陕西省府谷县麻镇中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题

高一年级数学分值：100分 时间：100分钟一．选择题（每小题4分，共40分）1．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是 ( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是 ( )A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14 D ．m <14或m >1 5． 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．3或5C ．1或5D ．1或26．下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分7．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 ( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A .32B .34C ．2 5D .355 10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( ) A ．10 6 B ．20 6 C ．30 6 D ．40 6二．填空题（每小题4分，共20分）11．若一个圆的圆心为（1，0），且此圆与直线3x＋4y＋7＝0相切，则这个圆的方程为________________．12．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________．14．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有________条．15．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是________。

2014-2015学年陕西省榆林市府谷县麻镇中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=14．（5分）抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．x2=﹣4y C．y2=﹣12x D．x2=﹣12y 5．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2B．a=﹣1，b=2C．a=1，b=﹣2D．a=﹣1，b=﹣2 6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+3x的极值点的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对8．（5分）下列命题中，正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥0”B．命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题为真D．若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为9．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）直线tx+y+3=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则实数t的范围．15．（5分）圆和圆相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则的最小值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）下列函数的导数．（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，），求椭圆C的方程．18．（15分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．19．（12分）求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程．20．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．21．（12分）双曲线与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（，4），求其方程．2014-2015学年陕西省榆林市府谷县麻镇中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．3．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，∴椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，∴b==12，∴椭圆的方程为+=1．故选：A．4．（5分）抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．x2=﹣4y C．y2=﹣12x D．x2=﹣12y【解答】解：∵双曲线的焦点为（0，3），（0，﹣3）当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y结合选项可知，选项D正确故选：D．5．（5分）若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2B．a=﹣1，b=2C．a=1，b=﹣2D．a=﹣1，b=﹣2【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选：B．6．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+3x的极值点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2的值恒大于或等于零，所以函数f（x）单调递增，故选：A．7．（5分）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37B．﹣29C．﹣5D．以上都不对【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A．8．（5分）下列命题中，正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x≥0”B．命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题为真D．若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为【解答】解：由全称命题的否定是特称命题可知“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定应该是“∃x∈R，x2﹣x＞0”，因此选项A不正确．对于B项，p∧q为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故“p∧q 为真”是“pVq为真”的充分不必要条件，因此B错误．对于选项C，“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题是“若am2＞bm2，则a＞b”，显然其为真命题．对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，则满足x2+y2≥1的概率为p==1﹣=，故D错误．故选：C．9．（5分）已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线【解答】解：∵M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3∴|PM|﹣|PN|＜|MN|∴动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．故选：C．10．（5分）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．12．（5分）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y﹣4）2=64．【解答】解：抛物线x2=16y的焦点为（0，4），焦点到准的距离为8，故以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y ﹣4）2=64，故答案为：x2+（y﹣4）2=64．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．14．（5分）直线tx+y+3=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，若，则实数t的范围．