第26讲 立体图形的,表面积及体积
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小学数学竞赛专题讲座
1 第26讲 立体图形的表面积和体积
【探究必备】
1. 表面积的定义
所有立体图形外面的面积之和叫做它的表面积。
长方体的表面积就是指长方体六个面的总面积；正方体的表面积就是指正方体六个面的总面积；圆柱的表面积包括上、下两个底面积和一个侧面积，上、下两个底面是面积相等的两个圆，侧面沿高展开后是一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。
2. 表面积计算公式
长方体表面积=（长×宽×2）+（长×高×2）+（宽×高×2）
=（长×宽+长×高+宽×高）×2
=底面周长×高
用字母表示为：S=2（ab+ah+bh）=2ab+2ah+2bh=Ch
正方体表面积=6×（棱长×棱长）
用字母表示为：S=6a²
圆柱的表面积=2个底面积+侧面积
=2个圆面积+底面周长×高
用字母表示为S=2πr²+2πrh=2πr（r+h）
3. 体积和容积的定义
物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器能容纳物质的体积叫做容器的容积。
4. 体积的计算公式
长方体的体积=长×宽×高
用字母表示为：V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
用字母表示为：V=a³
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示为：V=Sh
圆柱的体积=底面积×高
用字母表示为V=πr²h 小学数学竞赛专题讲座
2 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一，即圆柱的体积=底面积×高×31。
用字母表示为V=31πr²h。
【王牌例题】
例1、鹏鹏用硬纸板做一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体纸盒。鹏鹏做这样的纸盒至少用硬纸板多少平方厘米？
分析与解答：由于这些铁皮分布在长方体的六个，所以只要求出6个面的面积之和，即长方体的表面积=（6×5+5×4+6×4）×2=148（平方厘米），因此做这样的纸盒174平方厘米。
例2、一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长15分米，宽10分米，高12分米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
分析与解答：由于这个鱼缸无盖，所以计算玻璃时，只要计算5个面的面积，即15×10+15×12×2+10×12×2=750（平方分米）；这道题还可以这样做，先求出正方形6个面的全面积，即（15×10+10×12+15×12）×2=900（平方分米），再减去上面的盖15×10=150（平方分米），那么需要铁皮900-150=750（平方分米）。
例3、把3个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
分析与解答：这3个正方体不管怎样拼，这个长方体的长是2×3=6（厘米），宽是2厘米，高是2厘米，那么这个长方体的表面积是（6×2+2×2+6×2）×2=56（平方厘米）。这道题还可以这样想，把3个正方体拼成一个长方体，它的表面积减少了原来正方体4个面的面积，因此长方体的表面积=2×2×6×3-2×2×4=56（平方厘米）。
例4、一个长、宽、高分别是60厘米、40厘米、20厘米的长方体，沿上下面平行锯成两个小长方体。这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？
分析与解答：把两个小长方体的表面积的和与原来的长方体的表面积相比，增加了两个面的面积，由于沿上下面平行锯成两个小长方体，所以增加的两个面的面积和原长方体上下两个面的面积相等。因此要求这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米，只要求出原长方体的上下两个面的面小学数学竞赛专题讲座
3 积，即增加了60×40×2=4800（平方厘米）。
例5、一种压路机滚筒，半径是4分米，长1.2米，每分钟转10周，每分钟压路多少平方米？
分析与解答：压路机滚筒是一个圆柱，求滚筒的压路面积就是求圆柱形滚筒的侧面积。长1.2米就是圆柱的高，这个圆柱的底面周长=2×3.14×0.4=2.512（米），再根据公式圆柱的侧面积=底面周长×高，即2.512×1.2=3.0144（平方米），由于每分钟转10圈，所以每分钟压路3.0144×10=30.144（平方米）。
例6、学校航模小组做了一个航天模型，其中的一部分是一个圆柱体，圆柱侧面积是18.84平方厘米，高是3厘米，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
分析与解答：要求圆柱体的表面积，应先求出圆柱的底面积，由于圆柱侧面积是18.84平方厘米，高是3厘米，所以底面半径是18.84÷2÷3.14÷3=1（厘米），那么两个第面积为2×3.14×1²=6.28（平方厘米），因此这个圆柱的表面积是6.28+18.84=25.12（平方厘米）。
例7、一个圆柱体，沿高将侧面展开，是边长为18.84厘米的正方体，这个圆柱体的表面积是多少平方厘米？（得数保留整数）
分析与解答：由于这个圆柱沿高将侧面展开后是一个正方形，说明这个圆柱的底面周长和高相等，这个正方形的边长相当于底面周长，那么底面半径为18.84÷2÷3.14=3（厘米），则它的底面积为2×3.14×3²=56.52（平方厘米），其侧面积等于正方形的面积，即它的侧面积为18.84×18.84=354.9456（平方厘米），故这个圆柱体的表面积是56.52+354.945=411.4656（平方厘米）≈411（平方厘米）。
