高中数学《4.1.1 直角坐标系》教案 新人教A版选修4-4

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人教Ａ版高中数学选修４—４　

《坐标系与参数方程》简析　

人民教育出版社中学数学室　章建跃郭慧清　

一、内容安排与说明　

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课　

标》）将解析几何内容设置为如下三块：（１）必修模块中，　

要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方　

程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关　

系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步　

形成用代数方法解决几何问题的能力。（２）必选模块（选　

修１、２）中，要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲　

线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，　

感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作　

用：结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方　

程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。（３）做为解　

析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合与深化，　

《课标》设置了《坐标系与参数方程》专题（任选），本专题　

要求学生掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线　

的多种表现形式，体验从实际问题中抽象出数学问题的　

过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实　

际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。　

综上，《课标》构建的解析几何课程体系，是以坐标　

法为核心，依“直线与方程－＿—圆与方程——圆锥曲线　

与方程——坐标系（主要是极坐标系）与参数方程”顺　

序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。这一课程结构与　

以往“一气呵成”的做法有较大不同。　

本文主要介绍《坐标与参数方程》，这个专题分两　

讲，共１８课时。第一讲《坐标系》，内容包括：平面直角坐　

标系、极坐标系、简单曲线的极坐标方程和柱坐标系与　

球坐标系简介，其中以极坐标系为重点；第二讲《参数　

方程》，内容包括：曲线的参数方程、圆锥曲线的参数方　

程、直线的参数方程和渐开线与摆线，其中以参数方程　

为重点。本专题中，数形结合、运动变化、相对与绝对、　

分解与综合等思想方法十分突出，是培养学生辩证唯　

高中数学选修4­4

坐标系与参数方程知识点总结第一讲

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式

|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2x＝x1＋x22

y＝y1＋y222.平面直角坐标系中的伸缩变换微信公众号：学设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx（λ>0）

y′＝μy（μ>0）的作用下，

点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，

记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．

四柱坐标系与球坐标系简介

1．柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.

(2)空间任意一点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，z＝z.

2．球坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ.

柱坐标与直角坐标的互相转化

[例1] (1)设点A的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．

(2)已知点P的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标．

[思路点拨] 直接利用变换公式求解． [解] (1)由变换公式 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得ρ2＝x2＋y2，z＝z，

即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2.

tan θ＝yx＝3，又x＞0，y＞0.

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、极坐标系的概念

1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.

极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线Ox，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.

2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.

图1-2-3

深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

1.特别规定：当M在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.

2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式.

二、极坐标和直角坐标的互化

1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.

2.互化公式.0,tan,,sin,cos222xxyyxyx在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.

问题·探究

问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标?

探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点，再从B点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象.