【解答】解：∵直线tx+y+3=0与圆x2+y2=4交于相异两点A、B，∴O点到直线tx+y+3=0的距离d＜2，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．圆心到直线的距离大于，综合可知＜d＜2，解得：故答案为：15．（5分）圆和圆相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则的最小值为9．【解答】解：圆的圆心为C1（﹣2a，0），半径r1=2．圆的圆心为C2（0，b），半径r2=2．∵圆C1与圆C2相内切，∴|C1C2|=|r2﹣r1|=1，即=1，化简得4a2+b2=1．因此，=（4a2+b2）（）=5+（），∵≥=4，∴≥5+4=9，可得：当且仅当时，即a2=且b2=时，的最小值等于9故答案为：9三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）下列函数的导数．（1）y=；（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）．【解答】解：（1）y′=（）′==，（2）y=（x+1）（x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11x．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，），求椭圆C的方程．【解答】解：因为焦距为4，即c=2，所以a2﹣b2=c2=4．又因为椭圆C过点P（，），所以+=1，解得a=2，b=2，从而椭圆C的方程为+=1．18．（15分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．19．（12分）求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程．【解答】解：①设直线l的斜率等于k，则当k=0时，直线l的方程为y=1，满足直线与抛物线y2=2x仅有一个公共点，当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为y=kx+1，代入抛物线的方程可得：k2x2+（2k﹣2）x+1=0，根据判别式等于0，求得k=，故切线方程为y=x+1．②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y2=2x相切．故所求的直线方程为：y=1，或x=0，或x﹣2y+2=0．20．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．21．（12分）双曲线与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（，4），求其方程．【解答】解：椭圆的焦点为（0，±3），c=3，…（3分）设双曲线方程为，…（6分）∵过点（，4），则，…（9分）得a2=4或36，而a2＜9，∴a2=4，…（11分）双曲线方程为．…（12分）第11页（共11页）。

2014年陕西中考数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共30分）一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.4的算术平方根是（ ）A ．－2 B.2 C.21- D. 21 2.下面是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）3.若点A （-2，m ）在正比例函数y=21-x 的图像上，则m 的值是（ ） A ．41 B. 41- C.1 D. -1 4.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ）A ．101 B. 91 C. 61 D. 51 5.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ）A.80和82.5B.85.5和85C.85和85D.85.5和807.如图，AB ∥CD ，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC 的大小为（ ）A.17°B.62°C.63°D.73°8.若x=-2是关于x 的一元二次方程02522=+-a ax x 的一个根，则a 的值为 （ ） A.1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-49.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为（ ）A ．4 B. 512 C. 524 D.5 10.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．c ＞-1 B.b ＞0 C.2a+b ≠0 D. 92a +c ＞3b第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11.计算：2)31(--=______.12.因式分解：m(x-y)+n(x-y)=_____________.13.请从以下两个小题中任选一个．．．．作答，若多选，则按所选做的第一题计分. A.一个正五边形的对称轴共有_____条.B.用科学计算器计算：︒+56tan 331≈________.(结果精确到0.01)14.如图，在正方形ABCD 中，AD=1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′,此时A ′D ′与CD 交于点E ，则DE 的长度为_______.15.已知),(111y x P ,),(222y x P 是同一个反比例函数图像上的两点.若212+=x x ,且211112+=y y ，则这个反比例函数的表达式为_________. 16.如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB 面积的最大值是________.三．解答题（共9小题，计72分.解答应写出过程）17.（本题满分5分）先化简，再求值：11222+--x x x x ，其中x=21-.18.（本题满分6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在边AB 上，使DB=BC ，过点D 作EF ⊥AC ，分别交AC 于点E 、CB 的延长线于点F.求证：AB=BF.19.（本题满分7分）根据《2013年陕西省国民经济和社会发展统计公报》提供的大气污染物（A —二氧化硫，B —氮氧化物，C —化学需氧量，D —氨氮）排放量的相关数据，我们将这些数据用条形统计图和扇形统计图统计如下：根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）国务院总理李克强在十二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调，建设美好家园、加大节能减排力度，今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少2％.按此指示精神，求出陕西省2014年二氧化硫、化学需氧量的排放量共需减少约多少万吨？（结果精确到0.1）20.（本题满分8分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）.①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？21.（本题满分8分）小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x(kg).(1)求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？22.（本题满分8分）小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市.由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三人意见不统一.在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定.规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止.按照上面的规则，请你解答下列问题:（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？23.（本题满分8分）如图，⊙O 的半径为4，B 是⊙O 外一点，连接OB ，且OB=6.过点B 作⊙O 的切线BD ，切点为D ，延长BO 交⊙O 于点A ，过点A 作切线BD 的垂线，垂足为C.(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)求AC 的长.24.（本题满分10分）已知抛物线C:c bx x y ++-=2经过A （-3,0）和B （0,3）两点.将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴于x 轴的交点记为N.(1)求抛物线C 的表达式；（2）求点M 的坐标；（3将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴于x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？25.（本题满分12分）问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个．．等腰△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点.当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m,ED=285m，CD=340m.问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由.图①图②图③参考答案1、B2、A3、C4、A5、D6、B7、D8、B9、C 10、D。

