-（2）函数292)(23-+=x x x f 在[]2,4-上的最大值和最小值分别是A. 225-，B. 1450，C. 250-，D. 1450-， （3） 在ABC ∆中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足21=，则=BN A.AB AC 6561- B. AB AC 6165-C. 6561+D. 6165+（4） 曲线)0(2ln >-=a x a y 在1=x 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为4，则实数a 的值为A. 2B. 2C. 4D. 8 （5）记k =︒-)80cos(，那么=︒280tanA. k k 21-B. k k 21--C. 21k k -D. 21kk --（6） 曲线x x y 22+=与直线x y =所围成的封闭图形的面积为A.61 B. 31 C. 65 D. 32（7）若函数)(x f 的导函数的图像关于y 轴对称，则)(x f 的解析式可能为A. x x f cos 3)(=B. 23)(x x x f +=C. x x f 2sin 1)(+=D. x e x f x+=)(（8）若31)4sin(=+πα，则=α2sinA. 98B. 97C. 97-D. 98-（9）已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的最小正周期是π，则函数)(x f 的图像A. 关于直线12π=x 对称 B. 关于直线125π=x 对称 C. 关于点），（012π对称 D. 关于点），（0125π对称 （10）已知曲线)(x f y =在点())5(5f ，处的切线方程为05=-+y x ，则)5(f 与）（5'f 分别是A . 1,5- B. 01，- C. 51，- D. 1,0- （11）0>ω函数()sinsin22xxf x ωπω+=在]3,4[ππ-上单调递增，则ω的范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞（12）若P 是函数)1ln()1()(++=x x x f 图像上的动点，已知点）（1,1--A ，则直线AP 的斜率的取值范围是A. [)∞+，1B. []1,0C. (]e e ,1- D. (]1,-∞-e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年山西省运城市实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=A．45 B．60 C．120 D．210参考答案：C2. 一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.参考答案：A3. 若函数有极值，则a的取值范围是（）A. (－∞,－2)B. (－2,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (2,+∞)参考答案：D,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得本题选择D选项.4. 函数f（x）=?cosx的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题5. 定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于y轴对称，则A．f(0)>f(3) B．f(0)＝f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(－1)<f(3)参考答案：D函数f(x＋2)的图像关于y轴对称，说明这个函数是偶函数，即f(－x＋2)＝f(x＋2)，令x＝1，得f(1)＝f(3)，函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，故得f(－1)<f(1)＝f(3)．6. 已知实数满足，则的最大值为( ▲ )A．B．C．D．参考答案：B7. 已知e是自然对数的底数，不等式的解集为（）A. (－1,0)∪(3,+∞)B. (－1,0)∪(0,3)C. (－∞,－1)∪(3,+∞)D. (－∞,－1)∪(0,3)参考答案：A【分析】化简不等式，分x＞0，x＜0将不等式写为等价形式，再根据的单调性解不等式即可．【详解】∵∴，∴或，由于函数,在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故由上述不等式组解得，或，∴不等式的解集为：（-1，0）∪（3，+∞）．故选：A．【点睛】本题考查了函数单调性的应用，指数不等式的解法，关键是知道函数的单调性，属中档题．8. 设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( )A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3]D．[2,3]参考答案：A9. 若集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：A略10. 右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（）A.0.28B.0.38C.0.72D.0.62参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P（X=k）取最大值时，k的值为．参考答案：45,2.【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用组合知识能求出从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数；设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出P（X=k）取最大值时，k的值．【解答】解：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n==45．设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴P（X=k）取最大值时，k的值2．故答案为：2．12. 已知实数x，y满足约束条件：，若只在点(4,3)处取得最小值，则a的取值范围是______．参考答案：【分析】由约束条件作出可行域，然后对进行分类，当时显然满足题意，当时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线的斜率的大小得到的范围．【详解】由实数x，y满足约束条件：作可行域如图，联立，解得．当时，目标函数化为，由图可知，可行解使取得最大值，符合题意；当时，由，得，此直线斜率大于0，当轴上截距最大时最大，可行解为使目标函数的最优解，符合题意；当时，由，得，此直线斜率为负值，要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，则，即．综上，实数的取值范围是，故答案为．【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在轴上的截距分析的取值情况，是中档题．13. 已知函数，当时，函数的最大值为_______ .参考答案：【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。

