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教材和参考书教材：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。
第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算曲线积分，其中L是绕原点的简单闭曲线．解：方法一当时，可以验证，所以可将曲线L换成以原点为中心，适当小的＞0为半径的小圆周：易见构造辅助函数：仍有．若定义A（0，0）＝0，B（0，0）＝1，则A，B在原点连续．事实上，由泰勒展开式，有．所以有即补充定义后A在原点连续，同理可证B也在原点连续．于是I＝J＝2π．方法二在L′上，有故积分值与无关．注意到被积函数关于连续，令，在积分号下取极限即得2．设封闭曲线的正向与z轴正向符合右手法则，求曲线积分解：由可得因此可设曲线L的参数方程为：，t从－3π/4到3π/4．于是3．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上具有一阶连续导数，L是上半平面y＞0内的有向分段光滑曲线，其起点为（a，b），终点为（c，d）．记（1）证明：曲线积分I与积分路径无关；（2）当ab＝cd时，求I的值．证明：（1）因为所以在上半平面内曲线积分I与积分路径无关．（2）由（1）知，是某个函数u（x，y）的全微分，而设F（x）是f（x）的一个原函数，则，因此4．计算积分其中（n，x），（n，y）分别是由x轴、y轴正向与L的外法向n之间的夹角，L为逐段光滑的简单闭曲线．解：表示L的正向，即沿逆时针方向，切线方向τ与一致，如图14-1所示.从n逆时针旋转π/2即到τ，于是有（n，x）＝（τ，y），（n，y）＝π－（τ，x），故cos（n，x）ds＝cos（τ，y）ds＝dy，cos（n，y）ds＝－cos（τ，x）ds＝－dx．从而其中S表示L所围的面积．图14-15．计算曲面积分，其中S是球面解：将球面S分成三部分S1，S2，S3，其中此时曲面S1在xOy平面的投影区域为，S1的方程为z＝，故有从而6．计算曲面积分，其中S为下半球面的上侧，a＞0为常数．解：采用补面法．按常规应补平面S1：x2＋y2≤a2，z＝0．仔细观察发现被积函数在原点处有奇性，不能直接应用高斯公式，但注意到在下半球面上的点（x，y，z）满足x2＋y2＋z2＝a2，则可将原曲面积分改写成这样，取S1的法向方向与z轴正向相反，就可对上式使用高斯公式了．于是有其中V是S1，S所围的空间区域．故7．计算曲线积分L是x2＋y2＋z2＝2r1x与x2＋y2＝2r2x的交线（0<r2<r1，z＞0），L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边．解：由于球面的外法向的方向余弦为所以由斯托克斯公式，有其中S是球面x2＋y2＋z2＝2r1x由L所围的部分．由于曲面S关于xOz平面对称，所以．又由可知，。
第13章重积分§1 有界区域上的重积分1．设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D．如果该薄板分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷．解：设电荷总量为Q，则2．设函数在矩形上有界，而且除了曲线段外，在D上其他点连续．证明f在D上可积．证明：设，将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小区域，记，不妨设，将曲线段包含在内，于是在有界闭区域上连续，因此在上可积，即，当时，而当时，取，当时，就有所以f在D上可积．3．按定义计算二重积分，其中解：将D分成n2个小正方形取，则4．设一元函数f（x）在[a,b]上可积，．定义二元函数，证明F（x,y）在D上可积．证明：将[a，b]、[c，d]分别作划分：和则D分成了nm个小矩形记是f（x）在小区间上的振幅，是F在上的振幅，则于是由f（x）在[a，b]上可积，可知，所以即F（x,y）在D上可积．5．设D是R2上的零边界闭区域，二元函数在D上可积．证明和也在D上可积．证明：首先有设，将D划分成n个小区域，利用不等式，可得于是所以由f，g在D上可积，可知即在D上可积．类似地可得从而在D上也可积．§2 重积分的性质与计算1．证明重积分的性质8．证明：不妨设，M、m分别是f（x）在区域Ω上的上确界、下确界，由、性质1和性质3，可得当，积分中值定理显然成立．当，有所以存在，使得即如果f在有界闭区域Ω上连续，由介值定理，存在，使得所以2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中D为x轴、y轴与直线x＋y＝1所围的区域；（2），其中D为闭矩形[3，5]×[0，1]．解：（1）因为在D上成立0＜x＋y＜1，所以，于是（2）因为在D上成立x＋y≥3，所以，于是3．用重积分的性质估计下列重积分的值：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为区域（3），其中Ω为单位球解：（1）因为在D上成立，所以（2）因为在D上成立，所以（3）因为在Ω上成立，所以4．计算下列重积分：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为闭矩形[a，b]×[c，d]；（3），其中Ω为长方体[1，2]×[1，2]×[1，2]．解：5．在下列积分中改变累次积分的次序：（改成先y方向，再x方向和z方向的次序积分）；（改成先x方向，再y方向和z方向的次序积分）．解：6．计算下列重积分：（1），其中D为抛物线和直线所围的区域；（2），其中D为圆心在（a，a），半径为a并且与坐标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域；（3），其中D为区域（4），其中D为直线和0）所围的区域；（5），其中D为摆线的一拱与x轴所围的区域；（6），其中D为直线和x＝1所围的区域；。
