立体图形的表面积

教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）授课日期时段教学内容知识点一：表面积1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。

字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 22、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。

字母公式：S=a ×a× 63、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高） 用字母表示：22s r ch π=+注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2s = 已知底面直径和高，dh π侧=s知识点二：体积1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高 （Ｖ＝ａｂｈ）② 底面积×高=横截面积×长 （V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积是（ ）平方厘米．A ．50B ．100C ．50πD ．100π答案：B检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．答案：64检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，体积是______立方厘米． 答案：2 24 8检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．答案：250检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的面积有______平方米．答案：这个练功房的面积有80平方米．检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的21，它的体积就（ ）答案：扩大2倍检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．答案：1.57cm一、专题精讲例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。

图形公式大全表所有图形的公式一、平面图形公式：1、正方形 s=a²或对角线×对角线÷2 c=4a2、平行四边形 s=ah3、三角形s=ah÷24、梯形s=(a b)×h÷25、圆形s=πr2 c=πd6、椭圆s=πr7、扇形 s=lr/2二、立体图形公式：1、长方体的表面积=2×（长×宽长×高宽×高) 用符号表示是：s=2（ab bc ca）2、长方体的体积 =长×宽×高用符号表示是：v=abh 或底面积×高用符号表示是：v=sh3、正方体的表面积=棱长×棱长×6 用符号表示是：s=a²×64、正方体的体积=棱长×棱长×棱长用符号表示是：v=a³5、圆柱的侧面积=底面周长×高用符号表示是：s侧=πd×h6、圆柱的表面积=2×底面积侧面积用符号表示是：s=πr²×2 dπh7、圆柱的体积=底面积×高用符号表示是：v=πr²×h8、圆锥的体积=底面积×高÷3 用符号表示是：v=πr²×h÷39、圆锥侧面积=1/2*母线长*底面周长10、圆台体积=[s s′ √(ss′)]h÷311、球体体积=(1/3*s*h)*(4*pi*r²)/s=4/3*pi*r²三、立体几何图形：1、柱体：包括圆柱和棱柱。

棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、n棱柱；棱柱体积都等于底面面积乘以高，即v=sh;2、锥体：包括圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥及n棱锥；棱锥体积为v=sh/3 ;3、旋转体：包括圆柱、圆台、圆锥、球、球冠、弓环、圆环、堤环、扇环、枣核形等。

立体图形的投影与表面积在我们的日常生活和学习中，立体图形无处不在。

从我们居住的房屋到手中的手机，从常见的包装盒到宏伟的建筑，都离不开各种立体图形的应用。

而理解立体图形的投影和表面积，对于我们更好地认识和把握周围的世界具有重要意义。

首先，让我们来聊聊立体图形的投影。

简单来说，投影就是当光线照射到一个立体图形上时，它在某个平面上所留下的影子。

想象一下，在阳光明媚的日子里，一个立着的正方体放在地面上，它在地面上形成的影子就是它的投影。

投影分为中心投影和平行投影两种。

中心投影就好像我们在夜晚用手电筒照射一个物体，所产生的影子会随着手电筒位置的变化而改变大小和形状。

而平行投影呢，又可以分为正投影和斜投影。

正投影是光线垂直于投影面照射物体所得到的投影，比如我们在阳光下看到建筑物垂直于地面的影子，就是正投影。

斜投影则是光线倾斜于投影面照射物体得到的投影。

不同的立体图形，它们的投影也各有特点。

比如，球体无论从哪个方向进行正投影，得到的都是一个圆形。

而长方体，如果从不同的角度进行正投影，可能会得到长方形、正方形等不同的形状。

了解立体图形的投影，在很多实际场景中都有着重要的应用。

在建筑设计中，设计师们需要通过绘制建筑物的投影图来规划建筑的布局和外观。

在机械制造中，工程师们依靠零件的投影图来精确加工零件。

接下来，我们再谈谈立体图形的表面积。

表面积可以理解为一个立体图形所有表面的面积总和。

对于常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体，它们的表面积都有特定的计算公式。

正方体的表面积等于一个面的面积乘以 6，因为正方体的六个面都是完全相同的正方形。

长方体的表面积则稍微复杂一些，它等于（长×宽＋长×高＋宽×高）× 2，因为长方体有三组不同的面，每组两个相同的面。

圆柱体的表面积由侧面积和两个底面积组成。

侧面积展开是一个长方形，其面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高；底面积是两个相同的圆，面积等于π乘以半径的平方。