2019—2020学年度高三年级第一次月考数学答案一、选择题B DCD A C A C C B A C二、填空题13. 14.∃x 0∈R ,f(x 0)=0或g(x 0)=0 15.78- 16.1[,)e-+∞ 三、解答题17．解：（1）∵集合A={x |a -2≤x ≤2a +3，x ∈R}，B={x |x 2-6x +5≤0}={x |1≤x ≤5}．若A∩B=B ， 则B ⊆A ，即a -2≤1，且2a +3≥5，解得：a ∈[1，3]，（2）若A∩∁U B=∅，则A ⊆B ，当A=∅，即a -2＞2a +3时，满足条件，解得：a ＜-5，当A≠∅，即a -2≤2a +3，a ≥-5时，a -2≥1，且2a +3≤5，此时不存在满足条件的a 值，综上可得：若A∩∁R B=∅，则a ＜-5．18．解：依题意，p 正确的a 的取值范围为a <0．q 成立即a =2或⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)]2(2[022a a a 解得22≤<-a ．p 且q 为假，p 或q 为真， 得p 、q 中一真一假．若p 真q 假，得a 的取值范围为2a ≤-；若p 假q 真，得a 的取值范围为02a ≤≤；综上，a 的取值范围为(,2][0,2]-∞-⋃．19．解：当010x <≤时，20．解：（1）()10,f -=Q 10,a m m ∴-+-=1a ∴=，()21f x x mx m ∴=++-，∴()()22412m m m ∆=--=-,当2m =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；当2m ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点.（2）已知0a ≠，则()2410m a m ∆=-->对于m ∈R 恒成立,即2440m am a -+>恒成立， ∴216160a a ∆'=-<,从而解得01a <<.故实数a 的取值范围是(0,1).（3）设()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦， 则()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦， ()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦， ()()12f x f x ≠Q ，()()()()21212104g x g x f x f x ⎡⎤∴⋅=--<⎣⎦, ()0g x ∴=在区间()12,x x 上有实数根，即方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根.21．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有121()2x x f x a+-+=+.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意 (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t－k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.22． 解：11a （）＝时，121f x x x ++（）＝﹣， 若4f x ≤（），1x ≥时，1224x x -++≤，解得：1x ≤，故1x ＝， 11x -＜＜时，，解得：x≤1，故﹣1＜x ＜1，x≤﹣1时，1224x x -++≤，解得：53x ≥-，故513x -≤≤-， 综上，不等式的解集是513⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；2（）若[]03M ⊆，， 则问题转化为2124x a x x -++≤+|在[]03，恒成立， 即24222x a x x -≤+--＝， 故22x a -≤-≤，故22x a x --≤-≤-在[]03，恒成立， 即22x a x -≤≤+在[]03，恒成立， 故12a ≤≤，即a 的范围是[]12，．。

2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则tan2α＝（）A．﹣2B．2C．D．2．函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（）A．25，﹣2B．50，14C．50，﹣2D．50，﹣143．在△ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足，则＝（）A．B．C．D．4．曲线y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为（）A．B．2C．4D．85．记cos（﹣80°）＝k，那么tan280°＝（）A．B．C．D．6．由曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2C．f（x）＝1+sin2x D．f（x）＝e x+x8．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称10．已知曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，则f（5）与f′（5）分别是（）A．B．C．D．11．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）12．若P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点A（﹣1，﹣1），则直线AP的斜率的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，1]C．（e﹣1，e]D．（﹣∞，e﹣1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数的振幅是．14．已知非零向量满足且，则向量的夹角为．15．若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，则（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）＝，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．已知向量，，对任意n∈N*都有．（1）求的最小值；（2）求正整数m，n，使．19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线的纵截距；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．20．已知函数在上单调递减，且满足．（1）求φ的值；（2）将y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式．21．