高考数学一轮复习 两直线位置关系教学案

第二节两条直线的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【核心素养】数学运算、直观想象、逻辑推理.【命题说明】考向考法两条直线的位置关系在高考中一般不单独成题,点到直线的距离公式时常与圆相结合出现在选择题或填空题中.预测预计2025年高考两直线平行、垂直仍会出现.一般在选择题、填空题中出现,也可能在解答题中交汇出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.两条直线的位置关系(1)位置关系项目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0(2)交点坐标若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0( 12+ 12≠0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0( 22+ 22≠0)相交,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组 1 + 1 + 1=0,2 + 2 + 2=0的解.2.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件:点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).②结论:|P 1P 2|=( - ) +( - ) .③特例:点P (x ,y )到原点O (0,0)的距离|OP |= 2+ 2.(2)点到直线的距离点P (x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0间的距离d 微点拨点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x ,y 的系数对应相等.常用结论1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(12+ 12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0( 22+ 22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0) y=-x(-y0,-x0) x+y+t=0(-t-y0,-t-x0) x-y+t=0(y0-t,x0+t)基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,34,51.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等,则两直线平行.(×)提示:(1)两直线有可能重合,故(1)错误.(2)若l1∥l2,则k1=k2.(×)提示:(2)可能出现两直线斜率不存在情况,故(2)错误.(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.(√)提示:(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,则该直线垂直于x轴,另一条直线的斜率存在,则该直线不与x轴垂直,所以两直线相交,故(3)正确.(4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合.(√)提示:(4)两直线斜率都不存在,可能重合,可能平行,故(4)正确.2.(选择性必修一人AP57例5变形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形【解析】选D.直线AB的斜率k AB=1-(-1)1-5=-12,直线BC的斜率k BC=3-12-1=2,由k AB·k BC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形.3.(选择性必修一人AP57练习T2变条件)若直线3x-2y-1=0与3x-ay+6=0平行,则a=()A.-2B.-1C.12D.2【解析】选D.由题意32=3 ,则a=2.经检验两条直线不重合.4.(忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直线AB与CD平行,则m的值为()A.-1B.0C.1D.2【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时,m=2m,m+1=1,故得m=0,此时AB ∥CD;当k AB=k CD,即m≠0时, +1 =3 ,解得m=2,此时AB∥CD.5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为()A.8B.4C.85D.32【解析】选D.因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d =32.【核心考点·分类突破】考点一两条直线的平行与垂直[例1](一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;【解析】(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=- 2x-3,l2:y=11- x-(a+1),l1∥解得a=-1,综上可知,当a=-1时,l1∥l2.l2⇔- 2=11- ,-3≠-( +1),方法二:显然a≠0,l1∥l2,则1 = -12≠ 2-16⇔ ( -1)-1×2=0,( 2-1)-1×6≠0⇒ 2- -2=0,( 2-1)≠6,可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.(2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;当a≠1且a≠0时,l1:y=- 2x-3, l2:y=11- x-(a+1),由(- 2)·11- =-1,得a=23.方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23.解题技法1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.2.由一般式确定两直线位置关系的方法A提醒:在判断两直线的位置关系时,比例式 1 2与 1 2, 1 2的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.对点训练1.(2024·合肥模拟)直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,则a=()A.0B.1C.-1D.1或-1【解析】选B.因为直线l1:x+ay-1=0与直线l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.当a=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·贵阳模拟)已知直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则m的值为()A.12B.13C.2D.3【解析】选A.因为直线l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,则2m-1=0,解得m=12.【加练备选】若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为________.【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22 ,ab≤12,当且仅当a=1,b=12时,等号成立,故ab的最大值为12.答案:12考点二距离问题[例2](1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是() A.4 B.1020 C.104 D.71020【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,|12+3=71020.(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为____________________.【解析】当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.解得k=-34,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时,直线x=-1满足题意.综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.答案:3x+4y-5=0或x=-1一题多变[变式1]将例(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.【解析】由题意得63= 1≠-1-3,解得m=2,将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),解得t=-72,因此所求直线的方程为6x+2y-72=0.[变式2]将例(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离=104.可知( 1- 2)2+( 1- 2)2的最小值为58.解题技法距离问题的求解策略(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解,注意直线方程应为一般式.(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.②利用两平行线间的距离公式求解,利用公式前需把两平行线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.对点训练1.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,则实数a的值为()A.-1B.85C.-1或85D.1或-85【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5,可得=( -3)2+(3-3 -3)2=( -3)2+(-3 )2=5,整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=85.2.(2024·北京模拟)设d为动点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离,则d的最大值为()A.2-1B.322C.1+2D.3|2cos( +π4)【解析】选C.点P(cosθ,sinθ)到直线x-y-2=0的距离d因为-1≤cos(θ+π4)≤1,则-2-2≤2cos(θ+π4)-2≤2-2,所以当cos(θ+π4)=-1时,d max=1+2.3.(2024·青岛模拟)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为()A.32B.2C.2D.4【解析】选A.由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为x+y+c=0,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,=32.【加练备选】(2024·遂宁模拟)抛物线y=x2上的点P到直线x-y-2=0距离的最小值为() A.328 B.528 C.728 D.2【解析】选C.设抛物线y=x2上一点为P(x0,02),点P(x0, 02)到直线x-y-2=0的距离d| - -2|( 0-12)2+所以当x0=12,即P(12,14)时,到直线x-y-2=0的距离最短,为728.考点三对称问题考情提示对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题,其中掌握中心对称及轴对称满足的几何条件是解决此类问题的关键.角度1中心对称问题[例3]直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是__________.【解析】设所求直线上任一点(x,y),则关于M(-2,1)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上,所以所求直线方程为(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+11=0.答案:x-2y+11=0解题技法中心对称问题的解法(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则 '=2 - ,'=2 - .(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.角度2轴对称问题[例4](1)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为______________.(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是__________________.【解析】(1)设点A'的坐标为(x,y).=13, -42+ +42-2=0,解得 =2, =6,所以点A'的坐标为(2,6).(2)设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),- + 02+2=0,=-( - 0),得 0= -2,0= +2.因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.答案:(1)(2,6)(2)x-2y+3=0解题技法轴对称问题的解法(1)若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为A'(m,n),则有=-1,· + 2+ =0.(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.对点训练1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是()A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0【解析】选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.2.(多选题)(2024·徐州模拟)光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为()A.(14,98)B.(9,-15)C.(-3,15)D.(13,2)【解析】选BC.由题意知,k=tan45°=1,设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n),=-1= +42+1,解得 =1 =5,所以反射光线所在的直线方程为y=0-53-1(x-3)=-52(x-3),所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15.。

