Closed form representation for a projection onto infinitely dimensional subspace spanned by

Hilbert空间中稠定闭算子的Moore-Penrose逆的扰动定理广义逆理论是应用十分广泛的数学分支,已成为现代数学中重要的研究方向之一.广义逆理论的内容极其丰富,主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、Hilbert空间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆及Banach空间中线性算子的线性广义逆等.广义逆理论涉及代数、分析、统计、计算、优化、控制等多个学科,因此这一学科有着多个研究领域.广义逆理论之所以应用如此广泛,这主要因为广义逆所研究的对象一般涉及到所谓的“不适定”线性问题.这些问题所包含的信息不是太多就是太少,因此不能作为非奇异问题进行求解.然而,在某种意义下,它们不但有“解”,而且甚至有唯一的“解”,例如“最小二乘解”或“最小范数解”等.因此,在凡是遇到“不适定”线性问题的学科,便出现了广义逆.将广义逆与非线性分析的工具结合,也能求解一大批非线性“不适定”问题.所以研究算子广义逆理论具有重要的理论意义和实际应用价值.1920年,E.H.Moore首先对任意的矩阵,引入广义逆矩阵的概念. 1955年, R.Penrose证得:存在唯一矩阵B满足下面的四个矩阵方程: ABA = A, BAB = B ,( AB ) * = AB ,( BA) *= BA.这些条件等价于Moore的条件.满足这些条件的唯一矩阵B被称之为A的Moore-Penrose广义逆,且记为A? .由于Moore-Penrose广义逆具有极小二乘性质, Moore-Penrose广义逆的连续性也被广泛研究.近年来,马吉溥、曹伟平、宋国柱、陈果良、薛以锋、魏木生、魏益民、黄强联等人对Hilbert空间中有界线性算子的Moore-Penrose广义逆进行了系统的研究,得到了一系列Moore-Penrose广义逆连续的充分必要条件.然而,他们讨论的都是有界线性算子Moore-Penrose广义逆的连续性.无界线性算子的Moore-Penrose广义逆的连续性也是值得探讨的问题.由于无界线性算子的定义域不是全空间,有界线性算子情形的技巧不能完全应用于无界线性算子,因此,我们必须引入新的技巧和方法.本文将主要讨论Hilbert空间中闭线性算子Moore-Penrose逆的扰动问题:我们知道,稠定闭线性算子是一类重要的无界线性算子,设T是X到Y的稠定闭线性算子,且存在有界Moore-Penrose逆.自然地,我们可以研究下面的扰动问题:“小”扰动δT在什么情形下可以保证扰动算子的Moore-Penrose逆T ?存在?如果存在,我们能否给出具体的表达式?值得注意的是,在已有文献中对上述问题的研究都假定了的范数小于1.如果直接假定的范数小于1,那么算子的可逆性和逆算子的有界性可以由著名的Banach引理直接得到.那么在不假定δTT?的范数小于1的情况下,如何讨论相应的扰动问题?因此,考虑这个问题的关键就在于如何证明算子可逆且其逆算子有界.本文中,我们利用一个新的方法证明算子的可逆性.进而给出扰动后的算子T的广义逆稳定的充分条件,即:设X ,Y是Hilbert 空间, T∈C ( X , Y), , T有有界的Moore-Penrose逆.设δT∈L ( X , Y),关于T相对有界且界b < 1,即若T = T +δT满足则闭,存在有界的Moore-Penrose 逆,且其中PN ( T)为在X上的唯一保范延拓.。

Q Cεm (0) = {(x1,L, xm ) ∈ m :| x1 |< ε ,L,| xm |< ε},
( ) ∴ Fˆ Cεm (0) = {(x1,L, xk , 0,L, 0) ∈ n :| x1 |< ε ,L,| xk |< ε}
= Cεk (0) ×{0}n−k ⊂ Cεn (0) ⊂ B.
显然有下列两个断语：
断语 1： F : X → Y 是单射 ⇔ F : X → F ( X ) 是一一映射。 断语 2： F 是一一映射 ⇔ F 既单且满。
一一映射是最好的映射。集合论的基本研究对象，是一一映射下的不变性，如集合的可 数性，集合的基数等。
3.1.B 线性映射的秩 判断向量空间之间的线性映射是否为单射或满射，有一个非常简单而有效的工具，
使得 F% ( A%) ⊂ B% ，且 Fˆ = H o F% o G−1 : A → B 的坐标表示为： Fˆ : (x1,L, xm ) a ( y1,L, yk , yk+1,L, yn ) = (1x14,L44, x2k ,40,L44,30).
n
现在返回到原来的流形。令ϕ = G oϕ%, ψ = H oψ% ；U = ϕ −1( A), V =ψ −1(B) 。 容易证明U ⊂ W ，事实上，
( ) ( ) F U
−1 = ϕ −1 o
Fˆ |A
−1
oψ :
V →U.
( ) ( ) F , U
F U
−1 的局部表示分别为光滑映射 Fˆ |A ，
Fˆ |A
−1
，故二者皆光滑。证明完。
附注：局部微分同胚定理中的条件“ F 在点 p ∈ M 为正则： rank p F = m ”的另 一表述是：“ F 的局部表示的 Jacobi 矩阵在点 p ∈ M 非退化”。

CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。

θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。

什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。

这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。

记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。

定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。

But f (0) = ζ (2) and f (π ) =
∞ n 2 n=1 (−1) /n
5
Alternatively we can put
∞
D(z ) =
n=1
zn , n2
the dilogarithm function. This is uniformly convergent on the closed unit disc, and satisfies D (z ) = −(log(1 − z ))/z on the open unit disc. Note that f (t) = Re D(e2πit ). We may now use arguments from complex variable theory to justify the above formula for f (t). This is just the previous proof with the Fourier theory eliminated. Proof 7: We use the infinite product
∞
r =0
1 = (2r + 1)2 2
1 0 0
1
dx dy . 1 − x2 y 2
We make the substitution (u, v ) = so that (x, y ) = The Jacobian matrix is ∂ (x, y ) = ∂ (u, v ) cos u/ cos v sin u sin v/ cos2 v 2 sin u sin v/ cos u cos v/ cos u tan−1 x 1 − y2 , tan−1 y 1 − x2 sin u sin v , cos v cos u 1 − x2 1 − y2