设函数，g′（x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）当x∈[0，2π]时，解方程f（x）＝g′（x）；（Ⅱ）求函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程.]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（Ⅱ）若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲.]23．已知a、b、c均为正实数．（Ⅰ）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3（Ⅱ）若a+b＝1，求证：2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则tan2α＝（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵α∈[，∴2α∈[]，又，∴cos2α＝﹣＝﹣．∴tan2＝．故选：D．2．函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（）A．25，﹣2B．50，14C．50，﹣2D．50，﹣14【解答】解：∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，故选：C．3．在△ABC中，AM为BC边上的中线，点N满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知＝，＝＝，因为＝＝+（）＝，故选：A．4．曲线y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为（）A．B．2C．4D．8【解答】解：根据题意，曲线y＝alnx﹣2（a＞0），其导数y′＝，则有y′|x＝1＝a，又由当x＝1时，y＝a×ln1﹣2＝﹣2，即切点的坐标为（1，﹣2），故y＝alnx﹣2（a＞0）在x＝1处的切线方程为y﹣（﹣2）＝a（x﹣1），即y＝a（x﹣1）﹣2，当x＝0时，y＝﹣a﹣2，与y轴的交点为（0，﹣a﹣2），当y＝0时，x＝+1，与x轴的交点为（+1，0），则其切线与坐标轴围成的三角形面积为，所以a＝2，故选：B．5．记cos（﹣80°）＝k，那么tan280°＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（﹣80°）＝k，∴sin（﹣80°）＝﹣，那么tan280°＝tan（﹣80°）＝＝＝﹣，故选：B．6．由曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得或∴曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为∫（x﹣2x﹣x2）dx＝（﹣x2﹣x3）＝故选：A．7．若函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x2C．f（x）＝1+sin2x D．f（x）＝e x+x【解答】解：函数f（x）的导函数的图象关于y轴对称，则导函数为偶函数，对于A：f′（x）＝﹣3sin x，为奇函数，对于B：f′（x）＝3x2+2x，该函数为非奇非偶函数，对于C：f′（x）＝2cos2x，为偶函数，对于D：f′（x）＝e x+1，该函数为非奇非偶函数，故选：C．8．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：若＝sinα+cosα，平方可得1+sin2α＝，则sin2α＝﹣，故选：C．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx），∵最小正周期为π，∴可得ω＝2，那么f（x）＝2sin（2x），令2x＝kπ，那么：x＝，当k＝1时，可得x＝，函数f（x）的图象关于点（，0）对称．故选：D．10．已知曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，则f（5）与f′（5）分别是（）A．B．C．D．【解答】解：因为曲线y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程为x+y﹣5＝0，所以切线的斜率为：﹣1，可得f′（5）＝﹣1；切点在切线上，可得f（5）＝5﹣5＝0，故选：D．11．ω＞0函数在上单调递增，则ω的范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：＝sin cos＝sin（ωx），由上单调递增，∴ω≤，得0＜ω≤，故选：B．12．若P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，已知点A（﹣1，﹣1），则直线AP的斜率的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，1]C．（e﹣1，e]D．（﹣∞，e﹣1]【解答】解：P是函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）图象上的动点，点A（﹣1，﹣1），设P（x0，y0），x0＞﹣1，则：y0＝（x0+1）ln（x0+1），则直线AP斜率：k＝．令h（x）＝，h′（x）＝．当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0）上单调递减．∴函数h（x）的最小值为：h（0）＝1．∴h（x）≥1，即：k≥1，直线AP斜率的取值范围是[1，+∞）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数的振幅是2．【解答】解：函数＝（sin2x+cos2x）+（cos2x+sin2x）＝sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+），所以函数y的振幅是2．故答案为：2．14．已知非零向量满足且，则向量的夹角为．【解答】解：∵，且，∴，即＜＞+，则2cos＜＞+，得cos＜＞＝﹣．∴向量的夹角为．故答案为：．15．若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是a＞﹣1．【解答】解：由2x（x﹣a）＜1，得x•2x﹣a•2x＜1，∴，设，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）＝﹣1，∴若存在正数x，使2x（x﹣a）＜1成立，则a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．16．已知函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，则（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝0．【解答】解：（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝（α+β）sinαcosβ﹣（α+β）cosαsinβ﹣（α﹣β）sinαcosβ﹣（α﹣β）cosαsinβ＝2（βsinαcosβ﹣αcosαsinβ），因为函数f（x）＝x﹣tan x，非零实数α，β是函数f（x）的两个零点，且|α|≠|β|，所以，即，①×sinβ，得αcosαsinβ﹣sinαsinβ＝0，③②×sinα，得βsinαcosβ﹣sinαsinβ＝0，④，④﹣③得，βsinαxosβ﹣αcosαsinβ＝0，所以（α+β）sin（α﹣β）﹣（α﹣β）sin（α+β）＝0．