例8、把一根半径是20厘米、长2米的圆柱形木材锯成同样的3段圆柱形，表面积增加了多少平方米？
分析与解答：把圆柱锯成3段，侧面积没有变化，增加的表面积就是切面的面积。锯成3段要锯3-1=2（次），每锯1次要增加2个面的面积，则锯2次要增加2×2=4（个）切面的面积，由于切面是一个半径为20厘米的圆，它的面积为3.14×0.2²=0.1256（平方厘米），故表面积增加了0.1256×4=0.5024（平方厘米）。例9、一台冰柜，从外面量，长1米，宽0.55米，高1.2米；从里面量，长90厘米，宽44厘米，高65厘米。这台冰柜所占的空间有多大？这台冰柜的容积是小学数学竞赛专题讲座
4 多少？
分析与解答：因为物体所占空间的大小叫做物体的体积，所以求这台冰柜所占的空间有多大，就是求这台冰柜的体积，它的长、宽、高分别从外面量，那么这台冰柜所占的空间有1×0.55×1.2=0.66（平方米）；而容积是指容器能容纳物体的体积，它的长、宽、高是从容器里面测量的，因此这台冰柜的容积是0.9×0.44×0.65=0.2574（平方厘米）。
例10、学校有一个底面积为4.5平方米，深0.5米的长方体沙坑。要填满这个沙坑，需要黄沙多少立方米？
分析与解答：由于容积是指容器所能容纳物体的体积，所以要求需要黄沙多少立方米是求黄沙的体积，由容积的定义可知，黄沙的体积和沙坑的容积相等，即需要黄沙4.5×0.5=2.25（立方米）。
例11、学校把5立方米的沙子铺在长4米，宽2.5米的长方体沙坑内，沙子可以铺多厚？
分析与解答：求沙子可以铺多厚，就是求所铺的沙子在长方体沙坑的高，根据长方体的体积公式可计算出高，即沙子可以铺5÷（4×2.5）=0.5（米）厚。
例12、一个正方体的玻璃缸棱长为5分米。将它装满水，再将水倒入一个长8分米，宽2.5分米的长方体水箱中。水箱中水面的高度是多少分米？
分析与解答：把正方体玻璃缸的水倒入长方体水箱中，水的体积不变，水的体积可以通过正方体求出，即水的体积为5×5×5=125（立方分米），将它倒入长方体水箱中，水面的高度为125÷（8×2.5）=6.25（分米）。
例13、一个长方体鱼缸长60厘米，宽20厘米，水深25厘米。放入一条金鱼后，水深27厘米。这条鱼的体积是多少？
分析与解答：根据题意可知，这条金鱼的体积就是鱼缸水面上升部分的体积，由于放入一条金鱼后，水深27厘米，水面上升了27-25=2（厘米），那么水面上升部分的体积为60×20×2=2400（立方厘米），即这条鱼的体积是2400立方厘米。
例14、一种圆柱形的饮料罐，量得底面周长是62.8厘米，高是4分米。这个饮料罐的体积是多少立方分米？
分析与解答：由于圆柱的体积等于底面积乘高，所以应先求出它的底面积，又要先求出底面半径，因为底面周长是62.8÷10=6.28（分米），所以底面半径为6.28小学数学竞赛专题讲座
5 ÷2÷3.14=1（分米），故圆柱的底面积为3.14×1²=3.14（平方分米），那么这个饮料罐的体积是3.14×4=12.56（立方分米）。
例15、一个圆柱的体积是150.72立方厘米，底面周长是12.56厘米，这个圆柱的高是多少厘米？
分析与解答：根据圆柱体积=底面积×高，可知圆柱的高=圆柱体积÷底面积，由于底面周长是12.56厘米，因此底面半径为12.56÷2÷3.14=2（厘米），那么圆柱的底面积=3.14×2²=12.56（平方厘米），则这个圆柱的高是150.72÷12.56=12（厘米）。
例16、已知一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是48立方分米，圆柱的体积是多少立方分米？
分析与解答：圆锥的体积等于和它等底等高圆柱体积的31。如果圆锥的体积看作1份，与它等底等高的圆柱就是3份，那么48立方分米对应的就是1+3=4（分），再根据和倍问题，圆锥的体积为48÷4=12（立方分米），那么圆柱的体积为12×3=36（立方分米）。
例17、一个棱长是3分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆柱体容器里正好装满，这个圆柱体容器的高是多少分米？
分析与解答：根据题意可知，正方体的容积等于圆柱体的容积，正方体的容积为3×3×3=27（立方分米），即圆锥的体积也是27立方分米，再根据圆锥的体积=底面积×高×31可得这个圆柱体容器的高=27×3÷12=6.75（分米）。
【同步练习】
1. 一个正方体的礼品盒，棱长为4分米。包装这个礼品盒至少需要多少平方分米的包装纸？
2. 一个长方体铁盒长16厘米，宽10厘米，高6厘米。做这个铁盒至少需要多少平方厘米的铁皮？
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3. 给一个长32厘米，宽20厘米，高15厘米的工具箱表面涂漆，涂漆的面积是多少平方厘米？
4. 做一个不带盖的正方体硬纸盒，棱长9厘米，至少要用多少平方厘米的硬纸板？
5. 一间教室长8米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶和四面墙壁，除去门窗面积24.5平方米。需要粉刷的面积是多少平方米？
6. 一个游泳池长50米，宽25米，平均深2.5米，要在四壁和底面抹一层水泥。如果每平方米需要水泥4千克，共需水泥多少千克？
7. 如图所示，一个长、宽、高分别为30厘米、25厘米、20厘米的长方体，沿左右面平行锯成两个小长方体。这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？
30厘米 20厘米 25厘米