考点：立体图形的表面积问题一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。

从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。

因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。

在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。

若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

二、精讲精练【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

图27--3练习1：1、（课后）从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。

2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？4×4×6－2×2×2＝92平方厘米3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平方厘米。

第10讲——立体图形（1）表面积：柱体表面积=侧面积+2个底面积 圆柱体=底面周长×高+2个底面积 （2）体 积：柱体体积=底面积×高 锥体体积=1/3底面积×高 另外要了解立体图形展开图的形状:1、一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是？512(3846)8()dm ÷÷=81296()dm ⨯=2、如图,在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池的体积是？ 底面长：30.12 2.8()m -⨯= 底面宽：1.80.12 1.6()m -⨯= 体积：32.8 1.628.96()m ⨯⨯=圆柱体。

底面半径为4dm ，高也是4dm ，体积244⨯⨯π64200.96==π (dm 2)2单位:米6、一个长方体的表面积是67.92平方分米.底面的面积是19平方分米.底面周长是17.6分米,这个长方体的体积是 。

侧面积=67.92-19⨯2=29.92(dm 2)高=29.9217.76=1.7(dm)÷3h 19 1.732.3(dm )V S =⨯=⨯=底7、一块长方体木块长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米.要把它裁成大小相等的正方体小木块,不相当于求最大公约数，先把单位统一成厘米(变为整数) (270,18,15)=3 所以答案是0.3分米。

8、王师傅将木方刨成横截面如右图(单位:厘米)那样高40厘米的一根棱柱.虚线把横截面分成大小两部分,较大的那部分的面积占整个底面的60%.这个棱柱的体积是 立方厘米. 先求虚线左右两侧梯形的高，设为左为a ，右为b (1224)26(824)24a b +⨯÷=+⨯÷，于是3a=4b ，求出a=16，b=12，底面积：2112824(12161612)480()22cm ⨯-⨯⨯+⨯⨯=(1224)162+⨯÷ ＋(824)122+⨯÷= 2480()cm 体积：34804019200()V cm =⨯=9、小玲有两种不同形状的纸板.一种是正方形的,一种是长方形的(如下图).正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2.她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒,正好将纸板用完.在小玲所做的纸盒中,竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 .8282412竖式的纸盒需要4个长方行和1个正方形， 横式的纸盒需要3个长方形和2个正方形，设分别需要a 和b 个，当作正方形为溶质的的浓度问题处理：竖式含正方形15，横式含25，总的正方形占全部的13，2115311235a b -==-22221111111111112211如上方的俯视图。

五年级几何体的表面积与体积的计算(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）空间与图形教师辅导讲义——立体图形的知识与应用知识要点长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的表面积及体积1．表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积。

表面积通常用S 表示。

常用面积单位是平方千米、平方米、平方分米、平方厘米。

2．体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。

体积通常用V 表示。

常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。

3．容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。

常用容积单位是升、毫升。

4．体积与容积单位之间的换算：1立方分米=l 升，1立方厘米=l 毫升。

5．体积和容积的异同点 容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从物体的外面量长、宽、高。

计量体积用体积单位，计量容积除了用体积单位外，还可以用容积单位升和毫升。

6. 立体图形的表面积、侧面积和体积计算公式相同点不同点 面棱顶点面的特点 面的大小 棱长 长方体6个12条8个6个面一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形相对的面的面积相等每一组互相平行的四条棱的长度相等正方体6个12条8个6个面都是相等的正方形6个面的面积都相等12条棱长的长度都相等精典题型分析1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米。