陈纪修数学分析笔记-1.1集合近来打算趁着事情较少，学习⼀下数学分析，毕竟数学这东西，越早越学，越早养成思维，越有益处。
反复选择，最后来B 站看了陈纪修的数学分析课程，⽤ipad 写了笔记（也不知道能学多久）。
前⼏年见过有⼤神⽤LA T E X 边上课边做笔记，于是我便打算试试Markdown 来做⼀下，先把⾃⼰⼿写的打出来。
结论就是，⼤神就是⼤神，我连集合的符号都要不停地百度。
算了，还是⼿写⽅便，更加专注于思路，毕竟y (t )=1−e −ζωn t√1−ζ2sin(ωn √1−ζ2t +θ)和$y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)$相⽐，前者⼿写快多了。
所以下⽂应该是第⼀篇笔记，也可能是最后⼀篇。
1 集合与元素§1 集合集合概念集合（集）： 具有某种特定性质，具体或抽象的对象汇集的总体。
集合的表⽰：1. 枚举法光基⾊的集合：{R, G, B}N +=1,2,3,...,n Z ={0,±1,±2,...,±n ,...}2. 描述法S ={x |x 满⾜性质P }Q ={x |x =qp ,p ∈N +且q ∈Z}[注]：集合表⽰⽆次序关系，重复的也没有意义{a ,b }={b ,c }={a ,b ,c }空集概念C ={x |x ∈R 且x 2+1=0}=∅⼦集：若S 的所有元素都居于T ，则S 是T 的⼦集，记为S ⊂TS ⊂T 表述x ∈S ⇒x ∈TS ⊄: 若S \subset T ，T 中⾄少有⼀个元素不属于S ，则S 不是T 的⼦集，记为S \not \subset TS \not \subseteq T ： 若S 属于T ，T 中存在⼀元素x 不居于S ，责任S 是T 的真⼦集S = T : 若S 、T 所有蒜素相同，则集合相同集合的运算并、交、差、补S 与T 的并：S 与T 汇集所成的集合S \cup T=\{ x|x \in S 或 x \in T \}S 与T 的交：S 与T 公共元素所组成S \cap T=\{ x|x \in S 且 x \in T \}S 与T 的差：居于S 但不居于T 的元素的集合S \setminus T=\{ x|x \in S 且 x \not \in T \}S 与T 的补集：设在X 集合中讨论问题，S\subset T ,则S 关于X 的补集S_X^C=\{ x|x \in X 且 x \not \in S \} = X \setminus S定律：交换律S \cup T = T \cup S, S \cap T= T \cap S结合律A \cup (B \cup D) = (A \cup B )\cup DA \cap (B \cap D) = (A \cap B )\cap D分配律A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)A \cap (B \cup D) = (A \cap B )\cup (A \cap D)对偶律(De Morgan)(A\cup B)^C = A^C \cap B^C(A\cap B)^C = A^C \cup B^C[证明]思路：左边包含于右边，右边包含于左边，互相包含证明A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)1 设x\in A\cup (B\cap D)则x\in A \quad 或者\quad x \in B且x \in D则x \in A \cup B \quad且\quad x\in A \cup D\therefore x \in (A\cup B) \cap (A\cup D) \Rightarrow A \cup (B \cap D) \subset (A\cup B) \cap (A\cup D)2 设x \in (A \cup B)\cap (A \cup D)则x \in A \cup B 且 x \in A \cup D可知x\in A 或 x \in B \cap D则x \in A \cup (B \cap D) \Rightarrow (A \cup B) \cap (A \cup D) \subset A \cup (B \cap D)证毕有限集合⽆限集有限集： S由n个元素组成（n是⾮负整数），则S是有限集。
第1章 集合与映射
1.1 复习笔记
一、集合
1．集合的基本概念
（1）定义
①集合，又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。
通常用大写字母如A，B，S，T，…表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，…表示集合的元素。
②若x是集合S的元素，则称x属于S ，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y 不属于S，记为或
（2）常用集合
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是数学分析中常用的集合，习惯上分别用字母N+，Z，Q和R来表示。
（3）集合的表示方式
①列举法
将集合的元素逐一列举出来的方式。
