第十七章展开图
§17-1概述
§17-2平面体表面的展开
§17-3柱面的展开
§17-4锥面的展开
§17-5球面的近似展开
§17-6变形接头的展开§17-1概述
图示是一种除尘设备——冲洗
除尘器。它的外壳是用金属薄板制
成圆台面、圆柱面、弯管和变形接
头后，再用铆接、焊接或咬口连接，
将它们组装起来。在制造时，首先
在金属薄板上，按尺寸绘出各个组
成形体的表面展开图，然后下料加
工。展开时,不考虑板材的厚度。在
建筑工程中，也会遇到立体表面展
开问题。例如在制作某些混凝土构
件模板时，就需要绘出构件表面的
展开图，才能按图下料，拼装成构
件模板。
把围成立体的表面，依次摊平
在一个平面上，称为立体表面的展
开。立体表面展开后所得的平面图
形称为展开图。§17-1概述
把围成立体的表面，依次摊平在一个平面上，称为立体表面的展开。立体表面展开后所得的平面图形称为展开图。§17-2 平面体表面的展开滚翻法棱柱表面的展开棱台表面的展开§17-3 柱面的展开圆柱弯管表面的展开§17-4 锥面的展开§17-4 锥面的展开§17-5 球面的近似展开
球面属于不可展面，只能用近似方法展开。常用方法有柳叶法和球带法两种。
柳叶法§17-5 球面的近似展开
球带法
以水平剖切平面将球面
切割成两个球冠和若干球带，
如图示。然后将球冠近似展
开为一圆，将各球带作为圆
锥台面近似展开。图中绘出
四分之一球面的展开图。§17-6 变形接头的展开
立体图形的纸面展开与构建
在我们的日常生活和学习中，立体图形无处不在。从简单的正方体、长方体，到复杂的圆锥、圆柱，这些立体图形构成了我们周围世界的各种物体。而理解立体图形的纸面展开与构建，不仅是数学学习中的重要部分，更是培养我们空间想象力和逻辑思维能力的关键。
首先，我们来聊聊什么是立体图形的纸面展开。简单来说，就是把一个立体图形像剥橘子皮一样，将其表面平铺在一个平面上，所得到的图形就是这个立体图形的纸面展开图。比如一个正方体，它有六个面，当我们把这六个面展开后，就会得到一个由六个正方形组成的平面图形。
那么，为什么要研究立体图形的纸面展开呢？这其实有着很多实际的应用。想象一下，在制作一个纸箱时，如果我们不知道纸箱对应的立体图形的纸面展开图，就很难准确地裁剪出所需的纸板形状，从而无法制作出合适的纸箱。同样，在建筑设计、机械制造等领域，对于立体图形的纸面展开的理解和掌握也是至关重要的。
接下来，我们具体看看常见立体图形的纸面展开图。
正方体是我们最熟悉的立体图形之一。它的纸面展开图有多种形式，但都由六个正方形组成。常见的有“1-4-1 型”，即一行排一个正方形，第二行排四个正方形，第三行再排一个正方形；还有“2-3-1 型”和“3-3 型”等。通过观察和实践，我们可以发现，相对的面在展开图中不会相邻。
长方体的纸面展开图相对来说要更复杂一些，因为它的面的大小可能不同。一般来说，长方体有六个面，分别是两个相对的长方形底面和四个侧面。展开后，可能会是一个由六个长方形组成的图形，也可能会有两个相对的面是正方形。
再来说说圆柱体。圆柱体由两个底面（圆形）和一个侧面（长方形）组成。当我们将圆柱体展开时，侧面会变成一个长方形，长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱体的高。而两个底面圆则分别在长方形的两端。
圆锥体的展开图是一个扇形和一个圆形。扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径就是圆锥的母线。
了解了常见立体图形的纸面展开图，那如何将一个纸面展开图还原构建成立体图形呢？这就需要我们仔细观察展开图的形状和特征，找到各个面之间的关系。
1 4.3 立体图形的表面展开图
1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图
将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体,如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？
(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形（作侧面)．
(2)圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面)．
(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)．
【例1】 如图，将图中的阴影部分剪下来,围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( ）．
解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形,所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除;故选D.
答案：D
2。正方体的表面展开图
(1）正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数,归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日"型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．
(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧:相间的两个小正方形（中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面,如图1中的A面和B面;‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面,如图2、图3的A面和B面．
此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”．
解技巧 正方体的表面展开图的判断思路 （1）是否满足四种阵型中的一种；（2）行与行之间有且只有一个“日”型结构．
【例2】 一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是( )．
A．家 B．乡 C．孝 D．感
解析：本题以热爱家乡为素材,考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我"或“家”，折叠起来后“孝”、“感"与“爱”相邻，所以“爱"的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧--“相间、‘Z’端是对面"来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面易知“爱”与“乡"相对．
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常见几何体的表面展开图
作者：王长颖
来源：《初中生世界·七年级》2018年第12期
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研究立体图形的时候，我们可以通过研究平面图形（如三视图）的性质来研究几何体的性质.几何体转化为平面图形还有一种方法，那就是将几何体的表面展开，得到平面图形.我们可以通过研究立体圖形的表面展开图来研究立体图形的性质，但并不是所有几何体的表面都可以展开成平面，如球的表面就不能展开成平面.这里我们列举几种常见立体图形的表面展开图供同学们学习.
一、常见几何体的展开图
1.圆柱的表面展开图.
圆柱的表面展开图由两个大小完全一样的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，如图1.
友情提醒：圆柱展开图得到的两个圆的周长和长方形的一边长相等，长方形的另一边的长等于原来圆柱的高.
2.圆台的表面展开图.
圆台的表面展开图由大小不同的两个圆（底面）和扇形的一部分（侧面）组成，如图2.
友情提醒：展开后的两个圆的周长分别等于两段弧的长度. 龙源期刊网
3.圆锥的表面展开图.
圆锥的表面展开图由一个圆（底面）和一个扇形（侧面）组成，如图3.
4.棱锥的表面展开图.
棱锥的表面展开图由一个多边形（底面）和几个三角形（侧面）组成.三棱锥的表面展开图如图4，四棱锥的表面展开图如图5.
5.棱柱的表面展开图.
直棱柱的表面展开图由两个完全相同的多边形（底面）和几个长方形（侧面）组成.
直三棱柱的表面展开图由两个大小一样的三角形和三个长方形组成，如图6.
直四棱柱的表面展开图由两个完全一样的四边形和四个长方形组成，如图7.
二、几何体展开图
1.正三棱锥的两种展开图之间的关系.