故答案为：0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）＝，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝A sin（x+），x∈R，且f（）＝．∴A sin（+）＝A sin＝A•＝，∴A＝．（2）由（1）可得f（x）＝sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）＝sin（θ+）+sin（﹣θ+）＝2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．∴f（﹣θ）＝sin（﹣θ+）＝sin（π﹣θ）＝sinθ＝．18．已知向量，，对任意n∈N*都有．（1）求的最小值；（2）求正整数m，n，使．【解答】解：（1）设＝（x n，y n），由＝+得∴{x n}、{y n}都是公差为1的等差数列…．∵＝（1，﹣7），∴x n＝n，y n＝n﹣8，∴＝（n，n﹣8），∴∴||的最小值为4…..（2）由（1）可设＝（m，m﹣8）＝（n，n﹣8）由已知得：•＝0∴mn+（m﹣8）（n﹣8）＝0∴（m﹣4）（n﹣4）＝﹣16…..∵m，n∈N+∴或或或…..19．已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线的纵截距；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：f'（x）＝，（Ⅰ），，∴f（x）在点M处的切线方程为，当x＝0时，得函数f（x）的纵截距y＝；（Ⅱ）令g（x）＝x cos x﹣sin x，得g'（x）＝﹣x sin x，当时，g'（x）≤0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（）＝﹣1＜0，∴当时，f'（x）＝＜0，f（x）在区间上单调递减，又，f（π）＝0，∴f（x）的值域为．20．已知函数在上单调递减，且满足．（1）求φ的值；（2）将y＝f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式．【解答】解：（1）f（x）＝sin （2x+φ）+cos（2x+φ）＝2sin （2x+φ+）∵．∴y＝f（x）图象关于x＝对称，则当x＝时，2×+φ+＝kπ+，即φ＝kπ﹣，当k＝0时，φ＝﹣，此时f（x）＝2sin2x在上单调递增，不满足条件．舍去当k＝1时，φ＝，此时f（x）＝﹣2sin2x在上单调递减．满足条件．，故φ＝．（2）由（1）可知f（x）＝﹣2sin 2x，将f（x）＝﹣2sin 2x向左平移个单位得到g（x），∴g（x）＝﹣2sin2（x+）＝﹣2sin（2x+）＝2sin（2x﹣）．21．设函数，g′（x）是g（x）的导函数．（Ⅰ）当x∈[0，2π]时，解方程f（x）＝g′（x）；（Ⅱ）求函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）＝2cos2x﹣2sin2x，则所解方程即为，∴，∴，∴，∴或，∴或，又x∈[0，2π]，∴；（Ⅱ）由题得，，所以函数F（x）的最小正周期为2π，所以只需考虑[0，2π]的情况，由题得，＝，令F′（x）＝0，则，∵，∴．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程.]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（Ⅱ）若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为，整理得（ρcosθ）2+3ρ2＝12，转换为直角坐标方程为4x2+3y2＝12，即．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x﹣y﹣6＝0．（Ⅱ）椭圆转换为参数方程为（θ为参数）．所以点P（）到直线2x﹣y﹣6＝0的距离d＝＝，当时，．[选修4-5：不等式选讲.]23．已知a、b、c均为正实数．（Ⅰ）若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3（Ⅱ）若a+b＝1，求证：【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥（ab+bc+ca）+2（ab+bc+ca）＝3（ab+bc+ca）＝9，又a，b，c均为正整数，∴a+b+c≥3成立．（Ⅱ）：a、b为正实数，a+b＝1，∴a2+2ab+b2＝1，∴＝（+）（+）＝5+＝9，当且仅当，即a＝b＝时，“＝”成立．。

2020届山西省太原市实验中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ ） A ．线段1B C B ．线段1BCC ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段2．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，点1A 在底面的投影O 是AC 的中点，且14A O =，点C 关于平面1C BD 的对称点为P ，则三棱锥P ABD -的体积是（ ）A ．4B ．33C ．43D ．83．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．n 7≤？B ．n 7>？C ．n 6≤？D ．n 6>？4．已知命题:p x R ∀∈，45x x <；命题:q x ∃∈R ，sin cos 2x x +=-的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q 刭C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A ．函数()y g x =的最小正周期2T π=B ．函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．曲线()y g x =关于直线6x π=对称6．已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．3π B ．23πC ．43πD ．12π7．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，V ABC 是边长为23的等边三角形，7PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．654πB ．16πC ．6516πD ．494π8．已知棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -的直观图如图，若正三棱柱111ABC A B C -绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为A ．B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．32B ．643 C ．323 D ．810．