（单位：厘米）练习：学校生物小组做了一个昆虫箱（如图）。

昆虫箱的上、下、左、右面是木板，前、后面装纱网。

①制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的木板？②制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的纱网？2、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？练习1：一个长方体的玻璃缸内有一些水，水面距离上沿0.6分米（如图）。

准备在缸内放入一块体积是60立方分米的假山石（假山石能全部浸在水中），水会溢出吗？如果会溢出，溢出多少立方分米？练习2：一个正方体玻璃容器，从里面量棱长是2dm。

立方图形：名称符号面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a2 V＝a3
长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积h－高V＝Sh
棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h －高V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S 侧—侧面积S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)
球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d
－环体截面直径V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4
桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 长*宽*高底面积*高底面积*高/3 边长的立方。

立体图形的基本概念立体图形是在三维空间中存在的图形，与平面图形相比，立体图形具有更多的维度和复杂性。

立体图形包括了各种形状和结构，如立方体、圆柱体、圆锥体、球体等。

本文将介绍一些立体图形的基本概念，并探讨其特点和性质。

一、立体图形的定义和特点立体图形是由一系列的面、边和顶点组成的。

其中，面是由线段或边所围成的封闭曲面，边是连接两个顶点的线段，顶点则是多边形的交点。

立体图形具有以下特点：1. 三维性：立体图形在空间中存在，具有长度、宽度和高度三个维度。

与平面图形只有两个维度不同，立体图形在空间中具有更多的变化和表现力。

2. 复杂性：相比于平面图形，立体图形的结构更加复杂。

它们可以由多个面组成，各个面之间可能相互连接或平行。

立体图形的复杂性使得它们更具挑战性，也更具美观性。

3. 多样性：立体图形可以是各种各样的形状和结构。

从简单的立方体到复杂的球体，每个立体图形都具有自己独特的特点和特性。

二、立体图形的常见种类在几何学中，有许多常见的立体图形，每个都有其独特的特征和用途。

以下是一些常见的立体图形的描述：1. 立方体：立方体是最简单的立体图形之一。

它有六个面，每个面都是正方形，每个面都相互平行。

立方体的六个面围成了一个封闭的空间，具有相等的长度、宽度和高度。

2. 圆柱体：圆柱体由一个圆形的底面和一个平行于底面的侧面组成。

圆柱体的侧面是一个矩形，其宽度等于圆的周长，高度等于圆柱体的高度。

3. 圆锥体：圆锥体由一个圆形的底面和一个顶点连接底面的侧面组成。

圆锥体的侧面是由顶点和底面上的点组成的线段。

圆锥体可以有不同的高度和底面半径，从而呈现不同的形状和尺寸。

4. 球体：球体是由所有点到一个给定点的距离相等的点组成的集合。

它没有顶点、边和面，是唯一一个拥有连续曲面的立体图形。

三、立体图形的性质和应用立体图形具有许多独特的性质，这些性质使它们在不同的领域和应用中得到广泛应用。

以下是一些常见的立体图形的性质和应用：1. 表面积：立体图形的表面积是其各个面积的总和。

《立体图形的表面积和体积》教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解立体图形的基本概念。

引导学生观察和描述立体图形的特征。

1.2 教学内容立体图形的定义和分类。

立体图形的基本特征。

1.3 教学步骤1. 引入立体图形的概念，引导学生观察和描述生活中常见的立体图形。