2014-2015学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．）1．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．123．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和924．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过点；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系．其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数7．（5分）向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”9．（5分）已知向量，，向量满足，，则等于（）A．（1，0） B．（2，1） C．（0，﹣1）D．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位11．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D．12．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆的半径为6cm，则圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积为cm2．14．（5分）同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是．15．（5分）已知，则向量与向量的夹角是．16．（5分）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第17题图17．（10分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）规定次数在110以上（含110次）为达标，该校高一共有1050名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？18．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）已知角α为锐角，，求f（α）的值．19．（12分）已知向量，．（1）求||的最大值；（2）当与共线时，求2cos2x﹣sin2x的值．20．（12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B班5名学生得分为：6，7，8，9，10．（Ⅰ）请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（Ⅱ）如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．21．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，且△MBC的面积为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求的值．22．（12分）设函数f（x）=，其中向量，，，x∈R（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）当时，方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，求实数m的取值范围．2014-2015学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．）1．（5分）已知点P（sinα，tanα）在第二象限，则角α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】点P（sinα，tanα）在第二象限，得到，即可得出．【解答】解：∵点P（sinα，tanα）在第二象限，∴，∴α在第三象限．故选：C．2．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有50名，在高一年级的学生中抽取了10名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有30名，∴要抽取30×=6，故选：A．3．（5分）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．5．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过点；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系．其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；线性回归方程必过样本中心点．曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，得到结果．【解答】解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；故①正确；一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；故②不正确；线性回归方程，y=bx+a必过样本中心点，故③正确；曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确综上，其中错误的个数是2个，故选：B．6．（5分）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【分析】函数解析式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出函数的最小正周期，根据正弦函数为奇函数，即可得到正确的选项．【解答】解：y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x，∵ω=4，∴T==，又正弦函数为奇函数，则函数为周期是的奇函数．故选：C．7．（5分）向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要利用面积比可求概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为4，其内切圆的面积为π，由几何概型的概率公式得到豆子落在正方形的内切圆的概率是：；故选：D．8．（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选：D．9．（5分）已知向量，，向量满足，，则等于（）A．（1，0） B．（2，1） C．（0，﹣1）D．【分析】由题设条件知，本题是求向量的坐标的题，题设中已经给出了与向量有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量的坐标的方程求其坐标．【解答】解：设=（x，y），向量，，则+=（x+1，y+2），又（），∴﹣（y+2）+x+1=0．即x﹣y﹣1=0 ①=（x﹣1，y+1）又（），∴y+1=2x﹣2．即2x﹣y﹣3=0 ②解①②得x=2，y=1，=（2，1）故选：B．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】利用函数的图象求出A，T，求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合ϕ的范围，求出ϕ得到函数的解析式，然后推出平移的单位与方向，得到选项．【解答】解：由图象可知，从而，将代入到f（x）=sin（2x+φ）中得，，根据|ϕ|＜得到，所以函数f（x）的解析式为．将f（x）图象右移个长度单即可得到g（x）=sin2x的图象．故选：A．11．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A． B． C． D．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．