椭圆[高考数学总复习][高中数学课时训]

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希望大家高考顺利 椭圆

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .

答案 23

2.若椭圆myx222=1的离心率为21，则实数m= .

答案 23或38

3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆32x+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 .

答案 43

4.已知方程12mx+my22=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .

答案 (-∞,-1)∪23,1

5.(2008²天津文)设椭圆22mx+22ny=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 .

答案 121622yx=1

例1 一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O2：(x-3）2+y2=81基础自测 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

解 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；

O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，

则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.

∴|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，

且a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16，

故动圆圆心的轨迹方程为162522yx=1. 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 例2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（6，1）、P2（-3，-2），求椭圆的方程.

解 （1）若焦点在x轴上，设方程为2222byax=1 (a＞b＞0).

∵椭圆过P（3，0），∴222203ba=1.

又2a=3³2b,∴a=3,b=1,方程为1922yx.

若焦点在y轴上，设方程为2222bxay=1(a＞b＞0).

∵椭圆过点P（3，0），∴222230ba=1

又2a=3³2b,∴a=9,b=3.∴方程为98122xy=1.

∴所求椭圆的方程为1922yx或98122xy=1.

（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0且m≠n).

∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，

则 ,123,16nmnm ②两式联立，解得.31,91nm

∴所求椭圆方程为13922yx. ①

② 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；

（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利

（1）解 设椭圆方程为2222byax=1 （a＞b＞0）,

|PF1|=m,|PF2|=n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，

4c2=m2+n2-2mncos60°.

∵m+n=2a，

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，

∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.

又mn≤22nm=a2（当且仅当m=n时取等号）,

∴4a2-4c2≤3a2，∴22ac≥41，即e≥21.

∴e的取值范围是1,21.

（2）证明 由（1）知mn=34b2,

∴21FPFS=21mnsin60°=33b2,

即△PF1F2的面积只与短轴长有关.

例4 （16分）如图所示，已知A、B、C是椭圆E：2222byax=1（a＞b＞0)上的三点，其中点

A的坐标为（23，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.

（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；

（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明. 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

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希望大家高考顺利 解 （1）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,

∴|OC|=|AC|.又A（23，0），∠ACB=90°,

∴C（3，3）,

3分

∵a=23，将a=23及C点坐标代入椭圆方程得

23123b=1,∴b2=4,

∴椭圆E的方程为:41222yx=1.

7分

（2）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=3对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，

∴直线PC的方程为y-3=k(x-3),

即y=k(x-3)+3. ①

直线CQ的方程为y=-k(x-3)+3,

② 10分

将①代入41222yx=1,

得(1+3k2)x2+63k(1-k)x+9k2-18k-3=0,

③

∵C(3,3)在椭圆上，∴x=3是方程③的一个根.

∴xP²3=22313189kkk，∴xP=)31(3318922kkk，

同理可得,xQ=)31(3318922kkk, 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 ∴kPQ=PQPQPQPQxxkxxkxxyy32)(=31.

14分

∵C（3，3），∴B（-3，-3），

又A（23，0），∴kAB=333=31，

15分

∴kAB=kPQ，∴向量PQ与向量AB共线.

16分

1.已知椭圆121622yx=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于 .

答案 6

2.根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为534和532，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

（2）经过两点A（0，2）和B3,21.

解 （1）设椭圆的标准方程是2222byax=1或2222bxay=1，

则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=25，∴a=5.

在方程2222byax=1中令x=±c得|y|=ab2

在方程2222bxay=1中令y=±c得|x|=ab2 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 依题意并结合图形知ab2=532.

∴b2=310.

即椭圆的标准方程为103522yx=1或103522xy=1.

（2）设经过两点A（0，2），B3,21的椭圆标准方程为

mx2+ny2=1，代入A、B得

134114nmn411nm，

∴所求椭圆方程为1422yx.

3.（2008²江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆12222byax(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点0,2ca 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .

答案 22 高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载

希望大家高考顺利 4.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆22x+y2=1有两个不同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

解 （1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+2,

代入椭圆方程得22x+(kx+2)2=1.

整理得2221xk+22kx+1=0 ①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

Δ=8k2-4221k=4k2-2＞0,

解得k＜-22或k＞22.

即k的取值范围为(-∞,- 22)∪(22,+∞).

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），

由方程①得x1+x2=-22124kk ②

又y1+y2=k(x1+x2)+22 ③

而A（2，0），B（0，1），AB=（-2，1）.

所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-2(y1+y2)，

将②③代入上式，解得k=22.

由（1）知k＜-22或k＞22,故没有符合题意的常数k.

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一、填空题

1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是 .

答案 71622yx=1或16722yx=1

2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 .

答案 191222yx或191222xy

3.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，52），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为21，则这个椭圆的方程为 .

答案 1752522yx

4.椭圆131222yx的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 倍.

答案 7

5.已知椭圆125222yax(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 .

答案 441

6.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 .