2. 介绍立体图形的分类，如正方体、长方体、圆柱体等。

3. 引导学生观察和描述立体图形的基本特征，如面、边、角等。

第二章：立体图形的表面积2.1 教学目标让学生理解立体图形的表面积的概念。

引导学生计算简单立体图形的表面积。

2.2 教学内容立体图形表面积的定义和计算方法。

简单立体图形的表面积计算公式。

2.3 教学步骤1. 引入立体图形表面积的概念，引导学生理解表面积的意义。

2. 讲解正方体和长方体的表面积计算方法，引导学生掌握计算公式。

3. 进行实例计算，让学生动手练习计算简单立体图形的表面积。

第三章：立体图形的体积3.1 教学目标让学生理解立体图形的体积的概念。

引导学生计算简单立体图形的体积。

3.2 教学内容立体图形体积的定义和计算方法。

简单立体图形的体积计算公式。

3.3 教学步骤1. 引入立体图形体积的概念，引导学生理解体积的意义。

2. 讲解正方体和长方体的体积计算方法，引导学生掌握计算公式。

3. 进行实例计算，让学生动手练习计算简单立体图形的体积。

第四章：立体图形的表面积和体积的关系4.1 教学目标让学生理解立体图形的表面积和体积之间的关系。

引导学生运用表面积和体积的关系解决实际问题。

4.2 教学内容立体图形表面积和体积的关系原理。

运用表面积和体积关系解决实际问题。

4.3 教学步骤1. 讲解立体图形表面积和体积之间的关系，引导学生理解两者之间的联系。

2. 提供实际问题，让学生运用表面积和体积的关系解决。

3. 进行实例解析，引导学生运用所学知识解决实际问题。

第五章：巩固与拓展5.1 教学目标让学生巩固所学立体图形的表面积和体积的知识。

引导学生拓展思维，解决复杂立体图形的表面积和体积问题。

第26讲立体图形的表面积和体积【探究必备】1. 表面积的定义所有立体图形外面的面积之和叫做它的表面积。

长方体的表面积就是指长方体六个面的总面积；正方体的表面积就是指正方体六个面的总面积；圆柱的表面积包括上、下两个底面积和一个侧面积，上、下两个底面是面积相等的两个圆，侧面沿高展开后是一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。

2. 表面积计算公式长方体表面积=（长×宽×2）+（长×高×2）+（宽×高×2）=（长×宽+长×高+宽×高）×2=底面周长×高用字母表示为：S=2（ab+ah+bh）=2ab+2ah+2bh=Ch正方体表面积=6×（棱长×棱长）用字母表示为：S=6a²圆柱的表面积=2个底面积+侧面积=2个圆面积+底面周长×高用字母表示为S=2πr²+2πrh=2πr（r+h）3. 体积和容积的定义物体所占空间的大小叫做物体的体积；容器能容纳物质的体积叫做容器的容积。

4. 体积的计算公式长方体的体积=长×宽×高用字母表示为：V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示为：V=a³长方体（或正方体）的体积=底面积×高用字母表示为：V=Sh圆柱的体积=底面积×高用字母表示为V=πr²h圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一，即圆柱的体积=底面积×高×31。

用字母表示为V=31πr ²h 。

【王牌例题】例1、鹏鹏用硬纸板做一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体纸盒。

鹏鹏做这样的纸盒至少用硬纸板多少平方厘米？分析与解答：由于这些铁皮分布在长方体的六个，所以只要求出6个面的面积之和，即长方体的表面积=（6×5+5×4+6×4）×2=148（平方厘米），因此做这样的纸盒174平方厘米。

无盖长方体和正方体的表面积公式无盖长方体和正方体是几何学中常见的两种立体图形，它们的表面积是我们在计算空间中的体积和表面积时经常需要用到的公式。

下面我们将分别介绍无盖长方体和正方体的表面积公式，并解释其原理和应用。

一、无盖长方体的表面积公式无盖长方体是由六个矩形面围成的立体图形，其中三对面的长和宽相等。

我们可以通过计算每个矩形面的面积，然后将它们相加得到无盖长方体的表面积。

假设无盖长方体的长、宽、高分别为L、W、H，那么它的表面积S 可以用如下公式来表示：S = 2(LW + LH + WH)其中LW表示底面的面积，LH和WH表示两个侧面的面积，所以我们需要将它们乘以2。