12．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∴sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆的半径为6cm，则圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积为cm2．【分析】先求出圆心角的弧度数，利用扇形面积公式，即可求得结论．【解答】解：15°化为弧度为=∴圆心角为15°的圆弧与半径围成的扇形的面积是==cm2故答案为：14．（5分）同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是．【分析】列举出所有情况，看所求的所得点数之和为7情况数，最后利用概率计算公式求解即可．【解答】解：易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，点数之和为7的有3，4；2，5；1，6；4，3；5，2；6，1共6种，所以概率是=．故答案为：．15．（5分）已知，则向量与向量的夹角是．【分析】据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．【解答】解：设的夹角为θ则∵即∵，∴∴=∵θ∈[0，π]∴故答案为：16．（5分）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f （x ）的表达式可改写为y=4cos ；③y=f （x ）的图象关于点对称； ④y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是 ② ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项． 【解答】解：函数f （x ）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．利用诱导公式得f （x ）=4cos=4cos=4cos，知②正确．由于曲线f （x ）与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x=代入得f （x ）=4sin≠0，因此点（，0）不是f （x ）图象的一个对称中心，故命题③错误．曲线f （x ）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x=﹣时y=0，点 （﹣，0）不是最高点也不是最低点，故直线x=﹣不是图象的对称轴，因此命题④不正确．故答案为：②三、解答题（本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）第17题图17．（10分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）规定次数在110以上（含110次）为达标，该校高一共有1050名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？【分析】（1）根据频率直方图得出从左到右的频率之比为2：4：17：15：9：3，得出第二小组的频率是P2==，再利用=，可求解n，（2）第﹣小组的频率是P1=p2=，第二小组的频率是P2=，利用对立事件的频率求解达标的频率为：1﹣﹣=，很容易估计该学校全体高一学生达标的人数1050×．【解答】解：（1）根据题意得出：从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，∴从左到右的频率之比为2：4：17：15：9：3，∵2+4+17+15+9+3=50∴第二小组的频率是P2==，∵第二小组频数为12．∴n=150，（2）第﹣小组的频率是P1=p2=，第二小组的频率是P2=，∴规定次数在110以上（含110次）为达标，达标的频率为：1﹣﹣=，∵该校高一共有1050名学生，∴估计该学校全体高一学生达标的人数有：1050×=92418．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）已知角α为锐角，，求f（α）的值．【分析】（1）运用诱导公式及同角三角函数基本关系的运用即可化简得解．（2）利用已知可得cos（）=且∈（，），根据同角三角函数基本关系的运用可求sin（）的值，从而利用两角差的余弦函数公式即可求得f（α）=cosα=cos（）的值．【解答】解：（1）f（α）===cosα．（2）∵角α为锐角，，cos（）=∴∈（，），∴sin（）==，∴f（α）=cosα=cos（）=cos（）cos+sin（）sin==．19．（12分）已知向量，．（1）求||的最大值；（2）当与共线时，求2cos2x﹣sin2x的值．【分析】（1）先求出的坐标，从而得到||=，显然sin2x=1时，||取到最大值；（2）根据向量共线时向量坐标的关系即可得到sinx=，而根据sin2x+cos2x=1便能求出cos2x，这时候可求得2cos2x﹣sin2x=5cos2x，从而得出答案．【解答】解：（1）；∴=；∴sin2x=1时，取最大值；（2），共线；∴；∴；∵sin2x+cos2x=1；∴；∴；∴2cos2x﹣sin2x=2cos2x﹣2sinxcosx=．20．（12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B班5名学生得分为：6，7，8，9，10．（Ⅰ）请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（Ⅱ）如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．【分析】（I）由表中数据，我们易计算出A、B两个班的得分的方差S12与S22，然后比较S12与S22，根据谁的方差小谁的成绩稳定的原则进行判断．（II）我们计算出从A、B两个班的5个得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数，然后再计算出其中样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的基本事件个数，代入古典概率计算公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵A班的5名学生的平均得分为（5+8+9+9+9）÷5=8，（1分）方差；（3分）B班的5名学生的平均得分为（6+7+8+9+10）÷5=8，（4分）方差．（6分）∴S12＞S22，∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．（8分）（Ⅱ）从B班5名同学中任选2名同学的方法共有10种，（10分）其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求概率为．（12分）．21．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，M为最高点，且△MBC的面积为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求的值．【分析】（1）由S=π可求得BC=T=π，从而可求得ω，再由f（0）=可求△MBC得φ，从而可得函数f（x）的解析式；（2）依题意，可求得sinα与cosα，从而可得sin2α与cos2α，于是可求cos（2α+）．【解答】解：（1）∵S=×2×BC=BC=π，△MBC∴周期T=2π=，ω=1．由f（0）=2sinφ=，得sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（x+）．（2）由f（α﹣）=2sinα=，得sinα=，∵α∈（0，π），∴cosα==，∴cos2α=2cos2α﹣1=，sin2α=2sinαcosα=，∴cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=×﹣×=﹣．22．（12分）设函数f（x）=，其中向量，，，x∈R（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）当时，方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；（2）当时，∈．可得f（x）在时单调递增，即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）==sinx（sinx﹣cosx）﹣cosx（sinx﹣3cosx）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x=﹣sin2x+cos2x+2=﹣+2，由≤2x+≤+2kπ，解得≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调减区间是（k∈Z）．（2）当时，∈．∴f（x）在时单调递增，∵方程f（x）+m﹣2=0有且仅有一个根，∴（2﹣m）∈．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。