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陈纪修数学分析III第35讲

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《数学分析》讲稿

《数学分析》讲稿
二． 微积分的发现与发展历程
1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前 4 世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论
1
述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。
3．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，微分和积分这两个运算，是彼此互逆的两 个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来的。 1669 年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。1687 年，牛顿发表了他的著作《自然哲学的数学原理》， 在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造—微积分，并应用微 积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万有引力定律。牛顿 还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学科，充分显示了微
2
物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书 中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确 公式。Leabharlann 基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。
1615 年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆 周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于 是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多 面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底， 于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方 法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书 中包含了 87 种不同的旋转体的体积计算。

数学分析中的否命题

数学分析中的否命题
(1) ( 2) 记 {nk } = nk ， {mk } = nk ，则得到｛ x n ｝的两个子列{ x n (1) }与{ x n ( 2 ) }，
k k
{ }
k
{ }
其中｛ x n (1) ｝是无穷大量， ｛ x n ( 2 ) ｝是收敛子列。
k
2．函数的一致连续性 函数的一致连续是数学分析课程中的一个重要概念，也是教学中的一个难 点。当要求学生判断函数在某一个区间上是否一致连续，或者要求学生证明函数 在某一个区间上非一致连续时，学生往往感到束手无策。下面我们证明了函数在 某一个区间上一致连续的一个充分必要条件， 它对判断函数在某一个区间上是否
例4 证
证明 f ( x) = x 2 在 [ 0, +∞ ) 上不一致连续。 ′= 取 xn ′′ = n （ n = 1,2,3," ） n + 1 ， xn ，于是
n →∞
lim ( x n ′ - xn ′′ ) = lim ( n + 1 - n ) = 0 ，
n →∞
′ ) − f ( xn ′′) ) = 1 ，由定理 1 可知 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上不一致连续。 但是 lim ( f ( xn
+
xn ∈ D ，由于它的子列 xnk 使得
{ }
Snk ( xnk ) − S ( xnk ) ≥ ε 0 ，
显然不可能成立
lim ( S n ( xn ) − S ( xn ) ) = 0 。
n →∞
定理 2 常用于判断函数序列的不一致收敛。 例 5 设 Sn ( x) = nx (1 − x 2 ) n ，证明 {Sn ( x)} 在 [0,1] 上不一致收敛。 证 函数序列 {Sn ( x)} 在 [0,1] 上点态收敛于 S ( x) = 0 。取 xn =

陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(函数极限与连续函数)

陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(函数极限与连续函数)

相应的函数值数列
丌收敛．
设
都收敛亍同一个极限 A，现用反证法证明
设
丌成立，则
成立
取
对亍
成立
对亍
成立
……，
对亍
成立
……，
亍是得到数列 为正无穷大量，但相应的函数值数列
矛盾，所以
丌收敛亍 A，由此产生
14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加以证明：
解：（1）极限
存在而且有限的充分必要条件是：对亍仸意给定的 存在
所以
在其定义域连续．
2．确定下列函数的连续范围：
证明：（1）函数
的定义域是
时，成立
设
对仸意的 取
当
所以函数
在其定义域连续．
（2）函数
的定义域是
当
时，成立
设
对仸意的 取
所以函数
在其定义域连续．
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（3）函数
的定义域是
由亍
可知函数在
连续．
设
对仸意的 取
当
时，成立

……
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对亍
成立
……
亍是得到数列
收敛亍 但相应的函数值数列
丌可能是无穷大量，
由此产生矛盾，所以
成立．
12．证明
的充分必要条件是：对亍仸意正无穷大量 成立
证 明 ：（ 1 ） 必 要 性 ： 由
可知
因为数列 是正无穷大量，对亍上述
当 时，成立（5）当Biblioteka 的极限是 A；（6）当
是负无穷大量．

陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】

陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第3章 函数极限与连续函数【圣才出品】

的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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台
存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论

陈纪修数学分析第三版pdf

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陈纪修数学分析第三版pdf陈纪修数学分析第三版pdf是一本非常经典的数学分析教材，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

