一轮复习：两条直线的位置关系

1 授课主题 两条直线的位置关系

教学目标 1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3．掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

4．能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决．

教学内容

1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系

2．三种距离

3．常用的直线系方程

2 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

题型一 两直线的平行与垂直

例1、已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )

A．－1 B．2

C．0或－2 D．－1或2

方法点拨：分类讨论法．

答案 D

解析 若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；

当a≠0时，两直线平行，则有a－11＝2a≠13，解得a＝－1或2.故选D.

例2、已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

方法点拨：分类讨论法．

答案 1或0

解析 l1的斜率k1＝3a－01－－2＝a.

当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－－1a－0＝1－2aa.

因为l1⊥l2，

所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.

当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1或0.

方法技巧

研究两直线平行与垂直关系的解题策略

1．已知两直线的斜率存在．

(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；

(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到

3 斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

【冲关针对训练】

1．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为( )

A．1 B．2

C．22 D．23

答案 B

解析 由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋1b.由基本不等式得b＋1b≥2 b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.

2．(2017·西安模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．

答案 25

解析 由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b＝13＋6ab＋6ba≥13＋26ab·6ba＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.

题型二 两条直线相交及距离问题

例3、(2018·福建厦门联考)“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

方法点拨：直接求满足条件的C的取值再判定．

答案 B

解析 点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C|32＋42＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.

例4、已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．

方法点拨：画出直线y＝－12x＋2，分析直线系y＝kx＋2k＋1动态思考．

答案 －16，12

解析

如图，已知直线y＝－12x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0,2)．

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．

4 ∵两直线的交点在第一象限，

∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，

∴动直线的斜率k需满足kPA

∵kPA＝－16，kPB＝12.

∴（－16，12）.

方法技巧

求过两直线交点的直线方程的方法

1．直接法

(1)先求出两直线的交点坐标．

(2)结合题设中的其他条件，写出直线方程．

(3)将直线方程化为一般式．

2．直线系法

(1)设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.

(2)利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．

(3)验证A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意．

(4)得出结论．

【冲关针对训练】(2017·钦州期末)直线l过P(1,2)，且A(2,3)，B(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是( )

A．4x＋y－6＝0

B．x＋4y－6＝0

C．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0

D．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0

答案 C

解析 设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，

①AB的斜率为3＋52－4＝－4，当直线l∥AB时，l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.

②当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为2＋11－3＝－32，

l的方程是y－2＝－32(x－1)，即3x＋2y－7＝0.

故所求直线的方程为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.

故选C.

题型三 对称问题

例5、(2017·沧州模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

方法点拨：此类问题用方程组法．

5 答案 －3313，413

解析 设A′(x，y)，由已知条件得 y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得 x＝－3313，y＝413.

∴A′－3313，413.

[结论探究1] 本例中条件不变，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

解 ∵l∥l′，

∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．

∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，

∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9，

∴l′的方程为2x－3y－9＝0.

[结论探究2] 本例中条件不变，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

解 在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设对称点M′(a，b)，则

 2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，3013.

设直线m与直线l的交点为N，则

由 2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．

又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

方法技巧

1．中心对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于点的对称

若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x＝2a－x1，y＝2b－y1，进而求解．

(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：

①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．

②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2．轴对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称 6 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：

Ax＋By＋C＝0对称，由方程组

 Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y2－y1x2－x1·－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．

(2)直线关于直线的对称

一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．

【冲关针对训练】(2017·石家庄期末)设定点A(3,1)，B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是( )

A.5 B．25

C．35 D.10

答案 B

解析 作出点A(3,1)关于y＝x的对称点A′(1,3)，

关于x轴的对称点A″(3，－1)，

连接A′A″，交直线y＝x于点C，交x轴于点B，

则AC＝A′C，AB＝A″B，

∴△ABC周长的最小值为|A′A″|＝1－32＋3＋12＝25.故选B.

1.(2018·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos2019π2－2α的值为( )

A.45 B．－45

C．2 D．－12

答案 B

解析 由题意知tanα＝2，又α∈[0，π)，∴sinα＝255，cosα＝55，则cos2019π2－2α＝cos3π2－2α＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－45，故选B.

2．(2017·天山期末)直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，则过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程是( )

A．2x＋3y－2＝0 B．3x＋2y－2＝0

C．3x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y＋2＝0

答案 A

解析 ∵直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，

∴把P(2,3)代入两直线得2a1＋3b1＝2和2a2＋3b2＝2，