无盖长方体的表面积公式可以帮助我们计算物体的表面积，比如一个长方体盒子的表面积就可以通过这个公式来计算。

此外，无盖长方体的表面积也与物体的包装需求有关，比如我们需要知道一个物体的表面积大小，以便选择合适的包装材料。

二、正方体的表面积公式正方体是由六个正方形面围成的立体图形，它的六个面的边长相等。

我们可以通过计算每个正方形面的面积，然后将它们相加得到正方体的表面积。

假设正方体的边长为a，那么它的表面积S可以用如下公式来表示：S = 6a²正方体的表面积公式非常简洁，只需要将正方体的边长平方后，再乘以6即可得到表面积。

这个公式在计算正方体的表面积时非常实用，比如我们需要计算一个正方体的表面积来确定其表面涂料的用量。

三、无盖长方体和正方体表面积公式的应用无盖长方体和正方体的表面积公式在实际生活中有很多应用。

以下是一些具体的例子：1. 包装设计：当我们需要设计一个物体的包装盒时，我们可以通过计算物体的表面积来确定合适的包装材料和包装尺寸。

2. 建筑设计：在建筑设计中，我们需要计算建筑物的外墙面积。

如果建筑物是长方体或正方体的形状，我们可以直接使用相应的表面积公式。

3. 涂料用量计算：如果我们想要给一个物体涂上一层涂料，我们可以通过计算物体的表面积来确定所需的涂料量。

七年级数学立体图形知识点1、计算表达式立体图形的大部分计算都需要用到计算表达式，因此首先需要掌握计算表达式的基础知识。

计算表达式最基本的形式是符号和数字的组合，如“3+5”、“8-6”、“4×2”、“10÷2”，其中“+”、“-”、“×”、“÷”分别表示加、减、乘、除的数学符号。

要正确计算表达式，需要遵循先乘除后加减的原则，即先由左到右计算所有乘除法，再由左到右计算所有加减法。

如果有括号，需要先从内向外计算。

2、立体图形的基本概念立体图形是指具有三个空间维度（长、宽、高）的图形，主要包括以下几种：（1）立方体：六个面积相等的矩形构成，具有六个面、十二个边、八个顶点。

（2）正方体：六个面为正方形构成，具有六个面、十二个边、八个顶点。

（3）长方体：相邻的两个面积相等的矩形构成，具有六个面、十二个边、八个顶点。

（4）圆柱体：由两个底面相等的圆环和一段侧面连接而成，具有三个面、两个底面、一个侧面、两个底圆心、一个底圆周长、一个高、一个侧面积。

（5）圆锥体：由一个底面和一段侧面连接而成，具有两个面、一个底面、一个侧面、一个底圆心、一个底圆周长、一个高、一个侧面积。

（6）球：由所有距离中心点相等的点组成，具有一个球心、一个半径、一个表面积和一个体积。

3、计算立体图形的表面积和体积（1）立方体的表面积=6a²（其中a为立方体的边长）（2）正方体的表面积=6a²（3）长方体的表面积=2（ab+bc+ca）（其中a、b、c为长方体的三个边长）（4）圆柱体的表面积=2πrh+2πr²（其中r为底面半径，h为高）（5）圆锥体的表面积=πrl+πr²（其中l为斜高，r为底面半径）（6）球的表面积=4πr²（7）立方体的体积=abc（其中a、b、c为立方体的三个边长）（8）正方体的体积=a³（9）长方体的体积=abc（10）圆柱体的体积=πr²h（11）圆锥体的体积=1/3πr²h（12）球的体积=4/3πr³4、特殊的立体图形（1）棱柱：具有棱数（n）个侧面和两个底面的多面体，其中的侧面都是平行的，并且相邻的两个侧面之间是相等的多边形。

立体图形的投影与表面积计算立体图形是我们数学学习中的重要内容之一，它们在现实生活中随处可见，比如建筑物、家具、雕塑等。

了解立体图形的投影和表面积计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解空间几何关系，还能在实际问题中应用到。