列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
②描述法
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x| x具有性质P}。
复出现或在不同位置上出现不具有任何特殊意义。
（4）特殊集合
空集是不包含任何元素的集合，记为∅。
（5）集合关系
①包含关系
设S，T是两个集合，如果S的所有元集都属于T，即则称S是T的
子集，记为显然，对任何集合S，都有如果S是T的一个子集，
即，但在T中存在一个元素x不属于S，即则称S是T的一个真子集。
②不包含关系
如果S中至少存在一个元素x不属于T，即那么S不是T的子集，
记为
③相等关系
如果两个集合S与T的元素完全相同，则称S与T两集合相等，记为S=T。
显然有。
（6）基本的区间概念
①设a，b（a<b）是两个实数，则满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的开区间，记为
（a，b）={x| a＜x＜b}
②满足不等式a≤ x ≤b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为
[a，b]={x| a≤x≤b}
③满足不等式a＜x≤b或a≤x＜b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的半开半
（a，b]={x| a＜x≤b}
或
[a，b）={x| a≤x＜b}
注：上述几类区间的长度是有限的，称为有限区间。
除此以外，还有下述几类无限区间：
（a，+∞)={x| x＞a}；[a，+∞)={x|x≥a}；（－∞，b)={x| x＜b}；(－∞，b]={x| x≤b}；和（－∞，+∞）={x| x为任意实数}（即实数集R）。
2．集合运算
（1）集合的基本运算
集合的基本运算有并、交、差、补四种（图1-1）。
图1-1
①两个集合S和T的并
由S和T的元素汇集成的集合，记为S∪T，即：
S∪T={x|x∈ S或者x ∈T}。
②两个集合S和T的交
由S和T的公共元素组成的集合，记为S∩T，即：
S∩T={x|x∈ S并且x ∈T}。
③两个集合S和T的差
由属于S
但不属于T 的元素组成的集合，记为S ＼T （注意：并不要求
），即④集合S 关于X 的补集
假设S 是X 的一个子集，则
是集合S 关于X 的补集，通常将简
记为
注：①关于补集显然成立：。
②集合补与差运算满足关系：（2）集合基本运算的性质
①交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
②结合律 A∪（B∪D）=（A∪B）∪D，A∩（B∩D）=（A∩B）∩D
③分配律
A∩（B∪D）=（A∩B）∪（A∩D），A∪（B∩D）=（A∪B）∩（A∪D）④对偶律（DeMorgan 公式）
3．有限集与无限集
（1）相关定义
①有限集
若集合S 由n 个元素组成，这里n 是确定的非负整数，则称集合S 为有限集。
②无限集
不是有限集的集合称为无限集。
③可列集
如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，即这个集合可表示为
{a1，a2，…，a n，…}，则称其为可列集。
注：每个无限集必包含可列子集，但是无限集不一定是可列集。
例如，实数集R是无限集，但不是可列集。
（2）重要定理
①可列个可列集之并也是可列集。
②有理数集Q是可列集。
4．Descartes乘积集合
设A与B是两个集合。
在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y）。
把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的Descartes乘积集合，记为A×B，即A×B={（x，y）|x ∈A并且y ∈B}。
特别地，当A与B都是实数集R时，R×R（记作R2）表示的是平面Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。
R×R×R（记作R3）表示的是空间Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。
二、映射与函数
1．映射的基本概念
（1）映射的定义
设X，Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为
其中y 称为在映射f 之下x 的像，x 称为在映射f 之下y 的一个逆像（也称为原像）。
集合x 称为映射f 的定义域，记为D f 。
而在映射f 之下，X 中元素
x 的像y 的全体称为映射f 的值域，记为R f ，即
（2）映射构成三要素
①集合X ，即定义域D f =X ；
②集合Y ，即限制值域的范围：；
③对应规则f ，使每一个x ∈X，有惟一确定的y=f （x ）与之对应。
注意：①映射要求元素的像必须是惟一的。
②映射并不要求逆像也具有惟一性。
（3）特殊映射的定义
①单射、满射与双射
设f 是集合X 到集合Y 的一个映射，若f 的逆像也具有惟一性，即对X 中的任意两个不同元素x 1≠x 2，它们的像y 1与y 2也满足y 1≠y 2，则称f 为单射；如果映射f 满足R f =Y ，则称f 为满射；如果映射f 既是单射，又是满射，则称f 是双射（又称一一对应）。
②逆映射
设f ：X→Y 是单射，则由映射的定义知，对任一
它的逆像
x∈X（即满足方程f （x ）=y 的x ）是惟一确定的。
对应关系构成了R f 到X 上的一个映射，称为f 的逆映射，记为
其定义域为值域。