在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC 边上一点，13AD =，4AC =，3DC =，则AB 的长为（）A ．522B ．362C ．33D ．2611．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线350x y -=上，则7πtan sin(2)2θθ++= A ．1785 B ．1785-C ．1185D ．1185-12．已知直线平面，直线平面，则下列四个命题正确的是（ ）①；②；③；④.A ．②④B ．①②C ．③④D ．①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年山西省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知α∈[π4,π2],sin2α=√55，则tan2α＝（ ） A.−2 B.2C.12D.−12【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由已知求得cos2α，再由商的关系求解tan2α． 【解答】∵ α∈[π4,π2,∴ 2α∈[π2,π]，又sin2α=√55，∴ cos2α=−√1−sin 22α=−√1−15=−2√55．∴ tan2α=sin2αcos2α=√55−2√55=−12．2. 函数f(x)=2x 3+9x 2−2在[−4, 2]上的最大值和最小值分别是（ ） A.25，−2 B.50，14 C.50，−2 D.50，−14 【答案】 C【考点】导数求函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f(x)=2x 3+9x 2−2， 所以f′(x)=6x 2+18x ，当x ∈[−4, −3)或x ∈(0, 2]时，f ′(x)>0，f(x)为增函数， 当x ∈(−3, 0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，由f(−4)=14，f(−3)=25，f(0)=−2，f(2)=50，故函数f(x)=2x 3+9x 2−2在[−4, 2]上的最大值和最小值分别是50，−2． 故选C ．3. 在△ABC 中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足AN →=12NM →，则BN →=( )A.16AC →−56AB →B.56AC →−16AB →C.16AC →+56AB →D.56AC →+16AB →A【考点】平面向量的基本定理 【解析】根据题意画出示意图，则BM →=12BC →=12(AC →−AB →)，MN →=−23AM →=−16AB →−16AC →，所以BN →=BM →+MN →=16AC →−56AB →，【解答】由图可知BM →=12BC →=12(AC →−AB →)=12AC →−12AB →，MN →=−23AM →=−23×12(AB →+AC →)=−16AB →−16AC →，因为BN →=BM →+MN →=12AC →−12AB →+(−16AB →−16AC →)=16AC →−56AB →，4. 曲线y ＝alnx −2(a >0)在x ＝1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ）A.√2B.2C.4D.8 【答案】 B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】根据题意，求出曲线方程的导数，结合导数的几何意义分析可得切线的方程，进而求出切线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式可得S =12|(−a −2)(2a +1)|=12(a +2)(2a +1)=4，计算即可得答案． 【解答】根据题意，曲线y ＝alnx −2(a >0)，其导数y′=ax ，则有y′|x1＝a ，又由当x ＝1时，y ＝a ×ln1−2＝−2，即切点的坐标为(1, −2)，故y ＝alnx −2(a >0)在x ＝1处的切线方程为y −(−2)＝a(x −1)，即y ＝a(x −1)−2， 当x ＝0时，y ＝−a −2，与y 轴的交点为(0, −a −2)， 当y ＝0时，x =2a +1，与x 轴的交点为(2a +1, 0)，则其切线与坐标轴围成的三角形面积为S =12|(−a −2)(2a +1)|=12(a +2)(2a +1)=4，所以a ＝2，5. 记cos(−80∘)＝k ，那么tan280∘＝（ ） A.√1−k 2k B.−√1−k 2kC.√1−k 2D.√1−k 2【答案】 B运用诱导公式化简求值 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值． 【解答】∵ cos(−80∘)＝k ，∴ sin(−80∘)=−√1−k 2， 那么tan280∘＝tan(−80∘)=sin(−80)cos(−80)=−√1−k 2k=−√1−k 2k，6. 由曲线y ＝x 2+2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为（ ） A.16 B.13C.56D.23【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y ＝x 2+2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积，即可求得结论． 【解答】 由{y =x 2+2xy =x ， 可得{x =−1y =−1 或{x =0y =0∴ 曲线y ＝x 2+2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为∫−10(x−2x −x 2)dx ＝(−12x 2−13x 3)|−10=167. 若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为（ ） A.f(x)＝3cosx B.f(x)＝x 3+x 2 C.f(x)＝1+sin2x D.f(x)＝e x +x 【答案】 C【考点】 导数的运算 【解析】分别对每个选项的函数求导，再判断函数的奇偶性即可． 【解答】函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则导函数为偶函数， 对于A:f′(x)＝−3sinx ，为奇函数，对于B:f′(x)＝3x 2+2x ，该函数为非奇非偶函数， 对于C:f′(x)＝2cos2x ，为偶函数，对于D:f′(x)＝e x +1，该函数为非奇非偶函数，8. 若sin(α+π4)=13，则sin2α＝（ ） A.89 B.79C.−79D.−89【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】若sin(α+π4)=13=√22sinα+√22cosα，平方可得1+sin2α=29，则sin2α=−79，9. 已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)最小正周期为π，则函数f(x)的图象（）A.关于直线x=π12对称B.关于直线x=5π12对称C.关于点(π12, 0)对称D.