一、立体图形的投影立体图形的投影是指将三维空间中的图形在某个平面上的影子。

常见的投影有正投影和斜投影两种。

1. 正投影正投影是指将图形垂直投影到一个平面上。

例如，我们常见的平行四边形、长方体、正方体等都可以通过正投影得到其在平面上的形状。

通过正投影，我们可以观察到图形的基本形状和大小。

2. 斜投影斜投影是指将图形沿着某个方向投影到一个平面上。

斜投影常用于描述物体在真实环境中的形状和位置，比如建筑物的立面图。

斜投影可以更真实地反映立体图形的外观，但也需要一定的透视关系的考虑。

二、立体图形的表面积计算立体图形的表面积是指该图形所有面的总面积之和。

不同的立体图形有不同的表面积计算公式，下面我们将以几个常见的立体图形为例进行说明。

1. 立方体立方体是最常见的立体图形之一，它有六个相等的面，每个面都是正方形。

立方体的表面积计算公式为：表面积 = 6 ×边长²。

2. 圆柱体圆柱体由两个平行圆面和一个侧面组成。

圆柱体的表面积计算公式为：表面积= 2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。

3. 锥体锥体由一个圆锥面和一个底面组成。

锥体的表面积计算公式为：表面积= πr² + πrl，其中r为底面半径，l为斜高。

4. 球体球体是一个完全由曲面组成的立体图形，它的表面积计算公式为：表面积 =4πr²，其中r为半径。

通过掌握这些立体图形的表面积计算公式，我们可以在实际问题中应用到，比如计算某个物体的包装纸的面积、涂料的用量等。

总结立体图形的投影和表面积计算是数学学习中的重要内容，它们不仅帮助我们更好地理解空间几何关系，还能在实际问题中应用到。

通过掌握立体图形的投影方法和表面积计算公式，我们可以更准确地描述和计算立体图形的形状和大小。

基本立体图形的表面积与体积本文将推导棱柱、棱锥、锥台、圆柱、圆锥、锥台、球体的表面积和体积，必要时使用无穷小法。

不懂微积分的读者可以忽略具体的微积分计算，只理解相应的思路。

棱柱、棱锥和截锥都是多面体，所以它们的表面积很明显。

这里只描述由它们的属性决定的每一侧的属性。

棱柱的两个底面全等，所以面积相等。

棱柱的边是平行四边形，边的高度不一定是棱柱的高度。

特别地，直角棱镜的边是矩形的，边的高度是棱镜的高度，直角棱镜的边是全等矩形。

金字塔的边高不一定是金字塔的高，正金字塔的边是等腰三角形。

棱镜的两个底面相似，所以面积比等于相似比的平方。

平截头体由棱锥和两个底面的相似比决定，侧面为梯形，侧面的高度可以由相似比和棱锥的侧面高度得到。

棱柱可以看做是由无穷多个水平放置的直棱柱沿竖直方向堆积而成的，它们的底面积是棱柱的底面积。

设棱柱的底面积为 S, 高为 h, 则棱柱的体积为V=\int_0^hS\,\mathrm dt=Sh.棱锥可以看做是由无穷多个水平放置的直棱柱沿竖直方向堆积而成的，它们的底面积与它们到最高点的距离的平方成正比。

设棱锥的底面积为 S, 高为 h, 则棱锥的体积为V=\int_0^h\frac{S}{h^2}t^2\,\mathrm dt=\frac{Sh}{3}.棱台的体积是两个棱锥的体积之差。

设棱台的上底面积为 S_1, 下底面积为 S_2, 高为 h, 棱台所在棱锥的高为 h_1, 则h_1>h, 且\frac{h_1-h}{h_1}=\sqrt\frac{S_1}{S_2},且棱台的体积是所在棱锥的体积与底面积为 S_2, 高为 h-h_1 的棱锥的体积之差，于是棱台的体积为\begin{align}&V=\frac13S_2h_1-\frac13S_1\left(h_1-h\right)=\\&\frac13\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)h .\end{align}圆柱的表面积等于两个底面积加侧面积。