此书详细介绍了一系列基础数学分析知识和该领域的拓展研究，涵盖了大量的内容。

本文将从几个方面介绍该书，以帮助那些对该领域感兴趣的学生和专业人士更好地了解和掌握相关知识。

第一步：对数学分析的基础知识进行了介绍《陈纪修数学分析第三版pdf》详细介绍了数学分析的基础知识，如函数、极限、连续性、微积分基本定理等内容。

这些知识是数学分析的基础，理解这些知识对于掌握更高级别的分析学科至关重要。

陈纪修教授系统地解析了这些基础知识，使用了简洁易懂的语言和大量的示例，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。

第二步：介绍微积分的理论与实践陈纪修教授在《数学分析》中详细介绍了微积分的理论与实践。

他将微积分的理论与工程应用结合起来，系统地阐述了微积分的概念和基本原理。

同时，该书也涵盖了大量的真实应用案例，如微积分在物理、经济等领域的应用，帮助读者更好地理解微积分的应用。

陈纪修教授将微积分的理论与实践结合起来，为读者展示了微积分的应用前景，促进了微积分理论与应用的交叉研究。

第三步：涵盖了大量的训练题，帮助读者巩固知识点除了详细地介绍数学分析的基础知识和微积分理论与实践外，该书还提供了大量的练习题，帮助读者巩固并扩展自己的知识点。

这些题目涵盖了该书的所有章节，包括证明题和计算题，旨在帮助读者提高解题和分析问题的能力。

读者可以通过练习这些问题来加强自学、自评和自我学习。

总体而言，《陈纪修数学分析第三版pdf》是一本清晰而详细的数学分析教材。

该书不仅涵盖了基础知识和先进理论，还提供了大量的练习题，帮助读者巩固自己的知识点。

如果你希望深入了解数学分析的知识，这本书将是一个非常好的开始。

数学分析【陈纪修(第二版)】上下册

数学分析【陈纪修(第二版)】上下册

１Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的距离与极限 开集与闭集 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 紧集 习题 ２ 多元连续函数 多元函数 多元函数的极限 累次极限 多元函数的连续性 向量值函数 习题 ３ 连续函数的性质 紧集上的连续映射 连通集与连通集上的连续映射 习题 第十二章多元函数的微分学 １ 偏导数与全微分 偏导数 方向导数 全微分 梯度 高阶偏导数 高阶微分 向量值函数的导数 习题 ２ 多元复合函数的求导法则 链式规则 一阶全微分的形式不变性 习题 ３中值定理和Ｔａｙｌｏｒ公式 中值定理 Ｔａｖｌｏｒ公式 习题 ４ 隐函数 单个方程的情形 多个方程的情形 逆映射定理 习题 ５ 偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面与法线 习题 ６ 无条件极值 无条件极值 函数的最值 最小二乘法 “牧童”经济模型 习题 计算实习题
前言 目录 第九章 数项级数 １ 数项级数的收敛性 数项级数 级数的基本性质 习题 ２ 上极限与下极限 数列的上极限和下极限 上极限和下极限的运算 习题 ３ 正项级数 正项级数 比较判别法 Ｃａｕｃｈｙ判别法与ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 Ｒａａｂｅ判别法 积分判别法 习题 ４ 任意项级数 任意项级数 Ｌｅｉｂｎｉｚ级数 Ａｂｅｌ判别法与Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法 级数的绝对收敛与条件收敛 加法交换律 级数的乘法 习题 ５ 无穷乘积 无穷乘积的定义 无穷乘积与无穷级数 习题 第十章函数项级数 １函数项级数的一致收敛性点态收敛 函数项级数（或函数序列）的基本问题 函数项级数（或函数序列）的一致收敛性 习题 ２ 一致收敛级数的判别与性质 一致收敛的判别 一致收敛级数的性质 处处不可导的连续函数之例 习题 ３ 幂级数 幂级数的收敛半径 幂级数的性质 习题 ４ 函数的幂级数展开 Ｔａｙｌｏｒ级数与余项公式 初等函数的Ｔａｙｌｏｒ展开 习题 ５ 用多项式逼近连续函数 习题 第十一章 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的极限和连续

数学分析陈纪修答案

数学分析陈纪修答案LtD数学分析陈纪修答案【篇一：陈纪修教授?数学分析?九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心? 昆明学院? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。

陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理?数学分析?中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。

我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与开展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

〞那么，如果你要学好并用好?数学分析?，那么，掌故微积分思想产生与开展的历史是非常必要的。

陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授?数学分析?，也讲授?数学史?，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。

讲?数学史?也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。

如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理〞求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的〔以疑激趣、以奇激趣〕，而且有利于提高学生的民族自豪感〔陈教授也提到了这一点〕。

第二讲、实数系的根本定理在这一讲中，陈教授从?实变函数?中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。

首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界〞。

光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’〞。

当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。

假设陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，那么不胜感谢。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。

关键在于“求同存异〞，找一个可数集来“填补〞他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性〞，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷〞。

数学分析(第三册)目录

数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一：关于自然数集合N1.8 补充教材二：基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二：实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材：半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一：关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二：一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学，力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二：Stieltje8积分6.12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四：上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材：Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二：经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一：局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二：广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一：Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二：Hodge星算子16.9 补充教材三：Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。

陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)课后习题(第1~4章)【圣才出品】

图 1-2 解：取重力加速度 g＝980cm／s2．
13．试求定义在[0，1]上的函数，它是[0，1]与[0，1]之间的一一对应，但在[0，1]的 任一子区间上都不是单调函数．
解：
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第 2 章 数列极限
§1 实数系的连续性
（2）
；
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（3）{a，b}∈{a，b，c}；
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集．
（2）a 是集合{a，b，c}的元素，应表述为 a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
．
（4）{a，b，{a，b}}是由 a，b 和{a，b}为元素构成的集合，故
＝（1，－1），C＝（3，2），D＝（4，0）．
解：
11．设 f（x）表示图 1-1 中阴影部分面积，写出函数 y＝f（x），x∈[0，2]的表达式．
解：
图 1-1
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12．一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，密度分别为 13.6g／cm3，1g／cm3，0.8g ／cm3，如图 1-2，上层煤油液体高度为 5cm，中层水液体高度为 4cm，下层汞液体高度 为 2cm，试求压强 P 与液体深度 x 之间的函数关系．
，但 B≠C． ，但 B≠C．
7．下述命题是否正确？不正确的话，请改正．
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（1）
并且 x∈B；
（2）

陈纪修反常重积分化为累次积分的证明

陈纪修反常重积分化为累次积分的证明1. 介绍陈纪修反常重积分在数学分析领域具有重要的理论价值和应用价值。

其将重积分化为累次积分的证明方法，是数学分析领域的重要研究内容。

本文将从陈纪修反常重积分的定义入手，详细介绍其化为累次积分的证明过程，并对证明中的关键步骤进行分析和解释，希望能够为相关领域的研究者提供一定的参考和帮助。

2. 陈纪修反常重积分的定义陈纪修反常重积分是指在定积分的计算中，由于被积函数在一定区间上发散或不连续而无法直接求得定积分的情况。

具体而言，对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx，若f(x)在该区间上不满足黎曼可积的条件，则称其为反常重积分。

3. 化为累次积分的证明过程陈纪修提出的将反常重积分化为累次积分的方法，是通过逐步逼近来实现的。

具体步骤如下：（1）将区间[a, b]分割将区间[a, b]等分成n个小区间，设Δx=(b-a)/n，记a=x0<x1<...<xn=b，其中xi=a+iΔx，i=0,1,...,n。

（2）对每个小区间进行逼近在每个小区间[xi-1,xi]上，利用黎曼和的定义，对被积函数f(x)进行逼近。

这里需要注意，由于f(x)是反常积分，所以在这一步需要对其积分上限和积分下限进行适当的调整，以确保积分的有限性。

（3）将各个小区间的逼近结果相加对每个小区间上的逼近结果进行求和，得到整个区间[a, b]上的逼近结果。

由于区间的等分是任意的，所以当n趋向于无穷大时，逼近结果将趋近于反常积分的值。

4. 关键步骤的分析和解释在化为累次积分的证明过程中，有几个关键的步骤需要特别注意：（1）区间的等分区间的等分是化为累次积分的关键步骤之一。

在实际计算中，可以根据被积函数的特点来确定区间的等分方式，以尽量减小逼近误差。

（2）逼近的精度在对每个小区间进行逼近时，需要考虑逼近的精度问题。

通常情况下，可以通过增加小区间的个数来提高逼近的精度，以确保逼近结果的准确性和稳定性。

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f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛；
g g （2） ( x , y ) 关于 x 单调，即对于 y 0 [ c , d ] ， ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g （3） ( x , y ) 一致有界，即存在常数
y [ c , d ] ，恒有 g ( x , y ) L.

