高中数学第一章集合与函数的概念1.2.1函数的概念第2课时函数概念的综合应用课件新人教版必修1

[解析] (1)由于 A 中元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉ B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数 个元素与之对应，故不是映射． (3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一一个元素与之对应， 符合映射定义，是映射． (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C ＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
求 f(－5)，f(－ 3)，f(f(－52))
的值．
[解析] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f －52＝－52＋1＝－32，且－2＜－32＜2， ∴f [f －52]＝f －32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
[典例 2] 已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1≥，1. 若 f(1－a)＝ f(1＋a)，则 a 的值为________．
[解析] 当 a>0 时，1－a<1,1＋a>1. 这时 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由 f(1－a)＝f(1＋a)得 2－a＝－1－3a，解得 a＝－32.不合题意，舍去．
2x， x≥1， 故 f(x)＝2， －1<x<1，
－2x， x≤－1，
(2)函数 f(x)的图象如图： (3)由函数图象可以得知函数的值域为[2，＋∞)．
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符 号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义 域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点 处点的虚实，保证不重不漏．

【解析】 (1)A 中当 x＝0 时，y＝0∉B.同理 B 错，C 中，当 x ＝1 时，y＝0∉B，故 C 不正确；由于 x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1， 故 D 正确．
(2)由题意知x2＋x－2yy＝＝43， 解得xy＝＝21. ∴映射 f 下(4,3)的原象为(2,1)． 【答案】 (1)D (2)A
2．映射的特征 (1)任意性：A 中任意元素 x 在 B 中都有元素 y 与之对应，如图 ①所示的对应不是映射． (2)唯一性：A 中任意元素 x 在 B 中都有唯一元素 y 与之对应， 如图②所示的对应不是映射． (3)方向性：f：A→B 与 f：B→A 一般是不同的映射，如图③与 图④所示的对应不是同一映射．
当 x0>2 时，f(x0)＝45x0，∴x0＝10. 综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 【答案】 (1)2 (2)－ 6或 10
类型二 分段函数的图象及应用 [例 2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ________，值域为________； (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．
【课标要求】 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用．(重点) 2.了解映射概念及它与函数的联系．(难点、易混点)
|新知预习|
知识点一 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同 的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
知识点二 映射 设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射．

函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
解 析 ： 由 图 可 知 ， 当 x∈[ － 2,4] 时 ， f(x)∈[ － 2,3] ； 当 x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]．故函数f(x)的值域为[－4,3]．
答案：[－4,3]
2．映射 设A，B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确定的对应关 系 f ， 使 对 于 集 合 A 中 的 __任__意__一__个__ 元 素 x ， 在 集 合 B 中 都 有 _唯__一__确__定___的元素y与之对应，那么就称对应__f：__A__→__B__为从 集合A到集合B的一个映射．
【互动探究】 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的 值．
解：当 x＋2＝－2 时，x＝－4，符合 x＜0.当 x2＝－2 时， 无解．当12x＝－2 时，x＝－4，不符合 x≥2.
综上，x 的值是－4.
1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求 f－21，再求 ff－21，最后求 fff－12； (2)分别令 x＋2＝2，x2＝2，12x＝2，分段验证求 x.
解：(1)f－12＝－12＋2＝32， ∴ff－12＝f32＝322＝49. ∴fff－21＝f94＝21×49＝89. (2)当 f(x)＝x＋2＝2 时，x＝0, 不符合 x＜0. 当 f(x)＝x2＝2 时，x＝± 2，其中 x＝ 2符合 0≤x＜2. 当 f(x)＝12x＝2 时，x＝4，符合 x≥2. 综上，x 的值是 2或 4.
设M＝{1,2,3}，N＝{e，g，h}，从M到N的四种对应方式 如图，其中是从M到N的映射的是( )

系,则称这样的函数为分段函数.
探究1:怎样求分段函数的定义域、值域?
答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的
并集.
2.映射
设A,B是 非空 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的
元素任x意,在一集个合B中都有
的元素唯y一与确之定对应,那么就称对应
为从集合A到f集:A合→BB的一个映射.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大 余额;
解:设该店月利润余额为 L,
则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,
①
2P 5014 P 20,
由题图易得
Q=
3 2
P
40
20
P
26,
2P 50P 14 100 560014 P 20,
解:(2)只乘一辆车的车费为 f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元); 换乘2辆车的车费为 2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元). 因为40.3>38.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.
【备用例2】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况 良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款 没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体 职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的 资料中有:①这种消费品的进件为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需要各种开支2 000元.
探究2:函数与映射的关系是什么? 答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射 一定是函数. 探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相 等吗? 答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.