关于点(5π12, 0)对称【答案】D【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】利用辅助角化简，根据最小正周期为π，可得ω＝2，即可判断函数f(x)的对称轴或对称中心．【解答】函数f(x)=√3sinωx+cosωx＝2sin(ωx+π6)，∵最小正周期为π，∴可得ω＝2，那么f(x)＝2sin(2x+π6)，令2x+π6=kπ，那么：x=12kπ−π12，当k＝1时，可得x=5π12，函数f(x)的图象关于点(5π12, 0)对称．10. 已知曲线y＝f(x)在点（5, f(5)）处的切线方程为x+y−5＝0，则f(5)与f′(5)分别是（）A.5,−1B.−1,0C.−1,5D.0,−1【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】利用函数的切线方程求出斜率得到f′(5)，通过切点在切线上求解f(5)即可． 【解答】因为曲线y ＝f(x)在点（5, f(5)）处的切线方程为x +y −5＝0， 所以切线的斜率为：−1，可得f′(5)＝−1； 切点在切线上，可得f(5)＝5−5＝0，11. ω>0函数f(x)=sin ωx 2sinπ+ωx 2在[−π4,π3]上单调递增，则ω的范围是（ ）A.(0,23] B.(0,32]C.(0, 2]D.[2, +∞)【答案】 B【考点】 二倍角的三角函数 正弦函数的单调性 【解析】利用三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可． 【解答】 f(x)=sinωx 2sinπ+ωx 2=sinωx 2cosωx 2=12sin(ωx)， 由[−π4,π3]上单调递增， ∴ π3ω≤π2，得0<ω≤32，12. 若P 是函数f(x)＝(x +1)ln(x +1)图象上的动点，已知点A(−1, −1)，则直线AP 的斜率的取值范围是（ ） A.[1, +∞) B.[0, 1] C.(e −1, e] D.(−∞, e −1] 【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设函数f(x)＝(x +1)ln(x +1)图象上的动点P(x 0, y 0)，利用斜率公式表达直线AP 斜率k =(x 0+1)ln(x 0+1)+1x 0+1．令ℎ(x)=(x+1)ln(x+1)+1x+1，求函数ℎ(x)的最值可得k 的范围．【解答】P 是函数f(x)＝(x +1)ln(x +1)图象上的动点，点A(−1, −1)， 设P(x 0, y 0)，x 0>−1，则：y 0＝(x 0+1)ln(x 0+1)，则直线AP 斜率： k =(x 0+1)ln(x 0+1)+1x 0+1．令ℎ(x)=(x+1)ln(x+1)+1x+1，ℎ′(x)=x(x+1)2．当x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增；当−1<x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−1, 0)上单调递减． ∴ 函数ℎ(x)的最小值为：ℎ(0)＝1． ∴ ℎ(x)≥1，即：k ≥1，直线AP 斜率的取值范围是[1, +∞)． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)的振幅是________． 【答案】 2【考点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义 【解析】化函数为正弦型函数，从而求得函数的振幅是多少． 【解答】函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)＝(√32sin2x +12cos2x)+(12cos2x +√32sin2x)=√3sin2x +cos2x ＝2(√32sin2x +12cos2x)＝2sin(2x +π6)， 所以函数y 的振幅是2．已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|且(a →+b →)⊥b →，则向量a →,b →的夹角为________．【答案】2π 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】直接由向量垂直可得数量积为0，代入|a →|=2|b →|，得cos <a →,b →>=−12．则向量a →,b →的夹角可求． 【解答】∵ |a →|=2|b →|，且(a →+b →)⊥b →， ∴ (a →+b →)⋅b →=a →⋅b →+|b →|2=0， 即|a →||b →|⋅cos <a →,b →>+|b →|2=0， 则2|b →|2cos <a →,b →>+|b →|2=0，得cos <a →,b →>=−12．∴ 向量a →,b →的夹角为2π3．若存在正数x ，使2x (x −a)<1成立，则a 的取值范围是________． 【答案】 a >−1 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由不等式将参数a 进行分离，利用函数的单调性进行求解． 【解答】由2x (x −a)<1，得x ⋅2x −a ⋅2x <1， ∴ a >x −12x ，设f(x)=x −12x =x −(12)x ，则f(x)在[0, +∞)上单调递增，∴ 当x >0时， f(x)>f(0)＝−1，∴ 若存在正数x ，使2x (x −a)<1成立， 则a >−1．已知函数f(x)＝x −tanx ，非零实数α，β是函数f(x)的两个零点，且|α|≠|β|，则(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)＝________． 【答案】 0【考点】两角和与差的三角函数 【解析】先将(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)化简得2(βsinαcosβ−αcosαsinβ)，因为函数f(x)＝x −tanx ，非零实数α，β是函数f(x)的两个零点，且|α|≠|β|，所以{α−tanα=0β−tanβ=0 ，即{αcosα−sinα=0βcosβ−sinβ=0 ，得，βsinαxosβ−αcosαsinβ＝0，进而得出结论． 【解答】(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)＝(α+β)sinαcosβ−(α+β)cosαsinβ−(α−β)sinαcosβ−(α−β)cosαsinβ ＝2(βsinαcosβ−αcosαsinβ)，因为函数f(x)＝x −tanx ，非零实数α，β是函数f(x)的两个零点，且|α|≠|β|， 所以{α−tanα=0β−tanβ=0 ，即{αcosα−sinα=0βcosβ−sinβ=0 ， ①×sinβ，得 αcosαsinβ−sinαsinβ＝0，③ ②×sinα，得βsinαcosβ−sinαsinβ＝0，④， ④-③得，βsinαxosβ−αcosαsinβ＝0，所以(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)＝0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=Asin(x+π4)，x∈R，且f(5π12)=32．