A
f ( x, y )dx .
f ( x , y ) d x于奇点a 关于 y 在 [ c , d ] 一致收敛， ba 如果 0 ， 0 2 ）， ( a , a ) ， y [ c , d ] （
a
（2）I ( y )

L
，使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
定理15.2.3 （Dirichlet判别法）如果 x [ a , )， 满足以下三条件: （1） a
A

ห้องสมุดไป่ตู้

b
恒有
a a
f ( x, y )dx
. 在[c, d ]
I （3） ( y )


b a
f ( x , y ) d x 若有多个奇点，它称为关于y
[ c , d ] 一致收敛.
一致收敛，如果它于每个奇点在
二、一致收敛的判别法 定理15.2.1(Cauchy收敛原理)含参反常积分 a
以下三条件:
（1） a

f ( x , y ) d x 关于 y 在 [ c , d ]上一致收敛；
g g （2） ( x , y ) 关于 x 单调，即对于 y 0 [ c , d ] ， ( x , y 0 ) 关于 x
单调; g （3） ( x , y ) 一致有界，即存在常数
y [ c , d ] ，恒有 g ( x , y ) L.

co s x x
p
2
dx
关于p 在 ( 1,1) 上内闭一致
0
证明
作业：P392 5题～10题

L
，使得 x [ a , ) ,
则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y 在[ c , d ]上一致收敛.
g 定理15.2.3 （Abel判别法）如果 f ( x , y ) ， ( x , y ) 满足
以下三条件:
（1） a
例15.2.3 证明含参积分0

e
x
sin x x
d x 关于
在 [0, ) 上
一致收敛.
证明
例15.2.4 证明：积分 F ( s )


se
0
sy
dy
在 [ ,1]（其中
0 1 ）一致收敛，但在 [0,1] 不一致收敛.
证明:
例15.2.5 证明： 收敛.
F (x) ，

（2）反常积分 a
则含参积分 a 证明

F ( x)dx
收敛,
上一致收敛.
f ( x, y )dx 在 [c, d ]
二、一致收敛的判别法
例1 证明: ( s )
一致收敛. 证明:

2
xs x s
2
e
x
dx
1
关于 s 在 [0, ) 上
g 定理15.2.3 （Abel判别法）如果 f ( x , y ) ， ( x , y ) 满足
数学分析III 第35讲
教学内容：含参变量的反常积分
§15.2 含参变量反常积分（第2讲）
一、含参反常积分一致收敛概念（复习）
（1） I ( y ) a
果 0 ， A

f ( x , y ) d x 关于y 在区间 [ c , d ]一致收敛，如
a ， A A ，y [ c , d ] ，恒有
f ( x , y ) d x一致有界，即存在常数 L 0，使得
A [ a , ) ， y [ c , d ]
，恒有 a
A
f ( x, y )dx L
；
g （2） y [ c , d ] ，( x , y ) 关于x 单调；
（3）当
即 0 ， A
在 [ c , d ]上一致收敛，当且仅当 0 ， A
A
'

f ( x, y )dx
0 ， A ' , A A
，
y [c, d ]
，恒有 A
f ( x, y )dx
.
定理15.2.3 （Weierstrass判别法）如果存在函数F ( x ) 使得 （1） x [ a , ) ，y [ c , d ] ，恒有 f ( x , y )
x 时， ( x , y ) 关于 y 在 [ c , d ]上一致趋于0， g
0 ， x A ， y [ c , d ]，恒有 g ( x , y ) .

则含参反常积分 a 证明:
f ( x , y ) g ( x , y ) d x 关于y
在[ c , d ]上一致收敛.