过点(1, ),和 A,B 等距离的直线与 AB 平行,或过 AB 的中点 M,


所以所求直线的方程为 y- = (x-1)或 x=1,即 21x-28y-13=0 或 x=1.

考点三
对称问题
角度一
轴对称
[例3] 已知点A(0,2),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0.点A关于
则a=
2
,b=
-2
.
解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可
得a=2,b=-2.
5.两条平行线4x+3y-1=0与8x+6y+3=0之间的距离是


.
解 析 : 直 线 4x+3y-1=0 可 化 为 8x+6y-2=0, 直 线 8x+6y-2=0 与 直 线

B.
√
C.


D.



解析:由题意3(a-1)+1×(-a)=0,解得 a= .故选B.
3.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为
解析:由点到直线的距离公式得
|+-|
+



,则a=

±
=,解得 a=± .
.
4.若直线l 1 :x+ay-4=0与直线l 2 :bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),
斜率等于零.
(3)直线的一般式中有关结论记忆时要利用直线Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A),并结合

广东饶平二中2011高考第一轮学案：两直线的位置关系一、知识归纳：1．两直线的几种位置关系：2（1）设点),(00y x P ，直线0:=++C By Ax l ，则P 到直线l 的距离为_________________ （2）两平行直线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 之间的距离：_________________ 3．几种常用的直线系方程：（1）过点),(00y x P 的直线系方程：________________________________________ （2）与直线b kx y +=平行的直线系方程：_____________________________________. （3）与0=++C By Ax 平行的直线系方程：________________________________________（4）与0=++C By Ax 垂直的直线系方程：______________________________________ （5）过两直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 交点的直线方程： ______________________________________________________ 4．对称问题：（1）点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称的点),(''y x Q 满足方程组： （2）直线0:=++C By Ax l 关于点),(00y x P 的对称直线的方程：（3）直线关于直线的对称直线的方程： 二、学习要点：1．熟练掌握两直线平行、垂直的条件和点到直线的距离公式；由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．2．掌握对称问题的基本类型的解法；解决轴对称问题关键要抓住两点：一是两对称点连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上。

第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(对应学生用书第111页)[基础知识填充]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解．若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合． 3．距离|P 1P 2|＝－＋－[1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx0＋b|1＋k2.( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2B ．2－ 2C ．2－1D ．2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．(2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0， 解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________. 【导学号：79170269】2 [由a a －3＝－2，得a ＝2.]5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2 [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.](对应学生用书第112页)(1)设aR ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2018·潍坊模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0(1)A (2)A [(1)当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2. 所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． (2)直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，从而所求直线的斜率为－2. 又直线过点(－1,3)，所以所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.][规律方法] 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便． [变式训练1]已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0D ．8A [∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.](1)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为 y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.](2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x0－y0－2＝0，6－x0－y0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝113，y0＝163，6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8，10分直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.12分[规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等． [变式训练2] (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________. 【导学号：79170270】 (2)(2018·石家庄模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)823[法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行) ∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二：如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)． 而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB ． ∵k PA ＝－16，k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12.(2)由a (a －2)＝3得a ＝3或a ＝－1，经检验a ＝3时两直线重合，因此a ＝－1，此时l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为x －y ＋23＝0，两条直线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.](1)平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线l 方程是________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0 [(1)法一：在直线l 上任取一点P ′(x ，y )，其关于点(1,1)的对称点P (2－x,2－y )必在直线y ＝2x ＋1上，∴2－y ＝2(2－x )＋1，即2x －y －3＝0.因此，直线l 的方程为y ＝2x －3.法二：由题意，l 与直线y ＝2x ＋1平行，设l 的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c|22＋1＝|2－1＋1|22＋1，解得c ＝－3.因此所求直线l 的方程为y ＝2x －3.法三：在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点M (2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点N (1，－1)．由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1，即y ＝2x －3.(2)作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C ． 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.] [母题探究1]在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？[解] 设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )， 2分 则AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，4分所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，10分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.12分[母题探究2]在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？ [解] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)， 6分 根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.12分[规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上． [变式训练3] (1)(2017·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0(2)直线l 1：3x －y ＋1＝0与直线l 2：3x －y ＋7＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．【导学号：79170271】(1)B (2)3x －y ＋4＝0 [(1)由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1,1)．在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1,0)， 设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.故所求直线的方程为y －13－1＝x －12－1，即2x －y －1＝0.(2)由题意知l 1∥l 2，设直线l 的方程为3x －y ＋m ＝0， 则|m －1|10＝|m －7|10，即|m －1|＝|m －7|解得m ＝4，故直线l 的方程为3x －y ＋4＝0]。