(1)求A的值；(2)若f(θ)+f(−θ)=32，θ∈(0, π2)，求f(3π4−θ)．【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(x+π4)，x∈R，且f(5π12)=32．∴Asin(5π12+π4)=Asin2π3=A⋅√32=32，∴A=√3．(2)由(1)可得f(x)=√3sin(x+π4)，∴f(θ)+f(−θ)=√3sin(θ+π4)+√3sin(−θ+π4)=2√3sinπ4cosθ=√6cosθ=32，∴cosθ=√64，再由θ∈(0, π2)，可得sinθ=√104．∴f(3π4−θ)=√3sin(3π4−θ+π4)=√3sin(π−θ)=√3sinθ=√304．【考点】三角函数中的恒等变换应用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】（1）由函数f(x)的解析式以及f(5π12)=32，求得A的值．（2）由（1）可得f(x)=√3sin(x+π4)，根据f(θ)+f(−θ)=32，求得cosθ的值，再由θ∈(0, π2)，求得sinθ的值，从而求得f(3π4−θ)的值．【解答】解：(1)∵函数f(x)=Asin(x+π4)，x∈R，且f(5π12)=32．∴Asin(5π12+π4)=Asin2π3=A⋅√32=32，∴A=√3．(2)由(1)可得f(x)=√3sin(x+π4)，∴ f(θ)+f(−θ)=√3sin(θ+π4)+√3sin(−θ+π4) =2√3sin π4cosθ=√6cosθ=32， ∴ cosθ=√64，再由θ∈(0, π2)，可得sinθ=√104．∴ f(3π4−θ)=√3sin(3π4−θ+π4) =√3sin(π−θ)=√3sinθ=√304．已知向量a 1→=(1,−7)，d →=(1,1)，对任意n ∈N ∗都有a n+1→=a n →+d →．（1）求|a n →|的最小值；（2）求正整数m ，n ，使a m →⊥a n →． 【答案】设a n →=(x n , y n )，由a n+1=a n +d 得{x n+1=x n +1y n+1=y n +1 ∴ {x n }、{y n }都是公差为1的等差数列…． ∵ a 1=(1, −7)， ∴ x n ＝n ，y n ＝n −8， ∴ a n =(n, n −8)，∴ |a n |=√n 2+(n −8)2=√2(n −4)2+32≥4√2 ∴ |a n |的最小值为4√2⋯..由（1）可设a m =(m, m −8)a n =(n, n −8) 由已知得：a m ⋅a n =0 ∴ mn +(m −8)(n −8)＝0∴ (m −4)(n −4)＝−16….. ∵ m ，n ∈N +∴ {m =2n =12 或{m =3n =20 或{m =12n =2 或{m =20n =3 ⋯..【考点】数列与向量的综合 【解析】（1）设a n →=(x n , y n )，由a n+1=a n +d ，可得{x n }、{y n }都是公差为1的等差数列，求出a n =(n, n −8)，即可求|a n →|的最小值；(2)a m→⊥a n→等价于a m⋅a n=0，可得(m−4)(n−4)＝−16，即可求出正整数m，n．【解答】设a n→=(x n, y n)，由an+1=a n+d得{x n+1=x n+1y n+1=y n+1∴{x n}、{y n}都是公差为1的等差数列…．∵a1=(1, −7)，∴x n＝n，y n＝n−8，∴an=(n, n−8)，∴|an|=√n2+(n−8)2=√2(n−4)2+32≥4√2∴|an|的最小值为4√2⋯..由（1）可设am=(m, m−8)a n=(n, n−8)由已知得：am⋅a n=0∴mn+(m−8)(n−8)＝0∴(m−4)(n−4)＝−16…..∵m，n∈N+∴{m=2n=12或{m=3n=20或{m=12n=2或{m=20n=3⋯..已知函数f(x)=sinxx．(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点M(π2,f(π2))处的切线的纵截距；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π2,π]上的值域．【答案】f′(x)=xcosx−sinxx2，（1）f′(π2)=−4π2，f(π2)=2π，∴f(x)在点M处的切线方程为y−2π=−4π2(x−π2)，当x＝0时，得函数f(x)的纵截距y=4π；（2）令g(x)＝xcosx−sinx，得g′(x)＝−xsinx，当π2≤x≤π时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，∴g(x)≤g(π2)＝−1<0，∴当π2≤x≤π时，f′(x)=xcosx−sinxx2<0，f(x)在区间[π2,π]上单调递减，又f(π2)=2π，f(π)＝0，∴f(x)的值域为[0,2π]．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出函数f(x)的导数f′(x)，再求出斜率和点M的坐标，写出切线方程，再得纵截距；（2）g(x)＝xcosx−sinx，求导得g(x)单调递减，得f′(x)<0，得f(x)的单调递减，求出f(x)的最值，再求值域．【解答】f′(x)=xcosx−sinxx2，（1）f′(π2)=−4π2，f(π2)=2π，∴f(x)在点M处的切线方程为y−2π=−4π2(x−π2)，当x＝0时，得函数f(x)的纵截距y=4π；（2）令g(x)＝xcosx−sinx，得g′(x)＝−xsinx，当π2≤x≤π时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，∴g(x)≤g(π2)＝−1<0，∴当π2≤x≤π时，f′(x)=xcosx−sinxx2<0，f(x)在区间[π2,π]上单调递减，又f(π2)=2π，f(π)＝0，∴f(x)的值域为[0,2π]．已知函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<|φ|<π)在[0,π4]上单调递减，且满足f(x)=f(π2−x)．（1）求φ的值；（2）将y＝f(x)的图象向左平移π3个单位后得到y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式．【答案】f(x)＝sin (2x+φ )+√3cos(2x+φ)＝2sin (2x+φ+π3)∵f(x)=f(π2−x)．∴y＝f(x)图象关于x=π4对称，则当x=π4时，2×π4+φ+π3=kπ+π2，即φ＝kπ−π3，当k＝0时，φ=−π3，此时f(x)＝2sin2x在[0,π4]上单调递增，不满足条件．舍去当k＝1时，φ=2π3，此时f(x)＝−2sin2x在[0,π4]上单调递减．满足条件．，故φ=2π3．由（1）可知f(x)＝−2sin 2x，将f(x)＝−2sin 2x向左平移π3个单位得到g(x)，∴g(x)＝−2sin2(x+π3)＝−2sin(2x+2π3)＝2sin(2x−π3)．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合条件求出φ的值即可．（2）利用三角函数的图象平移关系进行化简求解即可．【解答】f(x)＝sin (2x+φ )+√3cos(2x+φ)＝2sin (2x+φ+π3)∵f(x)=f(π2−x)．