复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex4-3

第2章数列极限§1 实数系的连续性1．（1）证明不是有理数；（2）是不是有理数？证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有，所以min B不存在．max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．3．A，B是两个有界集，证明：（1）A∪B是有界集；（2）也是有界集．证明：（1）设，有，有，则，有．（2）设，有，有，则，有．4．设数集S有上界，则数集有下界．且．证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．5．证明有界数集的上、下确界惟一．证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．7．证明非空有下界的数集必有下确界．证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．8．设并且，证明：（1）S没有最大数与最小数；（2）S在Q内没有上确界与下确界．证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这说明，与矛盾；（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．同理可证S没有下确界．§2 数列极限1．按定义证明下列数列是无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．证明：（1），取，当n>N时，成立．（2），取，当时，成立．（3），取，当时，成立；取，当时，成立，则当时，成立．（4），取，当n>N时，成立．（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．（7），取，当n>N时，成立（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．2．按定义证明下述极限：证明：（1），取，当时，成立（2），取，当时，成立（3），取，当n>N时，成立（4）令，则．当n>3时，有所以，取，当时，成立．（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．证明：设，则，成立，于是也成立，所以；设，则，成立，取，则，成立，所以．5．设，证明：．证明：由可知，成立，成立．于是，成立．6．设．且，证明：．证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。

数学分析第三章习题答案数学分析是数学的重要分支之一，它研究的是数学中的极限、连续、微分和积分等概念及其应用。

第三章是数学分析课程中的重要章节，主要讲述了函数的极限和连续性。

本文将为读者提供数学分析第三章习题的详细解答，帮助读者更好地理解和掌握这一章节的知识。

1. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 2处的极限。

解答：要求f(x)在x = 2处的极限，即求lim(x→2)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近2时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(2) = 2^2 - 3×2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0。

因此，f(x)在x = 2处的极限为0。

2. 设函数f(x) = sin(x)，求f(x)在x = π/2处的极限。

解答：要求f(x)在x = π/2处的极限，即求lim(x→π/2)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近π/2时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(π/2) = sin(π/2) = 1。

因此，f(x)在x = π/2处的极限为1。

3. 设函数f(x) = 1/x，求f(x)在x = 0处的极限。

解答：要求f(x)在x = 0处的极限，即求lim(x→0)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近0时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(0) = 1/0，由于分母为0，这个表达式是无意义的。

因此，f(x)在x = 0处的极限不存在。

4. 设函数f(x) = x^3，求f(x)在x = -1处的极限。

解答：要求f(x)在x = -1处的极限，即求lim(x→-1)f(x)的值。

根据极限的定义，我们需要计算当x无限接近-1时，f(x)的取值。

将x代入f(x)的表达式中，得到f(-1) = (-1)^3 = -1。

因此，f(x)在x = -1处的极限为-1。

复旦大学数学分析答案【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】s=txt>一．填空题xln(1?x)=_____x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程x（1）lim（3）设?是锥面(0?z?1)的下侧，则???xdyd?z2ydz?d3x(?1z)d?xdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21??,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____??12?(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在x，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若?x?0，则（）（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a）（c）??d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）1nxf(x,y)dy（b）0f(x,y)dy f(x,y)dx0yf(x,y)dx（d）0（3）若级数?an?1??收敛，则级数（）（a）?an?1?n收敛（b）?(?1)a收敛nnn?1??（c）?anan?1收敛（d）?n?1an?an?1收敛 2n?1（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到?110???第2列上得c，记p??010?，则（）?001???（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）p(a?b)?p(b)2（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布n(?2,?2)，且2tt?1?1p{x??1?1}?py??2?1}，则（）（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2三、简答题（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?1?xy22??1?x?yd（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）证明limxn存在，并求之x??1（ii）?xn?1?xn2计算lim?? x???xn?（3）设函数f(u)在（0，?）内具有二阶导数，且z?f满足等式?2?0 2?x?y（i）f(u)?0 验证f(u)?u（ii）若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意2的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有?lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0（5）已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解?ax?x?3x?bx?134?12（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?at?1?2,?1?x?0??1（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二维随机变?4?0,其他??量(x,y)的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f???1???,0?x?1?(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数（0???1），?0,其他?x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本，记n为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计【篇二：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。

1 x
7
+
1
3
x
2
案 网
+
1 6 2 3 x +C。 + x )dx = 2 x − 6 +3 3 x + 2 x + 3 x x
169
x （9） ∫ ⎛ ⎜2 +
⎝
1 ⎞ 2 1 ⎛ dx = ∫ ⎜ 4 x + 2 ⋅ ( ) x + x x ⎟ 3 3 ⎠ 9 ⎝
2
⎞ ⎟dx ⎠
=
1 x 2 2 1 1 4 + ( )x − +C。 ln 4 ln 2 − ln 3 3 ln 9 9 x
题
6.2
换元积分法和分部积分法
⒈
求下列不定积分： ; ⑴ ∫ 4x − 3 ⑶ ∫ x −x ; e −e ⑸ ∫ ( 2 x + 3x )2 dx ; ⑺ ∫ sin 5 xdx ; ⑼ ∫ sin 5x cos 3xdx ; ⑾ ∫ ( x 2 + 4 x + 5) 2 ;
x 2 dx ; ⒀ ∫4 1 − 2x 3
aw .c om
3
11
4 7
7
4 15 x4 +C。 15
就是所求曲线方程的所有可能形式。 （2）将点 (11 , ) 代入上述方程，可得 C = ，所以过点 (11 , ) 的曲线方 程为 y = x 3 − x + 。
3 4
4
5 4
5 4
课
后 答
案 网
w.c om
习
y=∫ dy 1 = ，于是 dx x
dx = ln x + C ，将点 (e,−1) 代入，得 C = −2 ，所以曲线的方程为 x