∴y＝f(x)图象关于x=π4对称，则当x=π4时，2×π4+φ+π3=kπ+π2，即φ＝kπ−π3，当k＝0时，φ=−π3，此时f(x)＝2sin2x在[0,π4]上单调递增，不满足条件．舍去当k＝1时，φ=2π3，此时f(x)＝−2sin2x在[0,π4]上单调递减．满足条件．，故φ=2π3．由（1）可知f(x)＝−2sin 2x，将f(x)＝−2sin 2x向左平移π3个单位得到g(x)，∴g(x)＝−2sin2(x+π3)＝−2sin(2x+2π3)＝2sin(2x−π3)．设函数f(x)=2√2sinx,g(x)=sin2x+cos2x，g′(x)是g(x)的导函数．(Ⅰ)当x∈[0, 2π]时，解方程f(x)＝g′(x)；(Ⅱ)求函数F(x)＝f(x)+g(x)的最小值．【答案】（1）g′(x)＝2cos2x−2sin2x，则所解方程即为2√2sinx=2cos2x−2sin2x，∴2√2sinx=−2√2sin(2x−π4)，∴sinx+sin(2x−π4)=0，∴2sin(32x−π8)cos(12x−π8)=0，∴sin(32x−π8)=0或cos(12x−π8)=0，∴32x−π8=kπ或12x−π8=π2+kπ,k∈Z，又x∈[0, 2π]，∴x=π12,3π4,5π4,17π12；（2）由题得，F(x)=2√2sinx+sin2x+cos2x，所以函数F(x)的最小正周期为2π，所以只需考虑[0, 2π]的情况，由题得，F′(x)=2√2cosx+2cos2x−2sin2x=2√2sin(π2−x)−2√2sin(2x−π4)=4√2cos(12x+π8)sin(3π8−32x)，令F′(x)＝0，则x=π4,3π4,11π12,19π12，∵F(0)=1,F(π4)=1,F(3π4)=1,F(11π12)=3(√3−1)2,F(19π12)=−3(√3+1)2,F(2π)=1，∴F(x)min =−3(√3+1)2．【考点】导数的运算利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)先化简得到sin(32x−π8)=0或cos(12x−π8)=0，再得到方程的解；(Ⅱ)先分析函数的最小正周期，再求导得F′(x)=4√2cos(12x+π8)sin(3π8−32x)，再比较极值点和端点值的大小得解．【解答】（1）g′(x)＝2cos2x−2sin2x，则所解方程即为2√2sinx=2cos2x−2sin2x，∴2√2sinx=−2√2sin(2x−π4)，∴sinx+sin(2x−π4)=0，∴2sin(32x−π8)cos(12x−π8)=0，∴sin(32x−π8)=0或cos(12x−π8)=0，∴32x−π8=kπ或12x−π8=π2+kπ,k∈Z，又x∈[0, 2π]，∴x=π12,3π4,5π4,17π12；（2）由题得，F(x)=2√2sinx+sin2x+cos2x，所以函数F(x)的最小正周期为2π，所以只需考虑[0, 2π]的情况，由题得，F′(x)=2√2cosx+2cos2x−2sin2x=2√2sin(π2−x)−2√2sin(2x−π4)=4√2cos(12x+π8)sin(3π8−32x)，令F′(x)＝0，则x=π4,3π4,11π12,19π12，∵F(0)=1,F(π4)=1,F(3π4)=1,F(11π12)=3(√3−1)2,F(19π12)=−3(√3+1)2,F(2π)=1，∴F(x)min =−3(√3+1)2．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后面的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程.]在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=12cos2θ+3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=3+√5ty=2√5t（t为参数）．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；(Ⅱ)若P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．【答案】（1）曲线C的极坐标方程为ρ2=12cos2θ+3，整理得(ρcosθ)2+3ρ2＝12，转换为直角坐标方程为4x2+3y2＝12，即x23+y24=1．直线l的参数方程为{x=3+√5ty=2√5t（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x−y−6＝0．（2）椭圆x23+y24=1转换为参数方程为{x=√3cosθy=2sinθ（θ为参数）．所以点P(√3cosθ,2sinθ)到直线2x−y−6＝0的距离d=√3cosθ−2sinθ−6|√22+12=|4sin(θ−π3)+6|√5，当sin(θ−π3)=1时，d max=√5=2√5．【考点】圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】（1）曲线C的极坐标方程为ρ2=12cos2θ+3，整理得(ρcosθ)2+3ρ2＝12，转换为直角坐标方程为4x2+3y2＝12，即x23+y24=1．直线l的参数方程为{x=3+√5ty=2√5t（t为参数）．转换为直角坐标方程为2x−y−6＝0．（2）椭圆x23+y24=1转换为参数方程为{x=√3cosθy=2sinθ（θ为参数）．所以点P(√3cosθ,2sinθ)到直线2x−y−6＝0的距离d=√3cosθ−2sinθ−6|√22+12=|4sin(θ−π3)+6|√5，当sin(θ−π3)=1时，d max=√5=2√5．[选修4-5：不等式选讲.]已知a、b、c均为正实数．(Ⅰ)若ab+bc+ca＝3，求证：a+b+c≥3(Ⅱ)若a+b＝1，求证：(1a2−1)(1b2−1)≥9【答案】证明：(Ⅰ)∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)＝3(ab+bc+ca)＝9，又a，b，c均为正整数，∴a+b+c≥3成立．（2）：a、b为正实数，a+b＝1，∴a2+2ab+b2＝1，∴(1a2−1)(1b2−1)=(a2+2ab+b2a2−1)(a2+2ab+b2b2−1)＝(2ba +b2a2)(2ab+a2b2)＝5+2ab+2ba≥5+2√2ab×2ba=9，当且仅当2ab =2ba，即a＝b=12时，“＝”成立．【考点】不等式的证明【解析】(Ⅰ)要证原不等式成立，运用两边平方和不等式的性质，即可得到证明；(Ⅱ)运用分析法证明．要证a+b+c≥3，只需证明(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥9即可．【解答】证明：(Ⅰ)∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)＝3(ab+bc+ca)＝9，又a，b，c均为正整数，∴a+b+c≥3成立．（2）：a、b为正实数，a+b＝1，∴a2+2ab+b2＝1，∴(1a2−1)(1b2−1)=(a2+2ab+b2a2−1)(a2+2ab+b2b2−1)＝(2ba +b2a2)(2ab+a2b2)＝5+2ab+2ba≥5+2√2ab×2ba=9，当且仅当2ab =2ba，即a＝b=12时，“＝”成立．。